📊 TEMEL İSTATİSTİK DERSLERİ

Hafta 10: Normal Dağılım ve Z-Puanı

Bu hafta: O meşhur "Çan Eğrisi" nedir? Neden bu kadar önemli? Bir sporcunun kendi grubundaki konumunu Z-Puanı ile nasıl standardize ederiz?

🎬 Ders Videosu

Bu dersin videosunu izleyerek konuyu kavrayabilirsiniz.

🧭 Ders Yol Haritası

1

Normal dağılımın mantığı

2

Ham skoru Z ile standartlaştırma

3

Z işareti, büyüklüğü ve yüzdelik dilim

4

Branşlar arası karşılaştırma ve bileşik Z

5

Ek uzantı: T-puanı ve kapanış

Not: T-puanı bu haftanın ana omurgası değil; Z-puanını raporlamada daha okunur hale getiren ek dönüşüm olarak en sonda ele alınır.

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

🔔 Çan Eğrisi Nedir?

Normal Dağılım: Doğada birçok şey bu şekilde dağılır - boy, zeka, atletik performans... Çoğunluk ortada, az kişi uçlarda!

🎯 NORMAL DAĞILIM Nedir? - En Basit Açıklama

Düşün: Bir sınıfta 100 öğrenci var. Boy sırasına dizsek ne görürüz?

Çok kısa olanlar: Sadece 2-3 kişi (sol uç)
Orta boylu olanlar: 60-70 kişi (ortada yığılma)
Çok uzun olanlar: Sadece 2-3 kişi (sağ uç)

Bu şekle "ÇAN EĞRİSİ" diyoruz çünkü kilise çanına benziyor! 🔔

🍳 NORMAL DAĞILIMI TANIMAK - 3 ADIM

1️⃣

TEK ZİRVE

Ortada bir tepe var, iki değil!

2️⃣

SİMETRİK

Sol ve sağ taraf ayna gibi!

3️⃣

UÇLAR SEYRELİR

Ortadan uzaklaştıkça kişi azalır!

🧠 Günlük Hayat Örneği

Bir sınıfta not dağılımı düşünün:

• Çok az kişi: 0-30 arası (sol uç)

• Çoğunluk: 50-70 arası (orta - en yüksek nokta)

• Çok az kişi: 90-100 arası (sağ uç)

🚌 OTOBÜS ANALOJİSİ - Hiç Unutma!

Her sabah aynı otobüsü bekliyorsun. Geliş saatleri:

Çok erken (7:50)

Nadiren olur

Normal (8:00-8:05)

Çoğu gün böyle!

Çok geç (8:15)

Nadiren olur

İşte bu da NORMAL DAĞILIM! Çoğu gün ortalama, uç değerler nadir.

🧠 Derinlemesine Analiz: Merkezi Limit Teoremi (CLT)

Neden her şey normale döner? CLT'ye göre, bir dağılım ne kadar düzensiz olursa olsun, o popülasyondan alınan yeterince büyük (n > 30) örneklemlerin ortalamaları Normal Dağılım gösterir.

"Kaostan düzen doğar!" - İstatistiğin en temel yasası.

📊 Normal Dağılım Şekli

🏃 Sporda

100m sprint süreleri, boy, kilo normal dağılır

🧬 Biyolojide

Kalp atış hızı, kan basıncı normal dağılır

📐 Normal Dağılımın Özellikleri

Simetrik ve Tek Tepeli: Ortalama = Medyan = Mod. Her şey ortada buluşur!

🎯 NORMAL DAĞILIMIN ÖZELLİKLERİ - Çok Basit

Düşün: Bir çan eğrisini elinde tutuyorsun. Ortadan dikey olarak kes...

🔄

SİMETRİK

İki yarı üst üste gelir!

⛰️

TEK TEPE

Bir tane zirve var!

📍

ORTA NOKTA

μ = Md = Mo

🍳 NORMAL DAĞILIM MI? KONTROL TARİFİ

1️⃣

Çan şekli var mı?

2️⃣

Tek tepe mi?

3️⃣

Sol = Sağ mı?

4️⃣

Uçlar seyreliyor mu?

4'üne de EVET diyorsan = NORMAL DAĞILIM!

🔄 Simetrik

Sol ve sağ taraf ayna görüntüsü. Ortadan ikiye böl, üst üste gelir!

⛰️ Tek Tepe

Sadece BİR zirve var. Bimodal (çift tepeli) değil!

