Biyomekanik

Hafta 2

Sayının Dili ve Yönü

Birimler, ön ekler, birim dönüşümü, boyut analizi, vektörler ve ölçüm hatası

Prof. Dr. İzzet İNCE
Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi · Spor Bilimleri Fakültesi · 2026–2027

Kulüpte bir tartışma

Radar “120” dedi, video “28” buldu.

Aynı şut iki yöntemle ölçüldü. Radar 120 km/h, video analizi 28 m/s.
Hangisi daha hızlı bir şut gösteriyor?

Öğretim amaçlı bir vaka. Bölüm 2'de birlikte çözeceğiz.

Bu derste

Ders sonunda şunları yapabileceksiniz

1Temel ve türetilmiş birimleri ayırmak; newtonu kg, m ve s ile yazmak.
2km/h ile m/s arasında, mili ve kilo ön ekleriyle dönüşüm yapmak.
3Boyut analiziyle bir formülün doğru kurulup kurulmadığını denetlemek.
4Bir hızı yatay ve dikey bileşenlerine ayırmak; dik iki kuvveti toplamak.
5Sistematik hata ile rastgele hatayı ayırmak.

Önce temel · dört kelime

Büyüklük, birim, skaler, vektör

Büyüklük

Ölçülebilen şey: uzunluk, süre, kütle, hız, kuvvet.

Sıçrama yüksekliği bir büyüklüktür.

Birim

Ölçünün karşılaştırıldığı ortak ölçek. Sayı birimsiz anlamsızdır.

“35” mi? 35 cm.

Skaler

Yalnız büyüklüğü olan.

Maç 90 dakika; sporcu 70 kg.

Vektör

Büyüklüğü ve yönü olan.

700 N yukarı; 9 m/s, yerle 20°.

BÖLÜM 1

Birimler

Üç temel birimden bütün hareket analizi kurulur.

Önce temel · Uluslararası Birimler Sistemi (SI)

Yedi temel birim; biyomekanikte üçü yeter

Büyüklük	Birim	Sembol	Spordan örnek
Uzunluk	metre	m	Sıçrama 0,35 m; sprint 30 m
Kütle	kilogram	kg	Sporcu 70 kg; halter barı 20 kg
Zaman	saniye	s	Yer teması 0,2 s; 100 m derecesi
Öteki dördü	amper, kelvin, mol, kandela		Kas elektriği (EMG), vücut ısısı

SI: dünyada ortak kullanılan birim sistemi. EMG (elektromiyografi): kasın elektrik etkinliğinin ölçümü; akım ve gerilimle çalışır.

Önce temel · koşucuya sorulan dört soru

Hız, ivme, iş, güç

Hız

Ne kadar çabuk yol alıyor? Yol ÷ süre.

100 m ÷ 10 s = 10 m/s

İvme

Hız ne kadar çabuk değişiyor?

0'dan 10 m/s'ye 2,5 s'de: 4 m/s²

İş

Kuvvetle yol aldırmak: kuvvet × yol. Birimi joule.

Kızağı 100 N ile 2 m itmek: 200 J

Güç

İşi ne kadar çabuk yapıyor? İş ÷ süre. Birimi watt.

200 J'ü 0,5 s'de: 400 W

Türetilmiş birimler

Metreden watt'a: her birim üç temel birimden kurulur

Kavram

Kalibrasyon

calibration

Bir ölçüm aletini değeri bilinen bir şeyle karşılaştırıp ayarlamak.

Örnek: Tartıya 20 kg'lık standart bar konur; 20,4 gösterirse tartı 0,4 kg fazla okuyordur. Ayar düzeltilir ya da her okumadan 0,4 düşülür.

Yoklama · 1 dakika

Bir analiz raporunda bara uygulanan kuvvet bir sayfada 300 N, öbür sayfada 300 kg · m/s² yazıyor. Doğru yorum hangisi?

Doğru: B. 1 N = 1 kg · m/s². İki sayfa aynı kuvveti yazmış. A çekici: “kg” görünce kütle sanmak; ama birim bütün olarak okunur.

BÖLÜM 2

Ön Ekler ve Dönüşüm

Milisaniye, kilohertz, km/h: aynı büyüklüğün başka yazılışları.

Önce temel · kavram

Hertz (Hz)

hertz · frequency

Bir saniyede kaç kez. Kamera için saniyede kaç kare, kuvvet platformu için saniyede kaç ölçüm.

Örnek: 100 Hz video saniyede 100 kare çeker; iki kare arası 0,01 s. Telefonun 30 Hz videosunda kareler arası 0,033 s.

