Biyomekanik

Hafta 3

Konumdan İvmeye

Doğrusal kinematik: ortalama ve anlık hız, sabit ivme denklemleri, sıçrama, düşüş ve grafikler

Prof. Dr. İzzet İNCE
Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi · Spor Bilimleri Fakültesi · 2026–2027

Maç sonu raporu

“Oyuncu 62 sert yavaşlama yaptı.”

GPS yeleği bu sayıyı nereden buldu? Yelek yalnız konumu kaydeder. Hız da, ivme de, “sert” sınırı da sonradan hesaplanır.
Hesap değişirse sayı da değişir mi?

Bu derste

Ders sonunda şunları yapabileceksiniz

1Ortalama hız, anlık hız ve ivmeyi hesaplamak; eksi ivmeyi yorumlamak.
2Sabit ivmenin dört denkleminden eksik değişkene göre doğru olanı seçmek.
3Sıçrama ve düşüş problemlerini g = 9,81 m/s² ile çözmek.
4Hız-zaman grafiğinde eğimi ve alanı okumak.
5GPS raporundaki ivme sayılarının sınırını açıklamak.

Önce temel · dört kelime

Nerede, ne kadar hızlı, hız nasıl değişiyor?

Konum · x

Başlangıç noktasına göre nerede. Birimi m.

Sprinter çıkıştan 40 m uzakta.

Hız · v

Konumun ne kadar çabuk değiştiği. m/s.

40. metrede saniyede 11 m ilerliyor.

İvme · a

Hızın ne kadar çabuk değiştiği. m/s². Gaz artı, fren eksi.

2,5 s'de 0'dan 10 m/s'ye: 4 m/s².

Sabit ivme

Hız her saniye aynı miktar değişir.

Havadaki top, sıçrayan sporcu.

BÖLÜM 1

Hız ve İvme

Ortalama bir aralığı, anlık bir ânı anlatır.

Önce temel · kavram

Δ (delta)

change · son değer − ilk değer

Bir şeyin ne kadar değiştiği: son eksi ilk. Δx konum değişimi, Δv hız değişimi, Δt geçen süre.

Örnek: Ali 10 m işaretinden başlayıp 3 saniyede 25 m işaretine geliyor. Δx = 25 − 10 = 15 m; Δt = 3 s; ortalama hız 15 ÷ 3 = 5 m/s.

Önce temel · dört büyüklük ayrı ayrı

Ortalama mı, anlık mı, artı mı, eksi mi?

Büyüklük	Tarif	Spordan örnek
Ortalama hız	Δx ÷ Δt	100 m'yi 10 s'de: 10 m/s
Anlık hız	çok kısa aralıktaki Δx ÷ Δt	60. metrede radarın gösterdiği 11 m/s
Ortalama ivme	Δv ÷ Δt	2'den 8 m/s'ye 3 s'de: 2 m/s²
Eksi ivmeyavaşlama	hız azalırken Δv < 0	Kanat oyuncusu 8 m/s'den 4 m'de duruyor: ≈ −8 m/s²

Anlık: aralık küçüldükçe ortalamanın yaklaştığı değer; hız göstergesinin o an gösterdiği sayı. Matematikte d/dt diye yazılır.

Kiriş ve teğet

Ortalama 10 m/s; ama sporcu hiç 10 m/s ile koşmaz

Öğretim amaçlı model: hız 11 m/s'ye üstel olarak yaklaşır; 100 m tam 10 s'de biter (Furusawa ve ark., 1927).

Önce temel · GPS raporunun dili

Raporda görünen sayı, cihazın hesabıdır

GNSS ve Hz

Uydudan konum alan sistem. 10 Hz: saniyede 10 konum.

GPS, GNSS'in en bilinen üyesi.

Hesap zinciri

Konum → hız → ivme. Her adımda gürültü büyür; veri yumuşatılır.

Yumuşatma ayarı sayıyı değiştirir.

Eşik

Bir hareketin “sert” sayılması için geçmesi gereken sınır.

Futbolda çoğu raporda 2,5 m/s².

Eşik kaydırılınca

Aynı maç: 79, 39 ya da 15 sert yavaşlama

Öğretim amaçlı simülasyon: aynı oyuncunun aynı maçtaki 900 ivme ölçümü, üç ayrı eşikle sayıldı.

Tahmin · 1 dakika

Bir orta saha oyuncusu 1 saniyede 8 m/s'den 6,5 m/s'ye yavaşlıyor. Eşiği −2,5 m/s² olan bir rapor bunu “sert yavaşlama” sayar mı?