♾️ Asimptotik

Kuyruklar X eksenine değmez, sonsuza uzanır (ama çok az veri)

📊 Ortalama = Medyan = Mod

📝 Matematiksel Gösterim: X ~ N(μ, σ²) → "X, ortalaması μ ve varyansı σ² olan normal dağılıma sahip"

📐 İleri Analiz: Normallikten Sapma

Eğer veriniz tam çan eğrisi DEĞİLSE, şu iki parametreye bakın:

Skewness (Çarpıklık): Tepe noktası sağa veya sola kaymış mı? (0 olmalı)
Kurtosis (Basıklık): Tepe çok sivri mi yoksa çok yayvan mı? (3 olmalı)

Pozitif Skew = Sağ Kuyruk Uzun Negatif Skew = Sol Kuyruk Uzun

📏 68-95-99.7 Kuralı (Ampirik Kural)

Altın Kural: Normal dağılımda verilerin yüzde kaçı nerede? Bu sayıları EZBERLEYİN!

🎯 68-95-99.7 Kuralı Nedir? - Basit ve Açık

Düşün: Bir apartmanda 1000 kişi yaşıyor. Boylarını ölçtün.

680

kişi

Ortalama ±5cm içinde

(±1 Standart Sapma)

950

kişi

Ortalama ±10cm içinde

(±2 Standart Sapma)

997

kişi

Ortalama ±15cm içinde

(±3 Standart Sapma)

Sadece 3 kişi "aşırı uç" değerlerde! (1000'de 3 = %0.3)

🍳 KURALI EZBERLEMEK İÇİN

6️⃣8️⃣

%68

±1σ içinde

"Çoğunluk burada"

9️⃣5️⃣

%95

±2σ içinde

"Neredeyse herkes"

9️⃣9️⃣

%99.7

±3σ içinde

"Hepsi burada!"

📊 Standart Sapma Bantları

±1σ

68%

±2σ

95%

±3σ

99.7%

🏀 Örnek: Basketbolcu Boyları

Ortalama = 195 cm, Standart Sapma = 5 cm ise:

• %68: 190-200 cm arasında

• %95: 185-205 cm arasında

• %99.7: 180-210 cm arasında

🏃 ÖRNEK: 100m Sprint Süreleri

Ortalama: 12.0 saniye | SD: 0.5 saniye

%68: 11.5 - 12.5 sn arası
%95: 11.0 - 13.0 sn arası
%99.7: 10.5 - 13.5 sn arası

Yorum: 10.5 sn altı koşan biri 1000 sporcudan sadece 1-2 tanesi! Yıldız aday!

🏋️ ÖRNEK: Bench Press (1RM)

Ortalama: 80 kg | SD: 10 kg

%68: 70 - 90 kg arası
%95: 60 - 100 kg arası
%99.7: 50 - 110 kg arası

Yorum: 110 kg üstü kaldıran biri çok nadir - üst %0.15!

☕ GÜNLÜK HAYAT: Kahve Bekleme Süresi

Kahve dükkanında sipariş bekleme: Ortalama = 3 dakika, SD = 0.5 dakika

%68

2.5 - 3.5 dk

%95

2.0 - 4.0 dk

%99.7

1.5 - 4.5 dk

5 dakikadan fazla beklersen, bu çok NADIR bir olay! (%0.15)

📍 Z-Puanı (Standart Puan) Nedir?

Evrensel Dil: "Bu sporcu ortalamanın kaç standart sapma üstünde/altında?" sorusunun cevabı. Farklı ölçekleri karşılaştırılabilir yapar!

🎯 Z-PUANI Nedir? - En Basit Açıklama

Düşün: Sınıfta bir sınav yapıldı. Sen 75 aldın. Bu iyi mi kötü mü?

Sınıf ortalaması 60 ise → ÜSTÜN!
Sınıf ortalaması 80 ise → Ortalamanın altında!

Z-Puanı sana "Ortalamadan KAÇ ADIM uzaktasın?" sorusunun cevabını verir!

🍳 Z-SKORU TARİFİ

1️⃣

DEĞERDEN ORTALAMAYI ÇIKAR

X - μ = Fark

Örn: 180 - 175 = 5

2️⃣

STANDART SAPMAYA BÖL

Fark ÷ σ

Örn: 5 ÷ 5 = 1

3️⃣

SONUÇ: KAÇ SD UZAKTA?

Z = +1

"1 adım yukarıda!"

📏 ÖRNEK: Boy (Yüksek = İyi)

180cm boy, ort=175cm, SD=5cm

Z = (180-175) / 5 = +1

Yorum: Ortalamanın 1 SD ÜSTÜNDE (iyi!)

🏃 ÖRNEK: Sprint (Düşük = İyi)

10.5sn süre, ort=11.0sn, SD=0.5sn

Z = (10.5-11.0) / 0.5 = -1

Yorum: Negatif ama DAHA HIZLI = İYİ!

🤔 Problem: Elmalarla Armutları Karşılaştırmak

Ali 100m'yi 11.5 saniyede koşuyor, Veli dikey sıçramada 65 cm yapıyor.

