İstatistik

Hafta 5

Gelişim mi, Gürültü mü?

Ranj, varyans, standart sapma; neden kare, neden n − 1; değişim katsayısı; standart hata; gerçek gelişimi doğal dalgalanmadan ayırmak

Prof. Dr. İzzet İNCE
Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi · Spor Bilimleri Fakültesi · 2026–2027

Yeni takviyeden sonra

“100 m derecesi 10,20'den 10,15'e indi. Takviye işe yarıyor.”

Sporcu aynı antrenmanı yapıyor; tek değişiklik takviye.
Bu 0,05 saniye gelişim mi, yoksa günlük oynama mı?

Bu derste

Ders sonunda şunları yapabileceksiniz

1Ranj, varyans ve standart sapmayı tarif tablosuyla elle bulmak.
2Neden kare alındığını ve neden n − 1'e bölündüğünü açıklamak.
3Farklı birimlerdeki değişkenliği değişim katsayısıyla karşılaştırmak.
4Standart sapma ile standart hatayı ayırt etmek.
5Bir gelişimi sporcunun kendi dalgalanmasıyla kıyaslamak.

Önce temel · dört kelime

Yayılım, dalgalanma, gerçek değişim, tipik hata

Yayılım

Verilerin birbirinden uzaklığı.

6, 10, 14 şınav: ortalama 10, ama dağınık.

Doğal dalgalanma

Sebepsiz oynama: uyku, rüzgâr, şans. Gürültü.

12,10 ve 12,18 s.

Gerçek değişim

Antrenman ya da sakatlıkla kalıcı kayma. Sinyal.

Gürültünün üstünde kalan fark.

Tipik hata

Aynı kişinin tekrar ölçümündeki oynama.

150, 148, 152 kg: ≈ 2 kg.

Bir farkın gelişim sayılması için sporcunun kendi dalgalanmasından belirgin biçimde büyük olması gerekir.

Tahmin yoklaması · 1 dakika

Sprinterin gerçek düzeyi 10,20 s ve yarıştan yarışa ≈ 0,08 s oynuyor. Hiçbir şey değişmeden, yarışların kabaca ne kadarında 10,15 ya da daha iyi koşar?

Doğru: B. ≈ %27. Tek bir 10,15, sporcunun gürültüsü içinde tek başına bir şey kanıtlamaz.

Simülasyon · gerçek düzey 10,20 s · yarıştan yarışa DK %0,8 · 20 yarış

Hiçbir şey değişmeden de 10,15 koşulur

Takviye yok, antrenman aynı: yine de yeşil noktalar 10,15 çizgisini geçiyor. Mor bant ±1 standart sapma (≈ 0,082 s).

Gerçek bir araştırma · 2014

Elit sporcular yarıştan yarışa ne kadar oynar?

Soru: Elit sporcular yarıştan yarışa ne kadar oynar?
Ne yapıldı: Çalışmalar sistematik olarak derlendi; dalgalanma DK ile özetlendi.

%0,6–1,4

sprint ve dayanıklılıkta. Atma ve halterde %1,4–3,3; hakem puanlı sporlarda ≈ %50.

Aynı 0,05 s bir sporda gürültü, başka bir sporda gerçek gelişimdir.

Malcata RM, Hopkins WG. Variability of competitive performance of elite athletes: a systematic review. Sports Med. 2014;44(12):1763–1774.

Malcata ve Hopkins (2014) · elit sporcularda yarıştan yarışa DK · eksen logaritmik

Spordan spora gürültü 300 kat değişiyor

Logaritmik eksende eşit uzaklık eşit oran: %0,1 ile %1 arası, %1 ile %10 arası kadar yer kaplar.

BÖLÜM 1

Ranj ve Varyans

İki uç yetmez; sapmaların karesini alırız.

