?? TEMEL İSTATİSTİK DERSLERİ

Hafta 16: Regresyon - Tahmin Etmenin Bilimi

Bu hafta: Bir değişkeni kullanarak başka bir değişkeni TAHMİN etmek. "Squat kuvvetinden dikey sıçramayı tahmin edebilir miyiz?"

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

?? Regresyon Nedir?

Tanım: Bir veya daha fazla bağımsız değişken (X) kullanarak bağımlı değişkeni (Y) tahmin etme yöntemi.

Korelasyon

"İlişki var mı?"

Güç ve yön

Regresyon

"Y'yi tahmin edebilir miyim?"

Tahmin denklemi

??? Spor Örneği

Soru: Bir sporcunun squat 1RM'i 120 kg ise, dikey sıçraması kaç cm olur?

Korelasyon: "Squat ve sıçrama arasında r = 0.75 pozitif ilişki var"

Regresyon: "Squat 120 kg ise › Tahmin: Sıçrama ? 55 cm"

?? Terimler

X (Bağımsız/Yordayıcı): Tahmin için kullanılan değişken (squat)

Y (Bağımlı/Kriter): Tahmin edilen değişken (sıçrama)

?? Derinlemesine Analiz: "LINE" Varsayımları

Regresyonun geçerli olması için 4 şart (LINE) sağlanmalıdır:

L (Linearity): İlişki doğrusal olmalı.
I (Independence): Hatalar birbirinden bağımsız olmalı.
N (Normality of Residuals): Hatalar (residuals) normal dağılmalı.
E (Equal Variance/Homoscedasticity): Varyans her yerde eşit olmalı.

REGRESYON SEMBOLLERI VE KAVRAMLARI

Once terimleri ogrenelim: Regresyon formullerinde kullanilan sembolleri taniyin!

TEMEL SEMBOLLER TABLOSU

Sembol	Adi	Ne Demek?	Ornek
Y	Bagimli Degisken	Tahmin etmek istedigimiz sey	Dikey sicrama (cm)
X	Bagimsiz Degisken	Tahmin icin kullandigimiz sey	Squat 1RM (kg)
Y	Tahmin Edilen Y	Formul ile hesapladigimiz deger	Tahmini sicrama = 52 cm
b0 (a)	Sabit (Intercept)	X = 0 iken Y'nin degeri	Baslangic noktasi = 15
b1 (b)	Egim (Slope)	X 1 birim artinca Y ne kadar degisir?	Her 1 kg = 0.35 cm artis
R2	Belirlilik Katsayisi	Modelimiz ne kadar iyi? (%)	R2 = 0.64 = %64 aciklaniyor
Residual	Artik (Hata)	Gercek deger - Tahmin = Hata	55 - 52 = 3 cm hata
SEE	Tahminin Std. Hatasi	Ortalama ne kadar sapiyoruz?	SEE = 4.2 cm (ort. hata)

TEMEL FORMUL

Y = b0 + b1 x X

Oku: Tahmin = Sabit + (Egim x Bagimsiz Degisken)

ORNEK: Formulu Okuyalim

Denklem: Sicrama = 15 + 0.35 x Squat

Anlami: Bir sporcunun sicramasini tahmin etmek icin:

1. Sabit degeri al: 15

2. Squat degerini 0.35 ile carp

3. Ikisini topla = Tahmini sicrama

Basit Dogrusal Regresyon

En Iyi Cizgi: Noktalardan gecen ve hata toplamini minimize eden duz cizgi.

?? Regresyon Çizgisi ve Artıklar

?? En Küçük Kareler (OLS)

Çizgi, tüm noktaların çizgiye olan dikey uzaklıklarının (artıkların) karelerinin toplamını MİNİMİZE eder.

SPOR ORNEKLERI: Adim Adim Hesaplama

3 farkli spor ornegi: Regresyon denklemini nasil kurup kullanacagimizi ogrenelim!

ORNEK 1: FUTBOL - Antrenman Saati ve Sprint Suresi

Soru: Haftalik antrenman saati (X) ile 30m sprint suresi (Y) arasindaki iliski nedir?

Sporcu	Antrenman (saat/hafta)	Sprint (saniye)
1	8	4.8
2	10	4.5
3	12	4.3
4	15	4.0
5	18	3.8

Adim 1: Veriyi incele - Antrenman arttikca sprint suresi azaliyor (negatif iliski)
Adim 2: Regresyon analizi yap
Adim 3: Sonuc: Y = 5.6 - 0.10 x X
Yorum: Her 1 saat fazla antrenman = Sprint suresi 0.10 sn azalir!