Kim daha iyi sporcu? Karşılaştırılamaz... TA Kİ Z-puanına çevirene kadar!

Z-Puanı Formülü:

Z = (X - μ) / σ

X = Değer | μ = Ortalama | σ = Standart Sapma

📖 Sembollerin Anlamları (Çok Basit Açıklama):

z	Z puanı - Bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösteren sayı. Örnek: z = +2 demek "ortalamadan 2 adım yukarıda"
x	Gözlem değeri - Ölçtüğümüz değer, yani sporcunun skoru. Örnek: Bir sporcunun 100m sprint süresi = 11.5 saniye
μ (mü)	Ortalama (Mean) - Tüm değerlerin toplamının kişi sayısına bölümü. Örnek: 10 sporcunun ortalama süresi = 12.0 saniye
σ (sigma)	Standart Sapma (SD) - Değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren ölçü. SD büyükse dağılım geniş, küçükse dar. Örnek: SD = 0.5 saniye

Z = 0

Tam ortalamada

Z > 0

Ortalamanın üstünde

Z < 0

Ortalamanın altında

📊 Z Puanı Yorumlama Kuralları:

Z Puanı	Anlam	Yüzdelik Dilim
z = 0	Tam ortalamada	%50 (tam ortada)
z = +1	Ortalamanın 1 SD üstünde	Üst %16 (iyi)
z = -1	Ortalamanın 1 SD altında	Alt %16
z = +2	Ortalamanın 2 SD üstünde	Üst %2.3 (çok iyi!)
z = -2	Ortalamanın 2 SD altında	Alt %2.3

🛡️ Akademik Standart: Robust Z-Score (Sağlamlaştırılmış Z)

Eğer verinizde aşırı uç değerler (outliers) varsa, klasik Z-puanı (Ortalama ve Std.Sapma) bozulur!
Bunun yerine Medyan ve MAD (Median Absolute Deviation) kullanın:

$$ Z_{robust} = \frac{X - Medyan}{MAD \times 1.4826} $$

🧭 Z-Puanı Karar Haritası

Soru	Nasıl Yorumlanır?
z = 0 mı?	Sporcu tam ortalamadadır. Ne avantajlı ne dezavantajlı.
\|z\| kaç?	0.2 küçük fark, 1.0 belirgin fark, 2.0 çok sıra dışı fark demektir.
İşaret ne?	Pozitif = ortalamanın üstünde, negatif = ortalamanın altında. Bu sadece ham yönü gösterir.
Testte yüksek mi iyi?	Mesafe/güçte yüksek iyi; süre/hata sayısında düşük iyi. Son kararı buna göre ver.

⚠️ En sık hata: “Negatif Z = kötü performans” diye düşünmek.

Bu ifade sadece yüksek değerin iyi olduğu testlerde doğrudur. Sprint, çeviklik, reaksiyon süresi, hata sayısı gibi testlerde düşük skor daha iyidir.

Ham Z: $ z = \frac{X - \mu}{\sigma} $
Performans yönü düzeltilmiş Z: $ z_{perf} = \frac{\mu - X}{\sigma} = -z $

Pratik kural: Antrenöre rapor sunacaksan “yüksek = iyi” mantığını korumak için önce yön düzeltmesini düşün.

🔢 Z-Puanı Hesaplama - Adım Adım Örnekler

Adım Adım: Değerden ortalamayı çıkar, standart sapmaya böl. Bu kadar basit! Aşağıda 3 farklı spor örneği var.

🎯 Z HESAPLAMA - Basit ve Açık

Hatırla: Z-puanı sana "ortalamadan kaç ADIM uzaktasın?" sorusunun cevabını verir.

Her ADIM = 1 Standart Sapma (SD)

Z = +2 → Ortalamadan 2 adım YUKARI

Z = -1 → Ortalamadan 1 adım AŞAĞI

🍳 Z-PUANI HESAPLAMA TARİFİ

1️⃣

DEĞER

X = Sporcunun skoru

2️⃣

ÇIKAR

X - μ = Fark

3️⃣

BÖL

Fark ÷ σ

4️⃣

SONUÇ

Z = Kaç SD?

🏃 ÖRNEK 1: 100m Sprint Süresi

Veri: Sporcumuzun 100m süresi = 11.0 saniye

Grup ortalaması (μ): 12.0 saniye | Standart sapma (σ): 0.5 saniye

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (11.0 - 12.0) / 0.5
Adım 3: Payı hesapla → z = -1.0 / 0.5
Adım 4: z = -2.0

→ Bu sporcu ortalamadan 2 standart sapma DAHA HIZLI! Çok iyi performans!

z = -2 demek, sadece %2.3'lük dilimde (en hızlı %2.3). Sprint'te negatif z = daha hızlı = daha iyi!