Önce temel · dört ön ek

Ön ek, birimi 10'un katıyla çarpar

Ön ek	Sembol	Çarpan	Spordan örnek
mega	M	× 1 000 000	Kemiğin dayanımı megapaskalla yazılır
kilo	k	× 1000	Kuvvet platformu 1 kHz: saniyede 1000 ölçüm
mili	m	÷ 1000	Sprintte yer teması ≈ 100 ms = 0,1 s
mikro	µ	÷ 1 000 000	EMG sinyali mikrovolt (µV) düzeyinde

Dikkat: “m” tek başına metre, ön ek olarak mili demektir. 5 ms beş milisaniyedir. Paskal: metrekareye düşen newton.

Mikrodan megaya

Her adım 1000 kat

Eşit aralıklar eşit çarpanları gösterir (logaritmik cetvel). Mikro ile mega arasında on iki sıfır var.

Kavram · dönüşüm

km/h ÷ 3,6

km/h → m/s

1 km/h = 1000 m ÷ 3600 s. Bu yüzden km/h'yi m/s'ye çevirmek için 3,6'ya bölünür; tersinde 3,6 ile çarpılır.

Örnek: GPS yeleği kanat oyuncusunun tepe hızını 32,4 km/h gösteriyor: 32,4 ÷ 3,6 = 9 m/s. Oyuncu saniyede 9 m koşuyor.

İki cetvel, tek katsayı

Üstteki sayıyı 3,6 ile çarpın, alttakini bulun

Öğretim amaçlı örnekler. km/h'deki sayı her zaman daha büyüktür.

Önce temel · branşa göre hız · yaklaşık

Aynı hız, iki dilde

Branş · durum	km/h	m/s	Nasıl bulundu?
Futbol · sert şut	108	30,0	108 ÷ 3,6
Tenis · servis	200	55,6	200 ÷ 3,6
Bisiklet · düz yol	45	12,5	45 ÷ 3,6
Atletizm · 100 m, 9,58 s	37,6	10,44	önce 100 ÷ 9,58, sonra × 3,6
Yüzme · 100 m, 47 s	7,7	2,13	önce 100 ÷ 47, sonra × 3,6

Atletizm ve yüzme satırları ortalama hızdır; yarış içindeki tepe hız daha yüksektir.

Yoklama · 1 dakika · açılış sorusu

Aynı şut radarla 120 km/h, videoyla 28 m/s ölçüldü. Hangi ölçüm daha hızlı bir şut gösteriyor?

Doğru: A. 120 ÷ 3,6 ≈ 33,3 m/s; video 28 m/s. B'deki bilgi doğru ama sonuç yanlış: büyük birimde sayının küçük olması beklenir, yine de 28 < 33.

Boyut analizi

Formül doğru mu? Önce birimlere bakın

Denklem	Sol taraf	Sağ taraf	Sonuç
v = d × t	m/s	m · s	Uymuyor: yanlış kurulmuş
v = d ÷ t	m/s	m ÷ s	Uyuyor
F = m · a	N	kg · m/s²	Uyuyor: N = kg · m/s²
h = g · t² ÷ 8	m	(m/s²) · s²	Uyuyor: s² sadeleşir

Boyut analizi: eşitliğin iki tarafının birimini karşılaştırarak denetlemek. Yanlışı yakalar; ama 8 gibi birimsiz katsayıları doğrulayamaz.

Yoklama · 1 dakika

Bir öğrenci halterde gücü “P = iş × süre” diye yazıyor. Birimlere bakınca ne çıkar?

Doğru: C. Watt saniyede joule demektir: J ÷ s. Çarpınca J · s çıkar; doğru formül P = iş ÷ süre. A çekici ama watt J · s değildir.

BÖLÜM 3

Vektörler

Yönü olan büyüklük bir oktur; toplanırken ve bölünürken yönü hesaba katılır.

Önce temel · kavram

Mesafe ve yer değiştirme

distance · displacement

Mesafe: alınan yolun toplamı, skalerdir. Yer değiştirme: başlangıçtan bitişe çizilen ok, vektördür.

Örnek: Mekik koşusunda 20 m gidip 20 m dönen basketbolcunun mesafesi 40 m, yer değiştirmesi 0.

Bir tur, iki cevap

400 m koştu, yer değiştirmesi sıfır

Tur süresi 50 s, öğretim amaçlı.

Önce temel · açı, dik üçgen, sin ve cos

Eğik bir oku ikiye bölmenin araçları

Açı

Yerden ölçülür. 0° tam yatay, 90° tam dik, 45° ikisinin ortası.

Uzun atlamacı ≈ 20°, basketbol atışı ≈ 50° ile çıkar.

Dik üçgen

En uzun kenar okun kendisi; öbür iki kenar bileşenler.