TAHMIN: 14 saat antrenman yapan sporcu = 5.6 - 0.10 x 14 = 4.2 saniye

ORNEK 2: BASKETBOL - Boy ve Ribaund Sayisi

Soru: Oyuncu boyu (X) ile mac basi ribaund sayisi (Y) arasindaki iliski nedir?

Oyuncu	Boy (cm)	Ribaund/Mac
1	180	3
2	190	5
3	195	6
4	200	8
5	210	11

Adim 1: Veriyi incele - Boy arttikca ribaund artiyor (pozitif iliski)
Adim 2: Regresyon analizi yap
Adim 3: Sonuc: Y = -42 + 0.25 x X
Yorum: Her 1 cm boy artisi = 0.25 ribaund artisi!

TAHMIN: 205 cm boyundaki oyuncu = -42 + 0.25 x 205 = 9.25 ribaund/mac

ORNEK 3: YUZME - Haftalik Km ve 100m Suresi

Soru: Haftalik yuzme mesafesi (X) ile 100m serbest suresi (Y) arasindaki iliski?

Yuzucu	Haftalik (km)	100m Suresi (sn)
1	15	68
2	20	64
3	25	60
4	30	57
5	35	54

Sonuc: Y = 80 - 0.75 x X
Yorum: Her 1 km fazla antrenman = Sure 0.75 sn azalir!

TAHMIN: 28 km antrenman yapan yuzucu = 80 - 0.75 x 28 = 59 saniye

REGRESYON DENKLEMINI YORUMLAMA

Denklem verildi, simdi yorumlayalim! Her spor ornegi icin b0 ve b1 ne anlama geliyor?

ORNEK 1: HALTER - Squat ve Clean Performansi

Denklem: Clean = 25 + 0.65 x Squat

b0 = 25 (Sabit):

Squat 0 kg olsa bile (teorik), clean tahmini 25 kg olur.

(Pratikte anlamsiz ama matematiksel gereklilik)

b1 = 0.65 (Egim):

Squat 1 kg artarsa, clean 0.65 kg artar.

Squat 10 kg artarsa, clean 6.5 kg artar.

ORNEK HESAP: Squat = 140 kg ise, Clean = 25 + 0.65 x 140 = 116 kg

ORNEK 2: VOLEYBOL - Dikey Sicrama ve Smas Hizi

Denklem: Smas_Hizi = 30 + 1.2 x Sicrama

b0 = 30 (Sabit):

Sicrama 0 cm olsa, smas hizi 30 km/h olur (baslangic noktasi).

b1 = 1.2 (Egim):

Sicrama 1 cm artarsa, smas hizi 1.2 km/h artar.

Sicrama 5 cm artarsa, smas hizi 6 km/h artar.

ORNEK HESAP: Sicrama = 55 cm ise, Smas Hizi = 30 + 1.2 x 55 = 96 km/h

ORNEK 3: ATLETIZM - Vucud Yag Orani ve 5000m Suresi

Denklem: Sure = 14 + 0.5 x Yag_Yuzdesi

b0 = 14 (Sabit):

Yag %0 olsa (teorik), 5000m suresi 14 dakika olur.

b1 = 0.5 (Egim):

Yag orani %1 artarsa, sure 0.5 dakika (30 sn) artar.

DIKKAT: Pozitif egim = yag arttikca sure UZAR (kotu)!

ORNEK HESAP: Yag = %12 ise, Sure = 14 + 0.5 x 12 = 20 dakika

R2 (BELIRLILIK KATSAYISI) YORUMLAMA

R2 = Modelimiz ne kadar iyi? Yuzde olarak dusun: %100'e ne kadar yakinsa o kadar iyi!

R2 NEDIR? BASITCE

R2 = Y'deki degisimin yuzde kaci X tarafindan aciklaniyor?

R2 = 0.64 demek = Y'nin %64'u X ile aciklaniyor, %36 baska seylerden!

ORNEK 1: ATLETIZM - VO2max ve 10km Suresi

Model: 10km Suresi = 60 - 0.5 x VO2max

R2 = 0.81

YORUM:

10km kosma suresindeki degisimin %81'i VO2max ile aciklaniyor.

Geri kalan %19 baska faktorlerden (teknik, motivasyon, hava durumu, vs.)

Sonuc: Cok iyi bir model! VO2max kosu performansini buyuk olcude acikliyor.

