📊 TEMEL İSTATİSTİK DERSLERİ

Hafta 16: Regresyon - Tahmin Etmenin Bilimi

Bu hafta: Bir değişkeni kullanarak başka bir değişkeni TAHMİN etmek. "Squat kuvvetinden dikey sıçramayı tahmin edebilir miyiz?"

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

📈 Regresyon Nedir?

Tanım: Bir veya daha fazla bağımsız değişken (X) kullanarak bağımlı değişkeni (Y) tahmin etme yöntemi.

Korelasyon

"İlişki var mı?"

Güç ve yön

Regresyon

"Y'yi tahmin edebilir miyim?"

Tahmin denklemi

🏋️ Spor Örneği

Soru: Bir sporcunun squat 1RM'i 120 kg ise, dikey sıçraması kaç cm olur?

Korelasyon: "Squat ve sıçrama arasında r = 0.75 pozitif ilişki var"

Regresyon: "Squat 120 kg ise → Tahmin: Sıçrama ≈ 55 cm"

📊 Terimler

X (Bağımsız/Yordayıcı): Tahmin için kullanılan değişken (squat)

Y (Bağımlı/Kriter): Tahmin edilen değişken (sıçrama)

🧠 Derinlemesine Analiz: "LINE" Varsayımları

Regresyonun geçerli olması için 4 şart (LINE) sağlanmalıdır:

L (Linearity): İlişki doğrusal olmalı.
I (Independence): Hatalar birbirinden bağımsız olmalı.
N (Normality of Residuals): Hatalar (residuals) normal dağılmalı.
E (Equal Variance/Homoscedasticity): Varyans her yerde eşit olmalı.

REGRESYON SEMBOLLERI VE KAVRAMLARI

Once terimleri ogrenelim: Regresyon formullerinde kullanilan sembolleri taniyin!

TEMEL SEMBOLLER TABLOSU

Sembol	Adi	Ne Demek?	Ornek
Y	Bagimli Degisken	Tahmin etmek istedigimiz sey	Dikey sicrama (cm)
X	Bagimsiz Degisken	Tahmin icin kullandigimiz sey	Squat 1RM (kg)
Y	Tahmin Edilen Y	Formul ile hesapladigimiz deger	Tahmini sicrama = 52 cm
b0 (a)	Sabit (Intercept)	X = 0 iken Y'nin degeri	Baslangic noktasi = 15
b1 (b)	Egim (Slope)	X 1 birim artinca Y ne kadar degisir?	Her 1 kg = 0.35 cm artis
R2	Belirlilik Katsayisi	Modelimiz ne kadar iyi? (%)	R2 = 0.64 = %64 aciklaniyor
Residual	Artik (Hata)	Gercek deger - Tahmin = Hata	55 - 52 = 3 cm hata
SEE	Tahminin Std. Hatasi	Ortalama ne kadar sapiyoruz?	SEE = 4.2 cm (ort. hata)

TEMEL FORMUL

Y = b0 + b1 x X

Oku: Tahmin = Sabit + (Egim x Bagimsiz Degisken)

ORNEK: Formulu Okuyalim

Denklem: Sicrama = 15 + 0.35 x Squat

Anlami: Bir sporcunun sicramasini tahmin etmek icin:

1. Sabit degeri al: 15

2. Squat degerini 0.35 ile carp

3. Ikisini topla = Tahmini sicrama

Basit Dogrusal Regresyon

En Iyi Cizgi: Noktalardan gecen ve hata toplamini minimize eden duz cizgi.

📊 Regresyon Çizgisi ve Artıklar

🎯 En Küçük Kareler (OLS)

Çizgi, tüm noktaların çizgiye olan dikey uzaklıklarının (artıkların) karelerinin toplamını MİNİMİZE eder.

SPOR ORNEKLERI: Adim Adim Hesaplama

3 farkli spor ornegi: Regresyon denklemini nasil kurup kullanacagimizi ogrenelim!

ORNEK 1: FUTBOL - Antrenman Saati ve Sprint Suresi

Soru: Haftalik antrenman saati (X) ile 30m sprint suresi (Y) arasindaki iliski nedir?

Sporcu	Antrenman (saat/hafta)	Sprint (saniye)
1	8	4.8
2	10	4.5
3	12	4.3
4	15	4.0
5	18	3.8

Adim 1: Veriyi incele - Antrenman arttikca sprint suresi azaliyor (negatif iliski)
Adim 2: Regresyon analizi yap
Adim 3: Sonuc: Y = 5.6 - 0.10 x X
Yorum: Her 1 saat fazla antrenman = Sprint suresi 0.10 sn azalir!