🏀 ÖRNEK 2: Dikey Sıçrama (Vertical Jump)

Veri: Basketbolcunun dikey sıçraması = 62 cm

Takım ortalaması (μ): 55 cm | Standart sapma (σ): 5 cm

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (62 - 55) / 5
Adım 3: Payı hesapla → z = 7 / 5
Adım 4: z = +1.4

→ Bu basketbolcu ortalamadan 1.4 standart sapma DAHA YÜKSEK sıçrıyor!

z = +1.4 demek yaklaşık %92'lik dilimde. Takımın en iyi %8'inde! Sıçramada pozitif z = daha yüksek = daha iyi!

🫁 ÖRNEK 3: VO2max (Aerobik Kapasite)

Veri: Futbolcunun VO2max değeri = 58 ml/kg/dk

Lig ortalaması (μ): 52 ml/kg/dk | Standart sapma (σ): 4 ml/kg/dk

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (58 - 52) / 4
Adım 3: Payı hesapla → z = 6 / 4
Adım 4: z = +1.5

→ Bu futbolcu lig ortalamasından 1.5 standart sapma DAHA YÜKSEK aerobik kapasiteye sahip!

z = +1.5 demek yaklaşık %93'lük dilimde. Ligin en dayanıklı %7'sinde! VO2max'ta pozitif z = daha iyi dayanıklılık!

⚠️ ÖNEMLİ UYARI - Yön Kuralı:

• Süre, hata sayısı: Düşük değer iyidir → Negatif Z = İYİ

• Mesafe, sıçrama, güç: Yüksek değer iyidir → Pozitif Z = İYİ

📋 Z-Tablosu Okuma

Yüzdelik Dilim: Z-puanı bulduktan sonra, bu sporcunun grubun yüzde kaçından iyi/kötü olduğunu bulabiliriz.

🎯 Z-TABLOSU Nedir? - Basit ve Açık

Düşün: Z-puanı buldun: +1.5. Peki bu ne anlama geliyor? Sınıfın yüzde kaçından iyisin?

Z-Tablosu sana "Z puanın → Yüzdelik dilimin" dönüşümünü verir!

🍳 Z-TABLOSU OKUMA TARİFİ

1️⃣

Z PUANINI BUL

Örn: Z = 1.5

2️⃣

TABLOYA BAK

Z=1.5 → 0.9332

3️⃣

YÜZDEYİ OKU

0.9332 × 100 = %93

Z = +1.5 olan sporcu grubun %93'ünden daha iyi!

🎓 GÜNLÜK HAYAT: Üniversite Sınavı

YKS sınavında 400 puan aldın. Türkiye ortalaması 280, SD = 60.

Z = (400 - 280) / 60 = 120 / 60 = +2.0

Z-tablosundan: Z = +2.0 → %97.7

Yorum: Türkiye'deki öğrencilerin %97.7'sinden daha iyi puan almışsın! Üst %2.3'tesin!

📊 Z-Puanı ve Yüzdelik Dilimler

Z-Puanı	Altındaki %	Yorum
-2.0	2.3%	En düşük %2
-1.0	15.9%	Ortalamanın altında
0	50%	Tam ortalama
+1.0	84.1%	Ortalamanın üstünde
+2.0	97.7%	En iyi %2

💡 Örnek: Z = +1.5 olan sporcu → Grubun yaklaşık %93'ünden daha iyi!

📊 STANDART NORMAL DAĞILIM TABLOSU (Z-Tablosu)

Bu tablo, Z puanından yararlanarak normal dağılım eğrisinin altındaki alanı (yüzdelik dilim) bulmak için kullanılır.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

Nasıl Okunur: Örneğin Z=1.25 için: Satırda 1.2, sütunda 0.05 bulun → 0.8944. Bu %89.44'lük dilim demektir.

🧠 Z-Tablosunu Doğru Okuma: Alt Yüzde, Üst Yüzde, Orta Bölge

İstenen bilgi	Formül / Mantık	Örnek
Alt yüzde	$\Phi(z)$	z = -1.25 için yaklaşık %10.6
Üst yüzde	$1 - \Phi(z)$	z = -1.25 için yaklaşık %89.4
-\|z\| ile +\|z\| arası	$2\Phi(\|z\|)-1$	\|z\| = 1 için yaklaşık %68.3

Spor örneği: Sprint testinde z = -1.25 ise sporcu ham skorda ortalamanın altında görünür; ama süre testinde düşük değer iyi olduğu için performans açısından grubun yaklaşık %89.4'ünden iyi olabilir.