Önce temel · tarifin harfleri · Ali'nin şınavları: 8, 10, 12

x, n, x̄, sapma, Σ, kare, karekök

Sembol	Anlamı	Ali'de
x · n	Tek tek ölçüm · ölçüm sayısı	8, 10, 12 · n = 3
x̄	Ortalama	30 ÷ 3 = 10
x − x̄	Sapma: ortalamadan uzaklık	−2, 0, +2 (toplamı 0)
( )²	Kare: kendisiyle çarp	(−2)² = 4
Σ(x − x̄)²	Sapma karelerinin toplamı	4 + 0 + 4 = 8
√	Karekök: karenin tersi	√9 = 3

Önce temel · dört yayılım ölçüsü

Ranj, varyans, standart sapma, DK

Ölçü	Tarif	Birimi	Zayıf yanı
Ranj	En büyük − en küçük	verinin birimi	Yalnız iki uca bakar
Varyans (s²)	Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)	kare: kg², cm²	Birimi okunmaz
Standart sapma (s)	√varyans	verinin birimi	Farklı birimler karşılaştırılamaz
Değişim katsayısı	s ÷ x̄ × 100	yüzde, birimsiz	Ortalama 0'a yakınsa şişer

İki okçu · 7 atış · öğretim amaçlı

Aynı ranj, neredeyse iki kat farklı s

A: 6, 8, 8, 8, 8, 8, 10. B: 6, 6, 6, 8, 10, 10, 10. Ranj yalnız uçlara bakar; s bütün atışları hesaba katar.

Yoklama · 1 dakika

Sapmaları doğrudan toplamak yerine neden karelerini topluyoruz?

Doğru: C. Eksiler artıları götürür (Hafta 3). Kare eksileri yok eder ve büyük sapmalara daha çok ağırlık verir.

Beş sporcunun sıçraması: 40, 45, 50, 55, 60 cm · ortalama 50

Sapmanın karesi bir alandır

BÖLÜM 2

Standart Sapma

Beş adım ve bir karekök; sonra neden n − 1.

Tarif · Fatma'nın son 5 maçtaki sayıları

Standart sapma tablosu

Maç	Sayı (x)	Sapma (x − x̄)	Karesi
1	18	−2	4
2	22	+2	4
3	16	−4	16
4	24	+4	16
5	20	0	0
Toplam	100 → x̄ = 20	0	40

s² = 40 ÷ (5 − 1) = 10 · s = √10 ≈ 3,16 sayı. Fatma'nın maçları ortalamadan tipik olarak 3 sayı sapıyor.

Tarifin resmi · ortalama 20 sayı

Beş çubuk, bir bant: s ≈ 3,16

Yeşiller ve kırmızılar toplanınca 0; kareleri toplanınca 40. Beş maçın üçü bandın içinde, iki uç maç (16 ve 24) dışında.

Yoklama · 1 dakika

Fatma'nın 5 maçında sapma kareleri toplamı 40. Standart sapma kaç?

Doğru: A. 40 ÷ 4 = 10; √10 ≈ 3,16. B n'ye böldü (√8): küçük örneklemde yayılımı az gösterir.

Önce temel · minik bir evren: yarı yarıya 0 ve 10 · gerçek varyans σ² = 25

İki değer çekince ne görürüz?

Çekiliş (n = 2)	x̄	Kareler toplamı	÷ n	÷ (n − 1)
0, 0	0	0	0	0
10, 10	10	0	0	0
0, 10	5	50	25	50
10, 0	5	50	25	50
Dört çekilişin ortalaması	—	—	12,5	25

n'ye bölen hesap ortalamada gerçeğin yarısını buluyor; n − 1'e bölen tam 25'i. Simülasyon değil, olası çekilişlerin tamamı.

n'ye bölünce varyansın ortalamada görülen payı = (n − 1) ÷ n

n'ye bölmek yayılımı küçük gösterir

n = 5'te fark %25 (8 ile 10); n = 100'de ≈ %1. Spor bilimlerinin küçük gruplarında önemli.

Kavram

Serbestlik derecesi

ortalama bilindikten sonra serbestçe değişebilen değer sayısı: n − 1

Beş maçın ortalaması 20 ise toplam 100'dür. Dört maçı istediğiniz gibi seçersiniz; beşincisi zorunlu olur. Serbest olan 4 değer var.

