İstatistik

Hafta 10

Kaç Adım Uzaktasınız?

Normal dağılım ve 68–95–99,7; z puanı ve yüzdelik; eksi z'nin anlamı; bileşik z ve T puanı; normallik testi; branşlar arası karşılaştırma

Prof. Dr. İzzet İNCE
Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi · Spor Bilimleri Fakültesi · 2026–2027

Kulüp ödül töreni öncesi

“Yılın sporcusu kim olsun: silkmede 150 kg kaldıran halterci Veli mi, 30 m'yi 4,1 s'de koşan sprinter Ali mi?”

Kilogram ile saniye yan yana konmuyor.
İki sporcuyu hangi ortak dille karşılaştırırsınız?

Bu derste

Ders sonunda şunları yapabileceksiniz

1Normal dağılımı ve 68–95–99,7 kuralını kullanmak.
2z puanını hesaplamak ve yüzdeliğe çevirmek.
3“Düşük değer iyi” testlerde işareti doğru yorumlamak.
4Testleri bileşik z ve T puanıyla birleştirmek.
5Normallik testinin ne söylediğini ve ne söylemediğini açıklamak.

Önce temel · bir sayı ancak bir gruba bakınca anlam kazanır

Norm, ortalama ve SS, yüzdelik, çarpıklık

Norm

Grubun olağan değerleri: yaş, cinsiyet, branşa göre.

Fiyatı yorumlatan diğer marketler.

μ ve σ

Merkez ve tipik uzaklık (evren simgeleri).

8 oyuncunun isabeti: μ = 5, σ = 2.

Yüzdelik

Altında kalan kişilerin yüzdesi.

20'den 15'i altta: 75. yüzdelik.

Çarpıklık

Bir yana uzanan kuyruk.

1, 1, 2, 2, 30 hafta: ortalama 7,2.

Fatma 100 m'yi 13,0 s'de koştu: yaşıtları 14 s koşuyorsa çok iyi, 12 s koşuyorsa zayıf. Sayıyı yorumlatan kıyaslanan grup.

8 oyuncunun 10 atıştaki isabeti · ortalama 5 · SS 2

Merkez 5, tipik uzaklık 2

9 isabetli oyuncunun fark karesi (16), diğer yedisinin toplamı kadar (16). Karelerin ortalaması 4, karekökü σ = 2.

Gerçek bir araştırma · 2018

2,8 milyon test sonucundan norm tablosu

Soru: Avrupa'da 9–17 yaş çocukların fiziksel uygunluk normları nedir?
Ne yapıldı: 30 ülkeden 98 çalışmadaki dokuz Eurofit testi birleştirildi; yaşa ve cinsiyete özgü yüzdelikler LMS yöntemiyle çıkarıldı.

2 779 165

test sonucu. Erkeklerin %78'i, kızların %83'ü sağlıklı dayanıklılık eşiğinin üstünde.

“Yaşıtlarının %80'inden iyi” cümlesi böyle bir norm tablosuna dayanır.

Tomkinson GR, Carver KD, Atkinson F, et al. European normative values for physical fitness in children and adolescents aged 9–17 years: results from 2 779 165 Eurofit performances representing 30 countries. Br J Sports Med. 2018;52(22):1445–1456.

Önce temel · bu haftanın dört kelimesi

Normal dağılım, z, yüzdelik, standartlaştırma

Kelime	Anlamı	Örnek
Normal dağılım	Simetrik, tek tepeli çan; ortalama = medyan = mod	100 öğrencinin boyu
z puanı	Ortalamadan kaç σ uzakta: (x − μ) ÷ σ	Veli 180 cm: z = +2
Yüzdelik	Değerin altında kalan grubun yüzdesi	z = +1 → %84
Standartlaştırma	Farklı birimleri aynı ölçeğe çevirmek	Saniye ve santimetre yan yana

BÖLÜM 1

Çan Eğrisi

Eğrinin altındaki alan, gruptaki kişi oranı.