📐 Daha Fazla Spor Örneği

🎯 Farklı branşlardan örnekler: Bench Press, Esneklik Testi ve Çeviklik Testi Z puanı hesaplamaları

🧭 Bu slaydın asıl mesajı

Pozitif veya negatif işaret tek başına iyi-kötü demek değildir; önce testte yüksek skor mu iyi, düşük skor mu iyi ona bakılır. Bu yüzden bu bölüm, örnek çözüm verirken aynı zamanda yorumlama ve yön düzeltme mantığını da gösterir.

🎯 FARKLI TESTLER, AYNI MANTIK!

Önemli Kural: Her testte Z hesaplama aynı, ama YORUMLAMA farklı olabilir!

YÜKSEK = İYİ testler

Güç, sıçrama, mesafe, VO2max

Pozitif Z = Daha iyi!

DÜŞÜK = İYİ testler

Süre, hata sayısı, reaksiyon

Negatif Z = Daha iyi!

🏋️ ÖRNEK 4: Bench Press (Göğüs Press)

Veri: Bir futbolcunun bench press 1RM değeri = 95 kg

Takım ortalaması (μ): 80 kg | Standart sapma (σ): 10 kg

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (95 - 80) / 10
Adım 3: Payı hesapla → z = 15 / 10
Adım 4: z = +1.5

→ Bu futbolcu takım ortalamasından 1.5 SD daha güçlü! Takımın en güçlü %7'sinde!

🧘 ÖRNEK 5: Otur-Uzan Esneklik Testi

Veri: Jimnastikçinin otur-uzan testi sonucu = +18 cm

Grup ortalaması (μ): +10 cm | Standart sapma (σ): 4 cm

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (18 - 10) / 4
Adım 3: Payı hesapla → z = 8 / 4
Adım 4: z = +2.0

→ z = +2.0! Bu jimnastikçi grubun EN ESNEKLERİNDEN! Sadece %2.3'lük dilimde (en esnek %2.3)!

⚡ ÖRNEK 6: T-Testi (Çeviklik)

Veri: Basketbolcunun T-testi süresi = 9.0 saniye

Lig ortalaması (μ): 10.0 saniye | Standart sapma (σ): 0.5 saniye

Adım 1: Formülü yaz → z = (x - μ) / σ
Adım 2: Değerleri yerine koy → z = (9.0 - 10.0) / 0.5
Adım 3: Payı hesapla → z = -1.0 / 0.5
Adım 4: z = -2.0

→ z = -2.0 ama bu SÜRE olduğu için negatif = DAHA İYİ! Bu sporcu ligin en çevik %2.3'ünde!

Hatırla: Süre testlerinde düşük süre = iyi performans, bu yüzden negatif z aslında olumlu!

💡 Z-Puanı Yorum Rehberi:

Z < -2
Çok düşük

-2 ≤ Z < -1
Düşük

-1 ≤ Z ≤ +1
Ortalama

+1 < Z ≤ +2
Yüksek

Z > +2
Çok yüksek

⚽🏀 Farklı Spor Branşlarında Z-Puanı

🎯 Amaç: Farklı birimlerdeki performansları karşılaştırılabilir hale getirmek.

🎯 NEDEN FARKLI BRANŞLARI KARŞILAŞTIRIYORUZ?

Senaryo: Bir futbolcu 30m'yi 4.1 sn'de koşuyor, bir halterci 320 kg kaldırıyor. Kim daha üstün?

Elma ile armutu karşılaştıramazsın! Ama Z-puanı ile KARŞILAŞTIRIRSIN!

🍳 BRANŞLAR ARASI KARŞILAŞTIRMA TARİFİ

1️⃣

Her sporcunun Z'sini hesapla

2️⃣

Kendi branşındaki yerine bak

3️⃣

Z'leri karşılaştır!

⚽ Futbol: Sprint Hızı

Oyuncu: 30m sprint = 4.1 saniye

Lig ortalaması: μ = 4.4 sn, σ = 0.2 sn

Z = (4.1 - 4.4) / 0.2 = -1.5

Negatif = Daha hızlı (sürede düşük iyidir!)

🏀 Basketbol: Dikey Sıçrama

Oyuncu: Dikey sıçrama = 72 cm

NBA ortalaması: μ = 68 cm, σ = 5 cm

Z = (72 - 68) / 5 = +0.8

Ortalamanın biraz üstünde

🏋️ Halter: Toplam

Sporcu: Toplam = 320 kg (77kg sıklet)

Ulusal ort: μ = 280 kg, σ = 25 kg

Z = (320 - 280) / 25 = +1.6

Ulusal seviyede çok iyi!

🏊 Yüzme: 100m Serbest

Yüzücü: Süre = 52.5 saniye

Dünya ort: μ = 54.0 sn, σ = 1.2 sn

Z = (52.5 - 54.0) / 1.2 = -1.25

Negatif = Daha hızlı (mükemmel!)