ORNEK 2: FUTBOL - Pas Basarisi ve Galibiyet

Model: Galibiyet = 2 + 0.08 x Pas_Basarisi

R2 = 0.35

YORUM:

Galibiyet sayisindaki degisimin sadece %35'i pas basarisiyla aciklaniyor.

Geri kalan %65 baska faktorlerden (sut isabeti, defans, kaleci, vs.)

Sonuc: Orta duzeyde model. Pas basarisi tek basina galibiyeti tahmin etmek icin yetersiz!

ORNEK 3: HALTER - Kol Cevresi ve Bench Press

Model: Bench = -80 + 4.4 x Kol_Cevresi

R2 = 0.92

YORUM:

Bench press performansindaki degisimin %92'si kol cevresiyle aciklaniyor.

Sadece %8 baska faktorlerden (teknik, kas lifi tipi, vs.)

Sonuc: Mukemmel model! Kol cevresi bench press'i cok iyi tahmin ediyor.

R2 DEGERLENDIRME TABLOSU

R2 Degeri	Derecelendirme	Yorum
0.00 - 0.25	Zayif	Model pek ise yaramiyor
0.25 - 0.50	Orta	Kismi aciklama, baska faktorler de lazim
0.50 - 0.75	Iyi	Yari yariya acikliyor, kullanilabilir
0.75 - 1.00	Cok Iyi	Model guclu, tahminler guvenilir

Regresyon Denklemi

Y = a + bX: Klasik doğru denklemi! a = kesişim, b = eğim.

Basit Doğrusal Regresyon:

Y = a + bX

Y = Tahmin edilen Y | a = Sabit | b = Eğim katsayısı

a (Intercept)

Çizginin Y eksenini kestiği nokta

X = 0 iken Y'nin değeri

b (Slope)

X bir birim artınca Y ne kadar değişir?

Değişim oranı

??? Örnek Denklem

Denklem: Sıçrama = 15 + 0.35 × Squat

Yorum: Squat her 1 kg artınca, sıçrama 0.35 cm artar.

Tahmin: Squat = 100 kg › Sıçrama = 15 + 0.35×100 = 50 cm

R2 (Aciklanan Varyans)

Belirleme Katsayısı: Bağımlı değişkendeki değişkenliğin yüzde kaçı bağımsız değişken tarafından açıklanıyor?

R-Squared:

R² = 1 - (SS_Residual / SS_Total)

0 ile 1 arasında değer alır | r²'ye eşit

?? R² Yorumlama

R² Değeri	Yorum	Açıklama
R² = 0.10	Zayıf	Sadece %10 açıklanıyor
R² = 0.30	Orta	%30 açıklanıyor
R² = 0.60	İyi	%60 açıklanıyor

%44 başka faktörlerden (genetik, teknik, vb.)

?? İleri Detay: Adjusted R² (Düzeltilmiş R²)

Modele her yeni değişken eklediğinizde (saçma bile olsa) R² artar. Bu bir "şişirme"dir.
Adjusted R² ise sizi gereksiz değişken eklediğiniz için cezalandırır. Akademik makalelerde Adjusted R² raporlanmalıdır!

Coklu Regresyon

Birden Fazla Yordayıcı: Tek değişken yerine birden fazla değişkenle tahmin yapmak.

Çoklu Regresyon Denklemi:

Y = a + b0X0 + b²X² + ... + b?X?

?? Örnek: Sprint Performansı Tahmini

Yordayıcılar:

• X0 = Squat (kg)

• X² = Vücut yağ yüzdesi (%)

• X³ = Bacak uzunluğu (cm)

Denklem: Sprint = 15.2 - 0.02×Squat + 0.05×Yağ - 0.03×Bacak

R² = 0.72 › Bu 3 değişken sprint süresinin %72'sini açıklıyor!

?? Dikkat: Çoklu regresyonda multicollinearity (yordayıcılar arası yüksek korelasyon) sorun olabilir!

?? Çoklu Bağlantı (Multicollinearity) ve VIF

Eğer iki bağımsız değişken birbirine çok benziyorsa (r > 0.90), model kafayı yer!
VIF (Variance Inflation Factor) değeri 10'un (bazı kaynaklarda 5'in) üzerindeyse o değişken modelden atılmalıdır.

LINE VARSAYIMLARI - ONEMLI!

?? DUR! Regresyon yapmadan önce LINE'ı kontrol et!
Bu 4 varsayım sağlanmazsa, regresyon sonuçları GÜVENDLMEZ!