100 öğrencinin boyu · ortalama 170 cm · SS 5 cm · öğretim amaçlı

Sütunlardan çan eğrisine

Sütunların toplam alanı 100 kişi; eğrinin altındaki toplam alan %100. Bir bölgenin alanı, o bölgeye düşenlerin oranı.

Standart normal dağılım · yatay eksen z puanı

%68 · %95 · %99,7

±1σ içinde ≈ %68, ±2σ içinde ≈ %95, ±3σ içinde ≈ %99,7. ±3σ dışı 1000 kişide yaklaşık 3 kişi.

Tahmin yoklaması · 1 dakika

Boy μ = 170 cm, σ = 5 cm, normal dağılıyor. 1000 öğrenciden kabaca kaçı 180 cm'den uzundur?

Doğru: A. 180 cm = +2σ. ±2σ dışında %5; tek kuyruk %2,5 → 1000 × 0,025 = 25.

BÖLÜM 2

z Puanı

Çıkar, böl, yorumla; işaretin anlamı.

Önce temel · durak ortalama, bir adım SS · boy: ortalama 170, SS 5 cm

z = (x − μ) ÷ σ

Kişi	x	Çıkar: x − μ	Böl: ÷ σ	Okunuşu
Ali	165 cm	−5	−1	1 adım altında
Ayşe	172,5 cm	+2,5	+0,5	yarım adım üstünde
Veli	180 cm	+10	+2	2 adım üstünde

İşaret yönü, sayı adım sayısını söyler. Birim saniye de olsa santimetre de olsa aynı.

Aynı uzaklık, iki dil · santimetre ve adım

Nokta yerinden oynamaz, cetvel değişir

z'den yüzdeliğe · standart normal tablo (ortalama 0, SS 1)

“Grubun yüzde kaçından iyiyim?”

z	Altında kalan	Ne demek?
−2	%2,3	100 kişinin yaklaşık 2'si bu sonucun altında
−1	%15,9	Yaklaşık altı kişiden biri altında
0	%50,0	Tam ortada
+0,75	%77,3	Fatma: grubun ≈ %77'sinden iyi
+1	%84,1	Altı kişiden beşinin üstünde
+2	%97,7	44 kişiden 43'ünün üstünde

Eksi z için: 100 − (artı z'nin yüzdeliği). z = −1 → 100 − 84,1 = %15,9. Tablo verinin çan biçimli olduğunu varsayar.

Tablonun eğrisi · birikimli normal dağılım

z sağa gittikçe altında kalanlar birikir

Eğri ortada dik: 0 ile +1 arasında %34 birikir; +2 ile +3 arasında yalnız %2.

Kavram · tarif

Çıkar, böl, yorumla

Fatma'nın serbest atışı %78 · lig ortalaması %72 · σ = 8 puan

1) Çıkar: 78 − 72 = 6 puan. 2) Böl: 6 ÷ 8 = z = 0,75. 3) Tablodan: ≈ %77. 4) Yorumla: ligin yaklaşık %77'sinden iyi; üst düzey değil ama ortalamanın belirgin üstünde.

Okunuşu: “z eşittir x eksi mü, bölü sigma.” z = 0 tam ortalama; +1 bir SS üstü; −2 iki SS altı.

Yoklama · 1 dakika

Fatma'nın serbest atış yüzdesi %78; ligde ortalama %72, SS 8 puan. Fatma'nın z'si kaç?

Doğru: D. (78 − 72) ÷ 8 = 0,75. Ligin yaklaşık %77'sinden iyi.

Eksi z her zaman kötü değildir · branşa göre testin yönü

Yüksek mi iyi, düşük mü?

Branş · test	Yön	Eksi z ne demek?
Atletizm · 30 m süresi	Düşük iyi	Ortalamadan hızlı: iyi
Yüzme · 50 m süresi	Düşük iyi	İyi
Halter · silkme kg	Yüksek iyi	Ortalamadan zayıf
Voleybol · aktif sıçrama	Yüksek iyi	Zayıf
Futbol · çeviklik süresi	Düşük iyi	İyi

Tarif: testleri birleştirmeden önce “düşük iyi” testlerin z'sini −1 ile çarpın; böylece her testte artı “iyi” demek olur.