TAHMIN: 14 saat antrenman yapan sporcu = 5.6 - 0.10 x 14 = 4.2 saniye

ORNEK 2: BASKETBOL - Boy ve Ribaund Sayisi

Soru: Oyuncu boyu (X) ile mac basi ribaund sayisi (Y) arasindaki iliski nedir?

Oyuncu	Boy (cm)	Ribaund/Mac
1	180	3
2	190	5
3	195	6
4	200	8
5	210	11

Adim 1: Veriyi incele - Boy arttikca ribaund artiyor (pozitif iliski)
Adim 2: Regresyon analizi yap
Adim 3: Sonuc: Y = -42 + 0.25 x X
Yorum: Her 1 cm boy artisi = 0.25 ribaund artisi!

TAHMIN: 205 cm boyundaki oyuncu = -42 + 0.25 x 205 = 9.25 ribaund/mac

ORNEK 3: YUZME - Haftalik Km ve 100m Suresi

Soru: Haftalik yuzme mesafesi (X) ile 100m serbest suresi (Y) arasindaki iliski?

Yuzucu	Haftalik (km)	100m Suresi (sn)
1	15	68
2	20	64
3	25	60
4	30	57
5	35	54

Sonuc: Y = 80 - 0.75 x X
Yorum: Her 1 km fazla antrenman = Sure 0.75 sn azalir!

TAHMIN: 28 km antrenman yapan yuzucu = 80 - 0.75 x 28 = 59 saniye

REGRESYON DENKLEMINI YORUMLAMA

Denklem verildi, simdi yorumlayalim! Her spor ornegi icin b0 ve b1 ne anlama geliyor?

ORNEK 1: HALTER - Squat ve Clean Performansi

Denklem: Clean = 25 + 0.65 x Squat

b0 = 25 (Sabit):

Squat 0 kg olsa bile (teorik), clean tahmini 25 kg olur.

(Pratikte anlamsiz ama matematiksel gereklilik)

b1 = 0.65 (Egim):

Squat 1 kg artarsa, clean 0.65 kg artar.

Squat 10 kg artarsa, clean 6.5 kg artar.

ORNEK HESAP: Squat = 140 kg ise, Clean = 25 + 0.65 x 140 = 116 kg

ORNEK 2: VOLEYBOL - Dikey Sicrama ve Smas Hizi

Denklem: Smas_Hizi = 30 + 1.2 x Sicrama

b0 = 30 (Sabit):

Sicrama 0 cm olsa, smas hizi 30 km/h olur (baslangic noktasi).

b1 = 1.2 (Egim):

Sicrama 1 cm artarsa, smas hizi 1.2 km/h artar.

Sicrama 5 cm artarsa, smas hizi 6 km/h artar.

ORNEK HESAP: Sicrama = 55 cm ise, Smas Hizi = 30 + 1.2 x 55 = 96 km/h

ORNEK 3: ATLETIZM - Vucud Yag Orani ve 5000m Suresi

Denklem: Sure = 14 + 0.5 x Yag_Yuzdesi

b0 = 14 (Sabit):

Yag %0 olsa (teorik), 5000m suresi 14 dakika olur.

b1 = 0.5 (Egim):

Yag orani %1 artarsa, sure 0.5 dakika (30 sn) artar.

DIKKAT: Pozitif egim = yag arttikca sure UZAR (kotu)!

ORNEK HESAP: Yag = %12 ise, Sure = 14 + 0.5 x 12 = 20 dakika

R2 (BELIRLILIK KATSAYISI) YORUMLAMA

R2 = Modelimiz ne kadar iyi? Yuzde olarak dusun: %100'e ne kadar yakinsa o kadar iyi!

R2 NEDIR? BASITCE

R2 = Y'deki degisimin yuzde kaci X tarafindan aciklaniyor?

R2 = 0.64 demek = Y'nin %64'u X ile aciklaniyor, %36 baska seylerden!

ORNEK 1: ATLETIZM - VO2max ve 10km Suresi

Model: 10km Suresi = 60 - 0.5 x VO2max

R2 = 0.81

YORUM:

10km kosma suresindeki degisimin %81'i VO2max ile aciklaniyor.

Geri kalan %19 baska faktorlerden (teknik, motivasyon, hava durumu, vs.)

Sonuc: Cok iyi bir model! VO2max kosu performansini buyuk olcude acikliyor.

ORNEK 2: FUTBOL - Pas Basarisi ve Galibiyet

Model: Galibiyet = 2 + 0.08 x Pas_Basarisi

R2 = 0.35

YORUM:

Galibiyet sayisindaki degisimin sadece %35'i pas basarisiyla aciklaniyor.