?? LINE = 4 Temel Varsayım

Her harf bir varsayımı temsil eder - hepsini hatırla!

L - Linearity

DOĞRUSALLIK

X ve Y arasındaki ilişki düz çizgi şeklinde olmalı

Kontrol: Scatter plot

I - Independence

BAĞIMSIZLIK

Hatalar (residuals) birbirinden bağımsız olmalı

Kontrol: Durbin-Watson

N - Normality

NORMALLİK

Hatalar (residuals) normal dağılmalı

Kontrol: Shapiro-Wilk (artıklara)

E - Equal Variance

EŞİT VARYANS

Hataların yayılımı her yerde eşit olmalı

Kontrol: Residual plot

? Spor Bilimlerinde Neden Önemli?

Performans tahmin modellerinde varsayım ihlalleri yanlış antrenman kararlarına yol açar!

Örneğin: "Squat arttıkça sprint iyileşir" modeli eğri bir ilişkiyi kaçırabilir.

L ve I: Dogrusallik ve Bagimsizlik

İlk iki varsayım: İlişkinin şekli ve hataların birbirinden bağımsız olması.

L - DOĞRUSALLIK

Nasıl Kontrol?

1. Scatter plot çiz

2. Düz çizgi mi, eğri mi?

Düz çizgi › ? OK

Eğri/U şekli › ? Sorun

I - BAĞIMSIZLIK

Nasıl Kontrol?

Durbin-Watson Testi

DW ? 2: Bağımsız ?

DW < 1.5: Pozitif otokorelasyon ?

DW > 2.5: Negatif otokorelasyon ?

?? Doğrusal vs Doğrusal Olmayan İlişki

??? SPOR ÖRNEĞİ: Durbin-Watson

Model: Sprint süresi ~ Squat 1RM

Durbin-Watson: DW = 1.89

› DW ? 2, hatalar bağımsız, varsayım sağlanıyor ?

N ve E: Normallik ve Esit Varyans

Son iki varsayım: Hataların dağılımı ve yayılımının kontrolü.

N - NORMALLİK (Residuals)

Nasıl Kontrol?

ARTIKLARA Shapiro-Wilk

p > 0.05: Normal ?

p ? 0.05: Normal değil ?

+ Q-Q plot düz çizgi olmalı

E - EŞİT VARYANS (Homoscedasticity)

Nasıl Kontrol?

Residual vs Predicted plot

Rastgele dağılım: OK ?

Huni şekli: Sorun ?

Breusch-Pagan testi de kullanılır

?? Homoscedasticity vs Heteroscedasticity

?? SPOR ÖRNEĞİ: Artık Normallik Kontrolü

Model: VO2max ~ Antrenman saati

Artıklara Shapiro-Wilk: W = 0.967, p = 0.542

› p > 0.05, artıklar normal dağılıyor ?

?? ÖNEMLİ: Shapiro-Wilk ORİJİNAL verilere DEĞİL!

Regresyonda normallik kontrolü ARTIKLARA (residuals = Y - Y) yapılır, ham Y değerlerine DEĞİL!

Varsayim Saglanmazsa Ne Yapilir?

LINE varsayımları bozulursa çözümler var!

Varsayım	İhlal Belirtisi	Çözüm
L - Doğrusallık	Scatter plot'ta eğri ilişki	• Veri dönüştürme (log, sqrt) • Polinom regresyon (X²) • Non-linear regresyon
I - Bağımsızlık	DW < 1.5 veya > 2.5	• Zaman serisi analizi • Otokorelasyon düzeltmesi • Farklı model (GLS)
N - Normallik	Artıklarda Shapiro p < 0.05	• Veri dönüştürme (log Y) • Aykırı değerleri çıkar • Bootstrap regresyon
E - Eşit Varyans	Huni şekli residual plot	• Ağırlıklı regresyon (WLS) • Robust standart hatalar • Veri dönüştürme

?? En Yaygın Çözüm

LOG Dönüşümü

Y veya X'i logaritma al

Çarpık dağılımı düzeltir

?? Son Çare

Non-parametrik

Spearman korelasyonu

Sıralama temelli analiz

?? SPOR ÖRNEĞİ: Log Dönüşümü

Orijinal: Yarış süresi ~ Antrenman km (sağa çarpık)

Dönüştürülmüş: log(Yarış süresi) ~ Antrenman km

› Dönüşüm sonrası normallik sağlandı ?