3-4-5 üçgeni: 3² + 4² = 25, √25 = 5.

cos ve sin

Açıya bağlı iki oran. Yataya cos, dikeye sin.

cos 60° = 0,5; sin 30° = 0,5.

√ (karekök): kendisiyle çarpılınca içteki sayıyı veren sayı. Bileşen: okun yatay ya da dikey parçası. Hesap makinesi derece modunda olmalı.

Kavram

Bileşenlere ayırma

vector resolution · yatay = v · cos θ · dikey = v · sin θ

Eğik bir hız, yatay ve dikey iki hızın toplamıdır. Yatay olan ne kadar ileri, dikey olan ne kadar yukarı gidileceğini belirler.

Örnek: Uzun atlamacı 9 m/s hızla, yerle 20° açıyla kalkıyor. Yatay: 9 × 0,94 ≈ 8,46 m/s. Dikey: 9 × 0,34 ≈ 3,08 m/s.

Kalkış hızını ikiye bölmek

9 m/s, yerle 20°

Açı değişince bileşenler

Açı büyüdükçe yatay hız erir

Kalkış hızı her açıda 9 m/s varsayıldı. Yatay = 9 · cos θ, dikey = 9 · sin θ.

Önce temel · branşa göre bileşenler · öğretim amaçlı

Ne kadarı ileri, ne kadarı yukarı?

Branş · durum	Hız, açı	Yatay (cos)	Dikey (sin)
Uzun atlama · kalkış	9 m/s, 20°	8,46 m/s	3,08 m/s
Futbol · havadan şut	30 m/s, 30°	25,98 m/s	15,00 m/s
Gülle atma	13 m/s, 37°	10,38 m/s	7,82 m/s
Basketbol · serbest atış	7 m/s, 52°	4,31 m/s	5,52 m/s

45°'nin altında yatay pay, üstünde dikey pay büyüktür. Koyu yazılan büyük bileşen.

Vektör toplama

Kuvvetleri toplarken yön önemlidir

Aynı yön

Doğrudan toplanır.

Halat çekmede iki sporcu: 300 N + 200 N = 500 N.

Ters yön

Çıkarılır; sonuç büyük olanın yönündedir.

300 N'a karşı 200 N: net 100 N.

Dik yönler

Pisagor ile birleşir.

80 N ileri, 60 N yana: √(80² + 60²) = 100 N.

Bileşke: birden fazla vektörün yerine geçen tek vektör. Dik vektörlerde büyüklükler toplanmaz: 80 + 60 = 140 değil, 100.

Uç uca ekle

80 N + 60 N = 100 N

Yoklama · 1 dakika

Bir ragbi oyuncusunu bir rakip 80 N ile ileri, öteki 60 N ile yana itiyor. Oyuncuya etki eden bileşke kuvvet kaç N?

Doğru: B. Dik kuvvetler Pisagor ile toplanır: √(6400 + 3600) = 100 N. 140 N ancak iki kuvvet aynı yönde olsaydı çıkardı.

Gerçek bir araştırma

Uzun atlamada farkı hangi bileşen yaratıyor?

Soru: Elit ve alt elit atlayıcıları kalkışta ne ayırıyor?
Ne yapıldı: Ulusal yarışmalarda 24 erkek atlayıcı 100 Hz videoyla çekildi: 11 elit (8,00–8,20 m), 13 alt elit (7,80–7,99 m).

8,63

m/s: elitlerde kalkıştaki yatay hız. Alt elitlerde 7,77 m/s.

Fark toplam hızda değil, kalkışta korunan yatay bileşendeydi.

Wei P, Yuan T, Xie Z. Kinematic determinants of take-off performance in elite and sub-elite male long jumpers: a competition-based two-dimensional motion analysis. Front Physiol. 2026;17:1826666.

BÖLÜM 4

Ölçüm Hatası

Her hesap bir cihazın verdiği sayıyla başlar; cihazın hatası da hesaba taşınır.

Önce temel · iki hata türü

Tutarlı ölçmek, doğru ölçmek değildir

Sistematik hata

Hep aynı yöne sapma. Doğruluğu (gerçeğe yakınlığı) bozar. Kalibrasyonla ya da düzeltme denklemiyle giderilir.

40 cm sıçrayan voleybolcu her ölçümde 41 cm görünür.

Rastgele hata

Öngörülemeyen oynama. Kesinliği (tekrarda aynı sonucu vermeyi) bozar. Tekrar ve ortalamayla azalır.

Aynı basketbolcu aynı gün 38, 41, 39 cm.