⚠️ Önemli: Yön Düzeltmesi

Bazı testlerde düşük değer iyidir (süre, hata sayısı). Bu durumda:

Düzeltilmiş Z = -1 × Z veya formülü ters çevir

🎯 Yetenek Tespiti ve Z-Puanı

Talent ID: Farklı testlerden gelen sonuçları tek bir skora dönüştürerek en yetenekli sporcuyu bulma.

🎯 YETENEK TESPİTİ Nedir? - Çok Basit Açıklama

Problem: 100 çocuğu test ettin. Hangisi en yetenekli futbolcu adayı?

Her çocuğun 4 farklı testi var:

Sprint süresi (saniye)
Sıçrama yüksekliği (cm)
Dayanıklılık mesafesi (metre)
Çeviklik süresi (saniye)

Hepsini Z-puanına çevir, topla! En yüksek toplam = EN YETENEKLİ!

🍳 BİLEŞİK Z-SKORU TARİFİ

1️⃣

Her test için Z hesapla

2️⃣

Süre testlerinde işareti çevir

3️⃣

Tüm Z'leri topla

4️⃣

En yüksek toplam = Şampiyon!

📊 Çoklu Test Değerlendirmesi: Bileşik Z-Skoru

Bir futbolcu için 4 farklı test yapıldı. Her testin Z-puanı hesaplanıp toplanır:

Test	Ham Skor	μ	σ	Z-Puanı
30m Sprint	4.2 sn	4.5	0.2	+1.5 *
Dikey Sıçrama	55 cm	48	5	+1.4
Yo-Yo Test	2400 m	2100	200	+1.5
Çeviklik (T-Test)	9.2 sn	10.0	0.5	+1.6 *
TOPLAM Z-SKORU:				+6.0

* Sprint ve çeviklik testlerinde düşük süre iyi olduğu için Z işareti çevrildi

✅ Bu Sporcu Seçilmeli mi?

Toplam Z = +6.0

Ortalama Z = +1.5

Yorum: 4 testte de ortalamanın üstünde. Çok yönlü ve yetenekli!

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

Testler eşit ağırlıkta mı olmalı?
Pozisyona göre önem değişir
Gelişim potansiyeli de değerlendirilmeli

🔬 Normallik Testleri

Soru: Verimiz gerçekten normal dağılıyor mu? Bunu nasıl test ederiz?

🎯 NORMALLİK TESTİ Nedir? - Çok Basit

Düşün: Elinde 50 futbolcunun koşu süreleri var. Bunlar "çan eğrisi" şeklinde mi dağılmış?

Normallik testi sana şunu söyler:

p > 0.05 ise

NORMAL DAĞILIM VAR!

Parametrik testler kullanabilirsin

p ≤ 0.05 ise

NORMAL DEĞİL!

Non-parametrik testler kullan

🍳 NORMALLİK KONTROLÜ TARİFİ

1️⃣

Histogram çiz

2️⃣

Çan gibi mi?

3️⃣

Shapiro-Wilk yap

4️⃣

p > 0.05 mi?

📊 Neden Önemli?

Birçok istatistiksel test (t-testi, ANOVA, korelasyon) verilerin normal dağıldığını varsayar. Bu varsayım sağlanmazsa sonuçlar güvenilir olmayabilir!

1. Shapiro-Wilk Testi

En yaygın ve güçlü test

Küçük örneklemler için ideal (n < 50)
p > 0.05 → Normal dağılım
p ≤ 0.05 → Normal DEĞİL

2. Kolmogorov-Smirnov Testi

Büyük örneklemler için

n > 50 için tercih edilir
Shapiro-Wilk'e göre daha az hassas
p > 0.05 → Normal dağılım

3. Görsel Yöntemler

Histogram

Çan şekline benziyor mu? Tek tepeli ve simetrik mi?

Q-Q Plot

Noktalar çizginin üzerinde mi? Sapmalar var mı?

🏃 Spor Örneği: Normallik Testi Sonucu

Veri: 40 futbolcunun VO2max değerleri

Shapiro-Wilk: W = 0.967, p = 0.312

Yorum: p > 0.05 olduğu için H₀ reddedilmez. Veri normal dağılıma uygundur, parametrik testler kullanılabilir.

🎮 Sınıf İçi Aktivite

🎯 Görev: Aşağıdaki senaryolarda Z-puanlarını hesaplayın ve yorumlayın.

🍳 PROBLEM ÇÖZME TARİFİ

1️⃣

X, μ, σ'yı bul

2️⃣

Z = (X-μ)/σ hesapla

3️⃣

Tablodan % bul

4️⃣

Yorumla!