Örnek: 18, 22, 16, 24 seçildi: toplamları 80. Beşinci maç 100 − 80 = 20 olmak zorunda. Varyansı bu 4 serbest değere paylaştırırız: 40 ÷ 4.

BÖLÜM 3

DK, SH ve Gelişim

Birimsiz karşılaştırma, ortalamanın kesinliği, sahaya dönüş.

Değişim katsayısı · DK = s ÷ x̄ × 100 · öğretim amaçlı

Kilogram ile santimetreyi karşılaştırmak

Veri	Ortalama	s	DK
Veli'nin 5 silkmesi: 150, 148, 152, 149, 151 kg	150 kg	1,58 kg	%1,1
Beş sporcunun sıçraması: 40–60 cm	50 cm	7,91 cm	%15,8
Okçu B'nin 10 atışı (6 ve 10)	8 puan	2,11 puan	%26,4

Standart sapmalar kendi birimlerinde karşılaştırılamaz. Ortalamaya bölünce Veli'nin denemeleri en tutarlı çıkıyor.

Üç veri, tek eksen · DK (%)

Yeşil çubuk en kısa: en tutarlı iş silkme

Yoklama · 1 dakika

Ali'nin CMJ'si: ortalama 40 cm, s = 1,2 cm. Veli'nin squat 1 TM'si: ortalama 160 kg, s = 4 kg. Hangisinin ölçümü daha tutarlı?

Doğru: B. Ali 1,2 ÷ 40 = %3; Veli 4 ÷ 160 = %2,5. DK birimsiz olduğu için karşılaştırma yapılabilir.

Önce temel · iki ayrı soru · 10 sporcunun sıçraması, s = 6 cm

Standart sapma mı, standart hata mı?

	Standart sapma (s)	Standart hata (SH)
Soru	Sporcular birbirinden ne kadar farklı?	Bulduğum ortalama gerçeğe ne kadar yakın?
Tarif	√[Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)]	s ÷ √n
Örnek	6 cm	6 ÷ √10 ≈ 1,9 cm
Kişi artınca	aşağı yukarı aynı kalır	küçülür

%95 güven aralığı ≈ ortalama ± 2 SH: 45 ± 3,7 → 41,3–48,7 cm.

s = 6 cm sabit · SH = 6 ÷ √n

Kişi arttıkça s kalır, SH erir

Dört kat kişi, yarı SH. Ortalamaya güven kişi sayısının karekökü kadar artar.

Yoklama · 1 dakika

“10 sporcunun sıçramaları birbirinden ne kadar farklı?” sorusunu hangisi cevaplar?

Doğru: D. s bireylerin farkını, SH ortalamanın ne kadar kesin tahmin edildiğini söyler.

Gerçek bir araştırma · 1999

Değerli en küçük gelişme ne kadar?

Soru: Elit bir sporcu için uluslararası yarışmada madalya şansını değiştiren en küçük gelişme ne kadardır?
Ne yapıldı: Yarışma sonuçları simülasyonla modellendi; performans araştırmalarının tasarımı tartışıldı.

0,4–0,7

kat: sporcunun yarıştan yarışa kendi doğal dalgalanmasının bu kadarı değerli bir gelişmedir.

Önce dalgalanmayı (yayılımı) bilmek gerekir; gelişim ona göre ölçülür.

Hopkins WG, Hawley JA, Burke LM. Design and analysis of research on sport performance enhancement. Med Sci Sports Exerc. 1999;31(3):472–485.

Sprinter 10,20 s · DK %0,8 (öğretim amaçlı) · Hopkins ve ark. (1999) ölçütü

0,05 saniye iki bandın da içinde

Dalgalanma 10,20 × %0,8 ≈ 0,082 s; değerli fark 0,4–0,7 × 0,082 ≈ 0,033–0,057 s. Gelişim olabilir, tek yarışla kanıtlanmaz.