Adim Adim Regresyon Uygulamasi

Tam prosedür: Veri toplamadan model değerlendirmeye kadar!

?? Senaryo: Squat'tan Dikey Sıçrama Tahmini

Soru: Squat 1RM (kg) ile dikey sıçrama (cm) arasındaki ilişkiyi modelleyelim

Veri: 30 sporcu

ADIM	YAPILACAK İŞ	SONUÇ	KARAR
1?? Scatter	X-Y grafiği çiz	Düz çizgi şeklinde	? Doğrusal ilişki
2?? Model	Regresyon analizi	Y = 18.5 + 0.32X R² = 0.56, p < 0.001	? Anlamlı model
3?? Normallik	Artıklara Shapiro-Wilk	W = 0.961, p = 0.328	? Artıklar normal
4?? Bağımsızlık	Durbin-Watson	DW = 2.12	? Hatalar bağımsız
5?? Eşit Varyans	Residual plot kontrol	Rastgele dağılım	? Homoscedasticity

?? APA Formatında Raporlama

"Basit doğrusal regresyon analizi sonuçlarına göre, squat 1RM dikey sıçrama performansının anlamlı bir yordayıcısıdır, F(1, 28) = 35.64, p < .001, R² = .56. Squat'taki her 1 kg artış, sıçramada 0.32 cm artışla ilişkilidir (ß = .75). Tüm LINE varsayımları sağlanmıştır."

Spor Senaryolari - LINE Varsayim Kontrollu

Gerçek Hayat: LINE varsayımlarını spor bilimlerinde nasıl kontrol ederiz?

??? Senaryo 1: Kuvvet-Sıçrama İlişkisi

Model: Dikey Sıçrama ~ Squat 1RM (n=40 futbolcu)

Varsayım	Test	Sonuç	Karar
L - Doğrusallık	Scatter plot	Düz çizgi	?
I - Bağımsızlık	Durbin-Watson	DW = 1.92	?
N - Normallik	Shapiro (artıklar)	p = 0.412	?
E - Eşit Varyans	Residual plot	Rastgele	?

› Tüm varsayımlar OK, regresyon geçerli!

?? Senaryo 2: Varsayım İhlali - Yüzme Süresi

Model: 100m Yüzme Süresi ~ Antrenman Hacmi (n=25)

Varsayım	Test	Sonuç	Karar
L - Doğrusallık	Scatter plot	Eğri ilişki!	?
E - Eşit Varyans	Residual plot	Huni şekli!	?

Çözüm: log(Süre) dönüşümü yapıldı › Varsayımlar sağlandı ?

?? Senaryo 3: Çoklu Regresyon - Basketbol

Model: Maç Performansı ~ Boy + Kilo + Antrenman Yükü (n=60)

VIF Kontrolü: Boy-Kilo (VIF = 8.5) › Multicollinearity şüphesi!

Çözüm: Vücut Kitle İndeksi (VKİ) hesaplanarak tek değişken haline getirildi.

Sinif Ici Aktivite: Regresyon Analizi

Görev: Aşağıdaki verileri kullanarak regresyon analizi yapın ve LINE varsayımlarını kontrol edin!

?? Veri Seti: Halter Sporcuları (n=15)

Kol çevresi (cm) ile bench press 1RM (kg) arasındaki ilişki

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

?? Görev 1

Scatter plot çizin

Doğrusal mı kontrol edin

?? Görev 2

Regresyon denklemi yazın

Y = a + bX

?? Görev 3

LINE kontrol

4 varsayımı değerlendirin

?? Bonus Soru

Kol çevresi 47 cm olan bir sporcunun tahmini bench press'i kaç kg?

Hafta 16 Ozet ve Quiz

Regresyon ve LINE Varsayımları - Her şeyi öğrendik!

?? Regresyon

Y = a + bX

Tahmin denklemi

?? R²

Açıklanan varyans

0-1 arası

?? LINE

4 Varsayım

L-I-N-E

?? Çözümler

Dönüşüm/Alternatif

Log, WLS, Bootstrap

?? Quiz: LINE Varsayımları

Soru 1: Regresyonda normallik kontrolü NEYE yapılır?

Soru 2: Durbin-Watson (DW) = 0.95 ise ne olur?

Soru 3: Residual plot'ta "huni şekli" ne gösterir?

?? LINE Hatırlatıcı

Linearity › Scatter plot | Independence › Durbin-Watson | Normality › Shapiro (artıklara) | Equal Variance › Residual plot

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-