Geri kalan %65 baska faktorlerden (sut isabeti, defans, kaleci, vs.)

Sonuc: Orta duzeyde model. Pas basarisi tek basina galibiyeti tahmin etmek icin yetersiz!

ORNEK 3: HALTER - Kol Cevresi ve Bench Press

Model: Bench = -80 + 4.4 x Kol_Cevresi

R2 = 0.92

YORUM:

Bench press performansindaki degisimin %92'si kol cevresiyle aciklaniyor.

Sadece %8 baska faktorlerden (teknik, kas lifi tipi, vs.)

Sonuc: Mukemmel model! Kol cevresi bench press'i cok iyi tahmin ediyor.

R2 DEGERLENDIRME TABLOSU

R2 Degeri	Derecelendirme	Yorum
0.00 - 0.25	Zayif	Model pek ise yaramiyor
0.25 - 0.50	Orta	Kismi aciklama, baska faktorler de lazim
0.50 - 0.75	Iyi	Yari yariya acikliyor, kullanilabilir
0.75 - 1.00	Cok Iyi	Model guclu, tahminler guvenilir

Regresyon Denklemi

Y = a + bX: Klasik doğru denklemi! a = kesişim, b = eğim.

Basit Doğrusal Regresyon:

Ŷ = a + bX

Ŷ = Tahmin edilen Y | a = Sabit | b = Eğim katsayısı

a (Intercept)

Çizginin Y eksenini kestiği nokta

X = 0 iken Y'nin değeri

b (Slope)

X bir birim artınca Y ne kadar değişir?

Değişim oranı

🏋️ Örnek Denklem

Denklem: Sıçrama = 15 + 0.35 × Squat

Yorum: Squat her 1 kg artınca, sıçrama 0.35 cm artar.

Tahmin: Squat = 100 kg → Sıçrama = 15 + 0.35×100 = 50 cm

R2 (Aciklanan Varyans)

Belirleme Katsayısı: Bağımlı değişkendeki değişkenliğin yüzde kaçı bağımsız değişken tarafından açıklanıyor?

R-Squared:

R² = 1 - (SS_Residual / SS_Total)

0 ile 1 arasında değer alır | r²'ye eşit

📊 R² Yorumlama

R² Değeri	Yorum	Açıklama
R² = 0.10	Zayıf	Sadece %10 açıklanıyor
R² = 0.30	Orta	%30 açıklanıyor
R² = 0.60	İyi	%60 açıklanıyor

%44 başka faktörlerden (genetik, teknik, vb.)

⚖️ İleri Detay: Adjusted R² (Düzeltilmiş R²)

Modele her yeni değişken eklediğinizde (saçma bile olsa) R² artar. Bu bir "şişirme"dir.
Adjusted R² ise sizi gereksiz değişken eklediğiniz için cezalandırır. Akademik makalelerde Adjusted R² raporlanmalıdır!

Coklu Regresyon

Birden Fazla Yordayıcı: Tek değişken yerine birden fazla değişkenle tahmin yapmak.

Çoklu Regresyon Denklemi:

Ŷ = a + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + bₖXₖ

🏃 Örnek: Sprint Performansı Tahmini

Yordayıcılar:

• X₁ = Squat (kg)

• X₂ = Vücut yağ yüzdesi (%)

• X₃ = Bacak uzunluğu (cm)

Denklem: Sprint = 15.2 - 0.02×Squat + 0.05×Yağ - 0.03×Bacak

R² = 0.72 → Bu 3 değişken sprint süresinin %72'sini açıklıyor!

⚠️ Dikkat: Çoklu regresyonda multicollinearity (yordayıcılar arası yüksek korelasyon) sorun olabilir!

🚫 Çoklu Bağlantı (Multicollinearity) ve VIF

Eğer iki bağımsız değişken birbirine çok benziyorsa (r > 0.90), model kafayı yer!
VIF (Variance Inflation Factor) değeri 10'un (bazı kaynaklarda 5'in) üzerindeyse o değişken modelden atılmalıdır.

LINE VARSAYIMLARI - ONEMLI!

🚨 DUR! Regresyon yapmadan önce LINE'ı kontrol et!
Bu 4 varsayım sağlanmazsa, regresyon sonuçları GÜVENĐLMEZ!

📋 LINE = 4 Temel Varsayım

Her harf bir varsayımı temsil eder - hepsini hatırla!