Ali 30 m'yi 4,1 s'de koşuyor · takım 4,3 ± 0,15 s

Süre testinde cetveli çevirmek

Yoklama · 1 dakika

Ali'nin 30 m z'si ≈ −1,33 (takım 4,3 ± 0,15 s). Bu eksi işaret ne söylüyor?

Doğru: B. Hesap aynı, yorum testin yönüne bağlı. Profilde yön düzeltilince +1,33.

Gerçek bir araştırma · 2024

Çocukların dayanıklılığı SS cinsinden ne kadar düştü?

Soru: Fransız çocukların 20 m mekik koşusu sonuçları 1999–2022 arasında nasıl değişti?
Ne yapıldı: 9–16 yaş 15 420 çocuğun sonuçları uluslararası normlara göre z puanına çevrildi.

−1,42 SS

on yılda düşüş (%18,4). 2010 öncesi −2,31 SS, 2010 sonrası yalnız −0,15 SS.

Farklı yaş ve cinsiyetleri tek ölçekte izlemeyi z puanı sağlıyor.

Vanhelst J, Lang JJ, Matelot D, Carré F, et al. Cardiorespiratory fitness has declined among French children since 1999, although the decline appears to be getting smaller. Scand J Med Sci Sports. 2024;34(5):e14641.

Vanhelst ve ark. (2024) eğimleri · 1999 sıfır alınarak çizildi, ham veri değil

Düşüşün neredeyse tamamı 2010'dan önce

BÖLÜM 3

Birleştirme ve Varsayım

Bileşik z, T puanı, normallik, branşlar arası.

Önce temel · puanları birleştirmek ve çan varsayımını yoklamak

Yön, bileşik z, T, normallik testi

Adım	Tarif	Can'ın örneği
Yön düzeltme	Düşük iyi ise × (−1)	Sprint −1,0 → +1,0
Bileşik z	Düzeltilmiş z'lerin ortalaması	(1,0 + 0,5 − 0,5) ÷ 3 ≈ 0,33
T puanı	T = 50 + 10 × z	0,33 → 53,3
Normallik testi	Çana uyum sorusu → p	p < 0,05: belirgin sapma

Ortalamaya bakmadan önce her testin kendi z'sine bakın: Can'ın +1,0 ve −0,5'i bileşik z'de kaybolur.

Ayşe'nin dört testi · kendi takım ortalaması ve SS'siyle · öğretim amaçlı

Dört test, tek profil

Test	Ayşe	μ ± σ	z (yönü düzeltilmiş)	T
30 m (s) · düşük iyi	4,2	4,4 ± 0,2	+1,0	60
Aktif sıçrama (cm)	42	38 ± 4	+1,0	60
Yo-Yo (m)	1400	1600 ± 200	−1,0	40
Çeviklik (s) · düşük iyi	9,8	10,0 ± 0,4	+0,5	55
Ortalama	—	—	+0,375	≈ 54

Ayşe'nin profili · z puanları

Ortalama profili gömer, çubuklar gösterir

Yoklama · 1 dakika

Can'ın düzeltilmiş z'leri: +1,0, +0,5, −0,5. Bileşik z ve T puanı kaç?

Doğru: C. (1,0 + 0,5 − 0,5) ÷ 3 ≈ 0,33; T = 50 + 10 × 0,33 ≈ 53,3.

Verim normal mi? · önce bak, sonra test et

Dört adımlı kontrol

Simülasyon · hafif sağa çarpık veri · her n için 400 tekrar · Shapiro-Wilk, eşik 0,05

10 kişide görünmez, 1000 kişide hep yakalanır

Küçük örneklemde test kör, büyükte aşırı hassas. Bu yüzden p'ye bakmadan önce histogram çizilir.