Doğru: C. (6,5 − 8) ÷ 1 = −1,5 m/s². Eşiğin (−2,5) altına inmediği için sayılmaz. A çekici: hız farkını ivme sanmak; süreye bölmek gerekir.

Gerçek bir araştırma

Futbolda frene basmak, gaza basmaktan sık

Soru: Elit takım sporlarında maçta kaç sert hızlanma ve yavaşlama var?
Ne yapıldı: 19 çalışma, 7 spor, 469 erkek oyuncu birleştirildi; eşik 2,5 ve 3,5 m/s².

−1,74

futbolda sert yavaşlamalar sert hızlanmalardan belirgin sık (büyük fark).

Yavaşlamak da antrenmanda çalışılması gereken bir beceridir.

Harper DJ, Carling C, Kiely J. High-intensity acceleration and deceleration demands in elite team sports competitive match play: a systematic review and meta-analysis of observational studies. Sports Med. 2019;49(12):1923–1947.

Önce temel · branşa göre duruş · öğretim amaçlı

Ne kadar hızla, kaç metrede durunca kaç m/s²?

Branş · durum	Hız	Duruş yolu	Ortalama ivme
Futbol · kanat, top kaybı sonrası	8 m/s	4 m	−8,0 m/s²
Basketbol · hızlı hücumda duruş	6 m/s	2 m	−9,0 m/s²
Tenis · file önünde duruş	5 m/s	1,5 m	−8,3 m/s²
Hentbol · savunmada geri dönüş	6 m/s	3 m	−6,0 m/s²

Hesap: ivme = − hız² ÷ (2 × duruş yolu). Değerler öğretim amaçlı; gerçek duruşlarda ivme sabit değildir.

BÖLÜM 2

Sabit İvmenin Dört Denklemi

Havadaki sporcu ve kutudan düşen sporcu için.

Önce temel · denklemi kullanma tarifi

Bilinenleri yaz, eksiği bul, denklemi seç

1 · Yaz

v₀ ilk hız, v son hız, a ivme, t süre, x yol.

Duran sporcu: v₀ = 0. Tepede: v = 0.

2 · Yön seç

Yukarı artıysa yer çekimi −9,81.

Düşen top her saniye 9,81 m/s hızlanır.

3 · Sembolleri oku

t² = t × t; ½ = 0,5; √9 = 3.

t = 3 s ise t² = 9.

4 · Yerleştir

Sayıları birimleriyle koy.

0 + 2,5 × 4 = 10 m/s.

Dört denklem

Her denklemde bir değişken eksik

#	Denklem	İçinde olmayan	Ne zaman?
1	v = v₀ + a · t	x (yol)	Yol sorulmuyor
2	x = v₀ · t + ½ · a · t²	v (son hız)	Son hız bilinmiyor
3	v² = v₀² + 2 · a · x	t (süre)	Süre verilmemiş
4	x = ½ · (v₀ + v) · t	a (ivme)	İvme bilinmiyor

Yalnız ivme sabitse geçerlidir. Problemde verilmeyen ve sorulmayan değişken hangisiyse onu içermeyen denklemi seçin.

Dört denklemin kökü

Aslında iki gündelik fikir

Fikir 1 · Denklem 1

Hız her saniye aynı miktar artar.

Ali her saniye 2,5 m/s ekliyor: 4 saniyede 0 + 2,5 × 4 = 10 m/s.

Fikir 2 · Denklem 4

Yol = ortalama hız × süre; düzgün artışta ortalama, ilk ile sonun ortası.

(0 + 10) ÷ 2 = 5 m/s; 5 × 4 = 20 m.

Denklem 2 ve 3 bu iki fikrin birleşimi: birinde son hız, ötekinde süre aradan çıkarılır. Hepsi aynı sonucu verir: 4 s, 10 m/s, 20 m.

Seçim şeması

Önce neyin eksik olduğunu sor

Yoklama · 1 dakika

Bir voleybolcu yerden 2,5 m/s dikey hızla ayrılıyor. Ne kadar yükseldiğini soruyoruz; süre verilmedi. Hangi denklem?

Doğru: A. Süre yok; t içermeyen denklem seçilir. Tepede v = 0: 0 = 2,5² − 2 × 9,81 × h → h ≈ 0,32 m. B'de yükseklik hiç geçmiyor.