Aynı hesap, farklı branşlar · DK'lar Malcata ve Hopkins (2014) aralıklarından, öğretim amaçlı

Gelişim eşiği branşa göre değişir

Branş	Tipik değer	DK	Dalgalanma	Değerli en küçük fark
100 m	10,20 s	%0,8	0,08 s	0,03–0,06 s
10.000 m koşu	28:00 (1680 s)	%1,0	17 s	7–12 s
Halter, koparma	120 kg	%2,0	2,4 kg	1,0–1,7 kg
Gülle atma	18,0 m	%2,5	0,45 m	0,18–0,32 m

Sahada duyacağınız dört cümle

Mit mi, gerçek mi?

Cümle	Hüküm	Neden
“0,05 s iyileşti; program işe yaradı.”	Mit	Önce sporcunun dalgalanması bilinmeli
“Standart sapması küçükse sporcu iyidir.”	Mit	Küçük s tutarlılık demek, yüksek performans değil
“n − 1 ile n arasındaki fark önemsizdir.”	Kısmen	Büyük örneklemde öyle; 5 kişide %25
“Farklı testlerin tutarlılığı DK ile karşılaştırılır.”	Gerçek	DK birimsiz

Tartışma · 4 dakika

Skor 0-0, son 20 dakika. İki forvetin maç başı gol katkısı ortalaması aynı: 0,5. Birinin s'si 0,1, ötekinin 0,8.

Yardımcı antrenör: “Ortalamaları aynı, fark etmez.”
Önde olsaydınız ya da geride olsaydınız karar değişir miydi?

SON BÖLÜM

Kendinizi Sınayın

Yedi soru, her biri bir dakika. Önce herkes oy verir, sonra cevap açılır.

Soru 1 / 7

Beş derece: 11,2 · 11,8 · 11,4 · 12,0 · 11,5 s. Ranj kaç saniye?

Doğru: C. 12,0 − 11,2 = 0,8 s.

Soru 2 / 7

10 sporcuda sapma kareleri toplamı 36. Örneklem standart sapması kaç?

Doğru: A. 36 ÷ (10 − 1) = 4; √4 = 2.

Soru 3 / 7

Varyansın birimi neden “kg²” gibi okunmaz bir birimdir?

Doğru: D. kg × kg = kg². Karekök alınca s yine kg olur.

Soru 4 / 7

Bir grubun sıçraması: ortalama 50 cm, s = 4 cm. Değişim katsayısı kaç?

Doğru: B. 4 ÷ 50 × 100 = %8.

Soru 5 / 7

16 sporcunun sıçramasında s = 8 cm. Ortalamanın standart hatası kaç?

Doğru: C. 8 ÷ √16 = 8 ÷ 4 = 2 cm.

Soru 6 / 7

Hopkins ve ark. (1999): değerli en küçük gelişme, sporcunun yarıştan yarışa dalgalanmasının kaç katı?

Doğru: A. Bu yüzden önce sporcunun dalgalanması (yayılımı) bilinmeli.

Soru 7 / 7

Malcata ve Hopkins (2014): yarıştan yarışa dalgalanma hangi sporlarda en büyük?

Doğru: D. Sörf gibi sporlarda DK ≈ %50; sprint ve dayanıklılıkta %0,6–1,4.

Özet

Bugün beş şey öğrendik

1Ranj hızlı ama uçlara hassas; ÇA uçlara dayanıklı.
2s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1); s = √s², verinin biriminde tipik uzaklık.
3n − 1, küçük örneklemin daralttığı yayılımı düzeltir.
4DK farklı birimleri karşılaştırır; SH = s ÷ √n ortalamanın kesinliği.
5Gelişim, sporcunun kendi dalgalanmasıyla kıyaslanır.

Derslikten çıkmadan

Sıçramanız gelecek ay kaç santimetre artarsa “gerçekten geliştim” dersiniz?

Gelecek hafta · Hafta 6: Temel Grafikler

Ayrıntılı okuma: Hafta 5 ders notu · varyans, SS, DK, SH ve vaka çalışmaları.