L - Linearity

DOĞRUSALLIK

X ve Y arasındaki ilişki düz çizgi şeklinde olmalı

Kontrol: Scatter plot

I - Independence

BAĞIMSIZLIK

Hatalar (residuals) birbirinden bağımsız olmalı

Kontrol: Durbin-Watson

N - Normality

NORMALLİK

Hatalar (residuals) normal dağılmalı

Kontrol: Shapiro-Wilk (artıklara)

E - Equal Variance

EŞİT VARYANS

Hataların yayılımı her yerde eşit olmalı

Kontrol: Residual plot

⚽ Spor Bilimlerinde Neden Önemli?

Performans tahmin modellerinde varsayım ihlalleri yanlış antrenman kararlarına yol açar!

Örneğin: "Squat arttıkça sprint iyileşir" modeli eğri bir ilişkiyi kaçırabilir.

L ve I: Dogrusallik ve Bagimsizlik

İlk iki varsayım: İlişkinin şekli ve hataların birbirinden bağımsız olması.

L - DOĞRUSALLIK

Nasıl Kontrol?

1. Scatter plot çiz

2. Düz çizgi mi, eğri mi?

Düz çizgi → ✅ OK

Eğri/U şekli → ❌ Sorun

I - BAĞIMSIZLIK

Nasıl Kontrol?

Durbin-Watson Testi

DW ≈ 2: Bağımsız ✅

DW < 1.5: Pozitif otokorelasyon ❌

DW > 2.5: Negatif otokorelasyon ❌

📊 Doğrusal vs Doğrusal Olmayan İlişki

🏋️ SPOR ÖRNEĞİ: Durbin-Watson

Model: Sprint süresi ~ Squat 1RM

Durbin-Watson: DW = 1.89

→ DW ≈ 2, hatalar bağımsız, varsayım sağlanıyor ✅

N ve E: Normallik ve Esit Varyans

Son iki varsayım: Hataların dağılımı ve yayılımının kontrolü.

N - NORMALLİK (Residuals)

Nasıl Kontrol?

ARTIKLARA Shapiro-Wilk

p > 0.05: Normal ✅

p ≤ 0.05: Normal değil ❌

+ Q-Q plot düz çizgi olmalı

E - EŞİT VARYANS (Homoscedasticity)

Nasıl Kontrol?

Residual vs Predicted plot

Rastgele dağılım: OK ✅

Huni şekli: Sorun ❌

Breusch-Pagan testi de kullanılır

📊 Homoscedasticity vs Heteroscedasticity

🏃 SPOR ÖRNEĞİ: Artık Normallik Kontrolü

Model: VO2max ~ Antrenman saati

Artıklara Shapiro-Wilk: W = 0.967, p = 0.542

→ p > 0.05, artıklar normal dağılıyor ✅

⚠️ ÖNEMLİ: Shapiro-Wilk ORİJİNAL verilere DEĞİL!

Regresyonda normallik kontrolü ARTIKLARA (residuals = Y - Ŷ) yapılır, ham Y değerlerine DEĞİL!

Varsayim Saglanmazsa Ne Yapilir?

LINE varsayımları bozulursa çözümler var!

Varsayım	İhlal Belirtisi	Çözüm
L - Doğrusallık	Scatter plot'ta eğri ilişki	• Veri dönüştürme (log, sqrt) • Polinom regresyon (X²) • Non-linear regresyon
I - Bağımsızlık	DW < 1.5 veya > 2.5	• Zaman serisi analizi • Otokorelasyon düzeltmesi • Farklı model (GLS)
N - Normallik	Artıklarda Shapiro p < 0.05	• Veri dönüştürme (log Y) • Aykırı değerleri çıkar • Bootstrap regresyon
E - Eşit Varyans	Huni şekli residual plot	• Ağırlıklı regresyon (WLS) • Robust standart hatalar • Veri dönüştürme

🔄 En Yaygın Çözüm

LOG Dönüşümü

Y veya X'i logaritma al

Çarpık dağılımı düzeltir

⚠️ Son Çare

Non-parametrik

Spearman korelasyonu

Sıralama temelli analiz

🏊 SPOR ÖRNEĞİ: Log Dönüşümü

Orijinal: Yarış süresi ~ Antrenman km (sağa çarpık)

Dönüştürülmüş: log(Yarış süresi) ~ Antrenman km

→ Dönüşüm sonrası normallik sağlandı ✅

Adim Adim Regresyon Uygulamasi

Tam prosedür: Veri toplamadan model değerlendirmeye kadar!