Havadaki 0,51 saniye

Tepede hız sıfır, ivme değil

Kalkış hızı 2,5 m/s, hava direnci yok. Çıkış 0,255 s, iniş 0,255 s; toplam ≈ 0,51 s.

Kavram

h = v² ÷ (2g)

kalkış hızından sıçrama yüksekliği

Yükselme süresi v ÷ g, ortalama hız v ÷ 2; çarpınca v² ÷ (2g). Kalkış hızı hesaba iki kez girer.

Örnek: Kalkış hızı %10 artan basketbolcunun sıçraması %21 artar: 1,1 × 1,1 = 1,21.

Önce temel · branşa göre kalkış hızı · öğretim amaçlı

Kalkış hızı santimetreye nasıl dönüşür?

Durum	Kalkış hızı	Hesap	Yükselme
Basketbol · dinlenmiş, yerinde	2,5 m/s	6,25 ÷ 19,62	32 cm
Aynı basketbolcu · maç sonu	2,3 m/s	5,29 ÷ 19,62	27 cm
Voleybol · koşulu smaç	3,0 m/s	9,00 ÷ 19,62	46 cm
Yüksek atlama · ağırlık merkezi	4,5 m/s	20,25 ÷ 19,62	103 cm

19,62 = 2 × 9,81. Yüksek atlamadaki yükselme, kalkıştaki ağırlık merkezi yüksekliğinin üstüne eklenir.

Ters soru: kutudan düşüş

Kutuyu ikiye katlamak hızı 1,41 kat artırır

v = √(2 · g · h); hava direnci yok. Yükseklik iki katına çıkınca hız √2 ≈ 1,41 kat artar.

Önce temel · kutu yüksekliğine göre · hava direnci yok

Kaç santimetreden, kaç m/s ile?

Düşüş	Çarpma hızı	km/h	Kimde görülür?
20 cm kutu	1,98 m/s	7,1	Başlangıç düzeyi derinlik sıçraması
30 cm kutu	2,43 m/s	8,7	Voleybol, basketbol pliometrisi
40 cm kutu	2,80 m/s	10,1	Deneyimli sporcu
60 cm kutu	3,43 m/s	12,4	İleri düzey, az tekrar
1 m kiriş	4,43 m/s	16,0	Cimnastik inişi

Yoklama · 1 dakika

Bir antrenör derinlik sıçramasında kutuyu 30 cm'den 60 cm'ye çıkarıyor. Sporcunun yere çarpma hızı yaklaşık ne olur?

Doğru: D. Hız yüksekliğin kareköküyle büyür: √2 ≈ 1,41; 2,43 × 1,41 ≈ 3,43 m/s. A çekici ama hız yükseklikle doğru orantılı değil.

BÖLÜM 3

Grafikler: Eğim ve Alan

Eğim sonraki büyüklüğü, alan öncekini verir.

Önce temel · grafik okumak

Eksen, eğim, alan

Eksenler

Yatay eksen süre, dikey eksen büyüklük.

“Hız-zaman”: dikeyde hız, yatayda süre.

Eğim

Dikey değişim ÷ yatay değişim. Hız grafiğinin eğimi ivmedir.

4 s'de 0'dan 10 m/s'ye: 2,5 m/s².

Alan

Çizginin altında kalan bölge. Hız grafiğinin alanı yoldur.

10 m/s × 5 s = 50 m.

Birimler de çarpılır: s × m/s = m. Eğim konumdan hıza, hızdan ivmeye geçirir; alan tersine götürür.

Hız-zaman grafiğinden yol

Üçgen 20 m + dikdörtgen 50 m = 70 m

Öğretim amaçlı model. Gerçek sprintte ivme çıkışta en büyüktür; hız çizgisi düz değil, yukarı doğru bükülen bir eğridir.

Yoklama · 1 dakika

Önceki grafikte sporcu 4 s'de 0'dan 10 m/s'ye düzgün hızlanıp 5 s sabit koşuyor. Grafiğin altındaki alan neyi verir?

Doğru: B. Alan = 20 + 50 = 70 m; s × m/s = m. Eğim ivmeyi verir (A), alan değil. Ortalama hız 70 ÷ 9 ≈ 7,8 m/s olurdu.

Gerçek bir araştırma

GPS yeleği sprinti doğru ölçer mi?

Soru: Uydu sistemiyle ölçülen sprint profili radar ve lazerle uyuşuyor mu?
Ne yapıldı: 1.485 çalışma tarandı; 16'sı birleştirildi.

d 0,22

en yüksek hızda küçük fark. Öteki profil değerlerinde fark küçük ve belirsiz.