Senaryo 1: Basketbol

Bir basketbolcu serbest atış yüzdesinde %78 başarı gösterdi.

Lig ortalaması: μ = 72%, σ = 8%

Hesaplayın:

Z-puanı kaçtır?
Ligde yüzde kaçlık dilimde?
Bu sporcu "üst düzey" sayılır mı?

Senaryo 2: Maraton

Bir koşucu maratonu 3:45:00'de bitirdi.

Yarış ortalaması: μ = 4:15:00, σ = 30 dakika

Hesaplayın:

Süreyi dakikaya çevirin (225 dk vs 255 dk)
Z-puanı kaçtır?
Bu koşucu yarışı kaçıncı %'lik dilimde bitirdi?

Senaryo 3: Çoklu Karşılaştırma

İki farklı sporcuyu karşılaştırın:

Ali (Yüzücü)

100m Serbest: 54.0 sn

μ = 56.0 sn, σ = 2.0 sn

Ayşe (Atlet)

100m Koşu: 12.0 sn

μ = 13.0 sn, σ = 0.5 sn

Soru: Kendi branşında kim daha üst sırada? Z-puanlarını karşılaştırarak cevap verin.

💻 Z-Puanı Hesaplayıcı

🎯 Uygulama: Kendi verilerinizi girin ve Z-puanını anında görün!

🎯 KENDİ VERİNLE DENE!

3 değer gir: Sporcunun skoru (X), grup ortalaması (μ), standart sapma (σ)

Hesaplayıcı sana Z-puanı ve yüzdelik dilimi anında gösterir!

Z-Puanı Hesaplayıcı

Sporcunun Değeri (X):

Grup Ortalaması (μ):

Standart Sapma (σ):

📊 Hızlı Referans: Z → Yüzdelik

Z=-3
%0.1

Z=-2
%2.3

Z=-1
%16

Z=0
%50

Z=+1
%84

Z=+2
%98

Z=+3
%99.9

📊 T-Puanı (T-Score)

Z-puanı gibi standartlaştırılmış bir skor daha: T-Puanı! Özellikle spor bilimlerinde çok kullanılır.

🧭 Konumlandırma notu

Bu bölüm haftanın ana omurgası olan normal dağılım ve Z-puanı anlatımından sonra gelir. Amaç yeni bir ana konu açmak değil, Z-puanını daha okunur bir rapor ölçeğine dönüştüren ek bir dönüşümü kısaca göstermektir.

🎯 T-Puanı Nedir? - Basit ve Açık

Düşün: Z-puanı ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir. T-puanı da aynı şeyi yapar, ama farklı bir ölçek kullanır!

Z-Puanı: ortalama = 0, SD = 1
T-Puanı: ortalama = 50, SD = 10

🍳 T-PUANI HESAPLAMA TARİFİ

📐

Formül

T = 50 + 10 × Z

🔄

Veya Doğrudan

T = 50 + 10 × [(X - μ) / σ]

✅ Z-Puanı Avantajları

Matematiksel işlemler için ideal
Negatif değerler alabilir
Standart normal dağılım
İstatistiksel testlerde kullanılır

✅ T-Puanı Avantajları

Kolay yorumlanır (0-100 arası)
Her zaman pozitif
Spor bilimlerinde yaygın
Antrenörlere daha anlaşılır

🏃 ÖRNEK: Futbolcularda T-Puanı

Veri: 20 futbolcunun sprint süreleri (sn)

Ortalama (μ) = 11.2 sn, Standart Sapma (σ) = 0.8 sn

Sporcu X: 12.8 sn

Adım 1: Z-puanını bulalım

Z = (12.8 - 11.2) / 0.8 = 2.0

Adım 2: T-puanına dönüştürelim

T = 50 + 10 × 2.0 = 70

Yorum: Bu futbolcu, grubun %97.7'sinden daha yavaş (ortalamanın 2 standart sapma üzerinde)!

⚠️ Kritik düzeltme: Süre testlerinde T-puanı yorumlarken yön düzeltmesi gerekir.

Yukarıdaki hesap matematiksel dönüşümü gösterir; ama sprintte düşük süre iyi olduğu için performans raporunda doğrudan “T = 70, o halde iyi” diyemeyiz.

Ham zaman ölçeği

Z = (12.8 - 11.2) / 0.8 = +2.0

Sadece zamanın ortalamadan daha büyük olduğunu söyler.

Performans yönü düzeltilmiş ölçek

$ z_{perf} = (11.2 - 12.8) / 0.8 = -2.0 $

$ T_{perf} = 50 + 10 \times (-2.0) = $30

Sonuç: Eğer raporda “yüksek T = iyi performans” istiyorsan, süre ve hata testlerinde önce yön düzeltmesi yapmalısın.

💡 Ne Zaman Hangisi?