Veli silkme 150 kg (grup 140 ± 5) · Ali 30 m 4,1 s (takım 4,3 ± 0,15)

Kilogram ile saniye, z cetvelinde buluşur

Ortak cetvel yalnız grup içindeki yeri karşılaştırır. Sprint ekseninde sağ taraf daha hızlı (cetvel ters).

Yoklama · 1 dakika

Veli kendi kulübünde z = +2,0, Ali kendi takımında +1,33. Yılın sporcusu sorusu için hangisi doğru?

Doğru: B. z kendi karşılaştırma grubuna göre yeri söyler; grupların düzeyi bilinmeden mutlak üstünlük söylenemez.

Sahada duyacağınız dört cümle

Mit mi, gerçek mi?

Cümle	Hüküm	Neden
“Normallik testi p > 0,05: veri kesin normal.”	Mit	Kanıt yokluğu, normalliğin kanıtı değil
“Eksi z puanı kötü demektir.”	Mit	Sürede eksi z iyidir
“Doğadaki her şey normal dağılır.”	Kısmen	Boy evet; sakatlık süresi, gol, maaş çarpık
“z saniye ile santimetreyi karşılaştırılabilir yapar.”	Gerçek	Ama karşılaştırma grubu aynı olmalı

Tartışma · 4 dakika

Altyapı sorumlusu: “100 çocuğu dört testle ölçtük. Ortalama z'si en yüksek 15 çocuğu seçiyoruz. Sayılar tarafsızdır.”

Bileşik puan neyi gizler? z hangi grupla hesaplanmalı?

SON BÖLÜM

Kendinizi Sınayın

Yedi soru, her biri bir dakika. Önce herkes oy verir, sonra cevap açılır.

Soru 1 / 7

Selin 30 m'yi 4,4 s'de koşuyor; takım 4,6 ± 0,1 s. Yönü düzeltilmiş z kaç?

Doğru: A. (4,4 − 4,6) ÷ 0,1 = −2; süre testinde işaret çevrilir: +2.

Soru 2 / 7

Normal dağılımda değerlerin yaklaşık yüzde kaçı ortalamanın ±1 SS'si içindedir?

Doğru: C. 68–95–99,7 kuralı.

Soru 3 / 7

Bir sporcunun sıçramasında z = +1. Normal dağılım varsayımıyla yaklaşık kaçıncı yüzdelikte?

Doğru: D. %50 + %34 = %84,1.

Soru 4 / 7

z = −0,5 olan bir sonucun T puanı kaçtır?

Doğru: B. T = 50 + 10 × (−0,5) = 45.

Soru 5 / 7

12 sporcunun verisinde normallik testi p = 0,30 verdi. Hangisi doğru?

Doğru: C. 12 kişide test zayıf; histogramla birlikte okunur.

Soru 6 / 7

Tomkinson ve ark. (2018) Avrupa normlarını yaklaşık kaç test sonucundan çıkardı?

Doğru: A. 2 779 165 Eurofit sonucu; 30 ülke, 98 çalışma.

Soru 7 / 7

Vanhelst ve ark. (2024): Fransız çocukların dayanıklılığı 1999–2022'de on yılda kaç SS düştü?

Doğru: D. Tüm dönemde −1,42; 2010 öncesi −2,31, sonrası −0,15.

Özet

Bugün beş şey öğrendik

1Normal dağılım: ±1, ±2, ±3 σ içinde ≈ %68, %95, %99,7.
2z = (x − μ) ÷ σ; yüzdeliğe geçiş normallik varsayımına dayanır.
3Düşük iyi testlerde işareti çevirin, sonra birleştirin. T = 50 + 10z.
4Normallik testi p > 0,05 normalliği kanıtlamaz; grafikle okunur.
5z sporcuyu yalnız kendi karşılaştırma grubuna göre konumlar.

Derslikten çıkmadan

Kendi en güçlü ve en zayıf testinizin z'si kaç? Bileşik puanınız hangisini gizliyor?

Gelecek hafta · Hafta 11: Korelasyon

Ayrıntılı okuma: Hafta 10 ders notu · z tablosu, branş örnekleri, T puanı.