Hedef tahtası

Toplu vurmak, merkeze vurmak değildir

Gerçek bir araştırma

Işık kapıları platformla aynı mı ölçüyor?

Soru: OptoJump sıçrama yüksekliğini platform kadar doğru ölçer mi?
Ne yapıldı: 20 kişinin sıçraması iki sistemle aynı anda ölçüldü.

≈ 1 cm

sabit fark: OptoJump hep biraz düşük ölçtü. Uyum yine 0,997.

Sabit fark bir denklemle düzeltilir: platform = 1,02 × OptoJump + 0,29 cm.

Glatthorn JF, Gouge S, Nussbaumer S, Stauffacher S, Impellizzeri FM, Maffiuletti NA. Validity and reliability of Optojump photoelectric cells for estimating vertical jump height. J Strength Cond Res. 2011;25(2):556–560.

SON BÖLÜM

Kendinizi Sınayın

Yedi soru, her biri bir dakika. Önce herkes oy verir, sonra cevap açılır.

Soru 1 / 7

GPS yeleği bir kanat oyuncusunun tepe hızını 32,4 km/h gösteriyor. Oyuncu saniyede kaç metre koşuyor?

Doğru: C. 32,4 ÷ 3,6 = 9 m/s. 116,6 diyen 3,6 ile çarptı; sayı büyüdüyse yön yanlıştır.

Soru 2 / 7

Bir orta mesafe koşucusu 400 m'lik pistte bir turu 50 saniyede tamamlayıp başladığı çizgide bitiriyor. Ortalama sürati ve ortalama hızı nedir?

Doğru: A. Sürat yolu kullanır: 400 ÷ 50 = 8 m/s. Hız yer değiştirmeyi kullanır; başlangıç ile bitiş aynı nokta, yer değiştirme 0.

Soru 3 / 7

Bir gülleci 13 m/s hızla, yerle 37° açıyla atıyor (cos 37° ≈ 0,80; sin 37° ≈ 0,60). Güllenin yatay hızı yaklaşık kaç m/s?

Doğru: D. Yatay = 13 × cos 37° ≈ 13 × 0,80 = 10,4 m/s. 7,8 diyen sin kullandı; o dikey bileşendir.

Soru 4 / 7

Video analizinde bir futbol topunun yatay hızı 12 m/s, dikey hızı 5 m/s bulundu. Topun gerçek (bileşke) hızı kaç m/s?

Doğru: B. √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m/s. 17 diyen dik bileşenleri doğrudan topladı.

Soru 5 / 7

Telefonun yavaş çekimi 240 Hz. Bir sprinterin yer teması 0,1 saniye sürüyor. Temas videoda kaç kareye yayılır?

Doğru: C. Saniyede 240 kare; 0,1 s'de 240 × 0,1 = 24 kare. 30 Hz'lik normal videoda aynı temas yalnız 3 kare olurdu.

Soru 6 / 7

Bir kulübün ışık kapıları her sıçramayı kuvvet platformundan yaklaşık 1 cm düşük, ama çok tutarlı ölçüyor. Bu hangi hatadır, ne yapılmalı?

Doğru: D. Hep aynı yöne sapan fark sistematik hatadır; doğruluğu bozar ama denklemle giderilir. B çekici: tutarlılık kesinliktir, doğruluk değildir.

Soru 7 / 7

Bir uzun atlamacı aynı 9 m/s hızla kalkış açısını 20°'den 45°'ye çıkarıyor. Yatay hızına ne olur ve bu neden önemli?

Doğru: D. 9 × cos 45° ≈ 6,36 m/s; yaklaşık 2,1 m/s kayıp. Uzun atlamada mesafeyi büyük ölçüde yatay hız taşır. B çekici: toplam aynı, ama yatay pay küçülür.

Özet

Bugün beş şey öğrendik

1Metre, kilogram, saniye; öteki birimler bunlardan kurulur: N = kg · m/s².
2km/h ÷ 3,6 = m/s; kilo × 1000, mili ÷ 1000.
3Eşitliğin iki tarafı aynı birimde olmalı; olmuyorsa formül yanlış.
4Yatay = v · cos θ, dikey = v · sin θ; dik vektörler Pisagor ile toplanır.
5Sistematik hata doğruluğu, rastgele hata kesinliği bozar; tutarlı cihaz da yanılabilir.

Derslikten çıkmadan

Branşınızdan bir atış, sıçrama ya da vuruş seçin: hızı ve açıyı tahmin edin, yatay ve dikey bileşenini bulun.

Gelecek hafta · Hafta 3: Doğrusal Kinematik

Ayrıntılı okuma: Hafta 2 ders notu · SI broşürü, türetilmiş birim tabloları, vektör toplama örnekleri.