Aynı cihazla izleme yeterince tutarlı; cihazlar arası karşılaştırma yapmayın.

Cormier P, Meylan C, Agar-Newman D, Geneau D, Epp-Stobbe A, Lenetsky S, Klimstra M. A systematic review and meta-analysis of wearable satellite system technology for linear sprint profiling. J Strength Cond Res. 2024;38(2):405–418.

SON BÖLÜM

Kendinizi Sınayın

Yedi soru, her biri bir dakika. Önce herkes oy verir, sonra cevap açılır.

Soru 1 / 7

Bir hentbolcu hızlı hücumda 30 m'yi 4,5 saniyede koşuyor. Ortalama hızı yaklaşık kaç m/s?

Doğru: A. 30 ÷ 4,5 ≈ 6,7 m/s. 135 diyen çarptı; 0,15 diyen süreyi yola böldü.

Soru 2 / 7

Bir futbolcu 7 m/s'den 0,5 saniyede duruyor. Ortalama ivmesi kaç m/s²?

Doğru: C. (0 − 7) ÷ 0,5 = −14 m/s². Eksi işaret yavaşlama demektir. B büyüklüğü doğru buldu, yönü kaçırdı.

Soru 3 / 7

Bir sprinter durgun hâlden başlayıp 2 saniye boyunca 3 m/s² sabit ivmeyle hızlanıyor. Bu 2 saniyede kaç metre yol alır?

Doğru: B. Son hız yok → Denklem 2: x = 0 + ½ × 3 × 2² = 6 m. 12 diyen ½'yi unuttu. Sağlama: son hız 6 m/s, ortalama 3 m/s, 3 × 2 = 6 m.

Soru 4 / 7

Bir voleybolcu smaç sıçramasında yerden 3 m/s dikey hızla ayrılıyor. Ağırlık merkezi yaklaşık kaç cm yükselir?

Doğru: D. h = 3² ÷ (2 × 9,81) = 9 ÷ 19,62 ≈ 0,46 m. 92 diyen 2'ye bölmeyi unuttu (v² ÷ g).

Soru 5 / 7

Bir basketbolcu ribaund sıçramasının en yüksek noktasında. Bu anda hızı ve ivmesi için hangisi doğru?

Doğru: C. Tepede dikey hız sıfırdan geçer; yer çekimi hiç kesilmez, ivme hep 9,81 aşağı. A çekici: “durdu” görüntüsü ivmenin de sıfır olduğu yanılgısını doğurur.

Soru 6 / 7

Bir bisikletçinin hız-zaman grafiği 3 saniye boyunca 8 m/s'de yatay bir çizgi. Bu 3 saniyede ivmesi ve aldığı yol nedir?

Doğru: A. Yatay çizginin eğimi 0: hız değişmiyor. Alan dikdörtgen: 8 × 3 = 24 m. B hızı ivme sandı.

Soru 7 / 7

Kulüp A'nın raporunda oyuncu 70, kulüp B'nin raporunda aynı pozisyondaki oyuncu 30 sert yavaşlama yapmış. A'nın eşiği 2,0, B'ninki 3,0 m/s². Doğru yorum?

Doğru: D. Düşük eşik daha çok hareketi “sert” sayar. Aynı maç bile farklı eşikle 79 ya da 15 çıkabiliyordu. A en çekici: sayılar yan yana durunca karşılaştırılabilir sanılır.

Özet

Bugün beş şey öğrendik

1Ortalama hız Δx ÷ Δt, ortalama ivme Δv ÷ Δt; eksi ivme yavaşlamadır.
2Dört denklemden eksik değişkeni içermeyeni seç.
3h = v² ÷ (2g): kalkış hızı %10 artınca sıçrama %21 artar; tepede hız 0, ivme değil.
4Hız-zaman grafiğinde eğim ivme, alan yol.
5GPS raporundaki sayı eşiğe ve hesaba bağlıdır.

Derslikten çıkmadan

Bir dikey sıçramanızın uçuş süresini ölçün: kalkış hızınız kaç m/s, kaç cm yükseldiniz?

Gelecek hafta · Hafta 4: Kuvvet, Tork ve Denge

Ayrıntılı okuma: Hafta 3 ders notu · türev ve integralin sezgisel anlamı, veriden ivme hesaplama, sprint profili.