T-Puanı Kullan

Spor performansı raporları

Antrenör değerlendirmeleri

Günlük pratik kullanım

Z-Puanı Kullan

İstatistiksel analiz

Bilimsel araştırma

Karşılaştırmalı testler

Dönüşüm

T = 50 + 10Z

Z = (T - 50) / 10

Kolayca birbirine çevrilir

📊 Z-Puanı vs T-Puanı Karşılaştırması

Özellik	Z-Puanı	T-Puanı
Ortalama	0	50
Standart Sapma	1	10
Değer Aralığı	-∞ ile +∞	Genellikle 20-80
Kullanım Alanı	İstatistik, araştırma	Spor, eğitim, psikoloji

🎯 Özet

T-puanı, Z-puanının daha anlaşılır bir versiyonudur. Spor bilimlerinde performans değerlendirmesi için T-puanı, istatistiksel analiz için Z-puanı tercih edilir. İkisi arasında kolayca dönüşüm yapılabilir!

✅ Hafta 10 Özet ve Quiz

Normal dağılım ve Z-puanı - standartlaştırmanın gücü!

🧭 Bu kapanış slaytı nasıl okunmalı?

İlk bölüm ana özet, ikinci bölüm kısa quiz, en alttaki mor ve pembe kutular ise yeni konu değil. Onlar Z-tablosu ile standart normal dağılımın neden önemli olduğunu kalıcı hale getiren kapanış tekrarlarıdır.

🎯 BU HAFTA NE ÖĞRENDİK?

🔔 ÇAN EĞRİSİ

Çoğunluk ortada, uçlarda az kişi!

📏 68-95-99.7 KURALI

±1σ=%68, ±2σ=%95, ±3σ=%99.7

📍 Z-PUANI

Z = (X - μ) / σ → Kaç SD uzakta?

🎯 KARŞILAŞTIRMA

Farklı testleri Z ile karşılaştır!

🔔 Çan Eğrisi

Simetrik, tek tepeli

📏 68-95-99.7

Ampirik kural

📍 Z-Puanı

(X-μ)/σ

🧠 Quiz

Soru 1: Normal dağılımda verilerin yaklaşık %68'i nerede bulunur?

Soru 2: Z = +2.0 olan sporcu grubun yaklaşık yüzde kaçından daha iyi?

🎯 Gelecek Hafta: korelasyon

İki değişken arasında ilişki var mı? Pozitif mi, negatif mi?

🔁 Kapanış Notları

Buradan sonrası yeni başlık açmıyor; sadece bu haftanın iki kritik fikrini son kez toparlıyor:

Z-tablosu neden var?
Standart normal dağılım neden evrensel bir referans?

🔬 Z-TABLOSU NEDEN VAR?

Soru: Normal dağılım eğrisinin altındaki alanı hesaplamak çok mu zor?

Cevap: EVET! 😱

Normal dağılımın altındaki alanı bulmak için şu integrali çözmemiz gerekir:
∫e^-x²/2 dx

Bu integralin analitik çözümü YOK! Yani formülle direkt hesaplayamıyoruz.

📊 Z-Tablosu Çözümü

Matematikçiler yüzyıllar önce bu integrali sayısal olarak hesaplayıp TABLO olarak yazmışlar!

💻 Bilgisayar Çözümü

Bugün bilgisayarlar bu hesabı saniyede yapıyor. Ama Z-tablosu hâlâ "göz kararı" kontrol için kullanılıyor.

📌 Özet: Z-tablosu, "çözülemeyen" bir integralin sayısal çözümünü içeren bir HAZIR REFERANS tablosudur!

🎯 STANDART NORMAL DAĞILIM (Z) NEDEN ÖNEMLİ?

Kısa cevap: Çünkü BÜTÜN normal dağılımlar aynı şekle sahip! Sadece ölçekleri farklı.

Bu bize muhteşem bir güç veriyor:

⚖️

Karşılaştırma

Farklı testleri birbiriyle karşılaştırabiliriz

📊

Evrensel Dil

Her branş için aynı yorumlama

🔢

Tablo Kullanımı

Her Z için alan hesaplayabiliriz

Sonuç: μ=50, σ=10 olan bir Z-dağılımı, SPOR, EĞİTİM, PSİKOLOJİ, TIP... HER YERDE aynı şekilde çalışır!

1 / 9

İstenen bilgi	Formül / Mantık	Örnek
Alt yüzde	\(\Phi(z)\)	z = -1.25 için yaklaşık %10.6
Üst yüzde	\(1 - \Phi(z)\)	z = -1.25 için yaklaşık %89.4
-\|z\| ile +\|z\| arası	\(2\Phi(\|z\|)-1\)	\|z\| = 1 için yaklaşık %68.3