🎯 Senaryo: Squat'tan Dikey Sıçrama Tahmini

Soru: Squat 1RM (kg) ile dikey sıçrama (cm) arasındaki ilişkiyi modelleyelim

Veri: 30 sporcu

ADIM	YAPILACAK İŞ	SONUÇ	KARAR
1️⃣ Scatter	X-Y grafiği çiz	Düz çizgi şeklinde	✅ Doğrusal ilişki
2️⃣ Model	Regresyon analizi	Ŷ = 18.5 + 0.32X R² = 0.56, p < 0.001	✅ Anlamlı model
3️⃣ Normallik	Artıklara Shapiro-Wilk	W = 0.961, p = 0.328	✅ Artıklar normal
4️⃣ Bağımsızlık	Durbin-Watson	DW = 2.12	✅ Hatalar bağımsız
5️⃣ Eşit Varyans	Residual plot kontrol	Rastgele dağılım	✅ Homoscedasticity

📋 APA Formatında Raporlama

"Basit doğrusal regresyon analizi sonuçlarına göre, squat 1RM dikey sıçrama performansının anlamlı bir yordayıcısıdır, F(1, 28) = 35.64, p < .001, R² = .56. Squat'taki her 1 kg artış, sıçramada 0.32 cm artışla ilişkilidir (β = .75). Tüm LINE varsayımları sağlanmıştır."

Spor Senaryolari - LINE Varsayim Kontrollu

Gerçek Hayat: LINE varsayımlarını spor bilimlerinde nasıl kontrol ederiz?

🏋️ Senaryo 1: Kuvvet-Sıçrama İlişkisi

Model: Dikey Sıçrama ~ Squat 1RM (n=40 futbolcu)

Varsayım	Test	Sonuç	Karar
L - Doğrusallık	Scatter plot	Düz çizgi	✅
I - Bağımsızlık	Durbin-Watson	DW = 1.92	✅
N - Normallik	Shapiro (artıklar)	p = 0.412	✅
E - Eşit Varyans	Residual plot	Rastgele	✅

→ Tüm varsayımlar OK, regresyon geçerli!

🏃 Senaryo 2: Varsayım İhlali - Yüzme Süresi

Model: 100m Yüzme Süresi ~ Antrenman Hacmi (n=25)

Varsayım	Test	Sonuç	Karar
L - Doğrusallık	Scatter plot	Eğri ilişki!	❌
E - Eşit Varyans	Residual plot	Huni şekli!	❌

Çözüm: log(Süre) dönüşümü yapıldı → Varsayımlar sağlandı ✅

🏀 Senaryo 3: Çoklu Regresyon - Basketbol

Model: Maç Performansı ~ Boy + Kilo + Antrenman Yükü (n=60)

VIF Kontrolü: Boy-Kilo (VIF = 8.5) → Multicollinearity şüphesi!

Çözüm: Vücut Kitle İndeksi (VKİ) hesaplanarak tek değişken haline getirildi.

Sinif Ici Aktivite: Regresyon Analizi

Görev: Aşağıdaki verileri kullanarak regresyon analizi yapın ve LINE varsayımlarını kontrol edin!

📊 Veri Seti: Halter Sporcuları (n=15)

Kol çevresi (cm) ile bench press 1RM (kg) arasındaki ilişki

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

📝 Görev 1

Scatter plot çizin

Doğrusal mı kontrol edin

📝 Görev 2

Regresyon denklemi yazın

Ŷ = a + bX

📝 Görev 3

LINE kontrol

4 varsayımı değerlendirin

💡 Bonus Soru

Kol çevresi 47 cm olan bir sporcunun tahmini bench press'i kaç kg?

Hafta 16 Ozet ve Quiz

Regresyon ve LINE Varsayımları - Her şeyi öğrendik!

📈 Regresyon

Ŷ = a + bX

Tahmin denklemi

📊 R²

Açıklanan varyans

0-1 arası

⚠️ LINE

4 Varsayım

L-I-N-E

🔄 Çözümler

Dönüşüm/Alternatif

Log, WLS, Bootstrap

🧠 Quiz: LINE Varsayımları

Soru 1: Regresyonda normallik kontrolü NEYE yapılır?

Soru 2: Durbin-Watson (DW) = 0.95 ise ne olur?

Soru 3: Residual plot'ta "huni şekli" ne gösterir?

📋 LINE Hatırlatıcı

Linearity → Scatter plot | Independence → Durbin-Watson | Normality → Shapiro (artıklara) | Equal Variance → Residual plot

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-

Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)	Sporcu	Kol (cm)	Bench (kg)
1	32	65	9	40	95
2	34	72	10	41	100
3	35	75	11	42	105
4	36	78	12	43	110
5	37	82	13	44	115
6	38	85	14	45	118
7	38	88	15	46	125
8	39	90	-