📊 İLERİ İSTATİSTİK

Hafta 22: ANCOVA - Kovaryans Analizi

Bu hafta: Grupları karşılaştırırken bir sürekli değişkenin etkisini istatistiksel olarak KONTROL etmek. ANOVA + Regresyon = ANCOVA!

📊 ANOVA

Grup ortalamalarini karşılaştır

➕ Kovaryat

Sürekli kontrol değişkeni

= ANCOVA

Duzeltilmis karşılaştırma

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

📊 ANCOVA Nedir?

Analysis of Covariance: Gruplar arası farkları karşılaştırırken bir veya daha fazla sürekli değişkenin etkisini istatistiksel olarak kontrol eder.

ANCOVA Modeli:

Y = µ + τᵢ + ß(X - X¯) + ε

? = Grup etkisi | ß = Kovaryat eğimi | X = Kovaryat

📋 ANCOVA SEMBOL VE KAVRAM TABLOSU

Bu sembolleri bilmeden ANCOVA anlasilmaz! Çok basit açıklamalar:

Sembol / Terim Ne Demek? Çok Basit Açıklama
Covariate (Kovaryat) Kontrol ettigimiz ek değişken Örneğin: "Başlangıç kuvveti". Bunu sabit tutarak grupları karsilastiriyoruz.
Adjusted Means
(Duzeltilmis Ortalamalar)		 Kovaryat duzeltildikten sonraki grup ortalamaları "Herkes AYNI başlangıç noktasından baslasaydi, ortalamalar ne olurdu?" sorusunun cevabı.
η²p (Partial Eta Kare) Etki büyüklüğü ölçüsü Grupların farkının NE KADAR BÜYÜK olduğunu gösterir. 0.01=küçük, 0.06=orta, 0.14+=büyük etki.
ß (Beta / Eğim) Kovaryatin bağlı değişkene etkisi Kovaryat 1 birim arttığında, bağımlı değişken ne kadar değişir?
Homogeneity of Slopes
(Eğim Homojenligi)		 Kritik varsayım Kovaryat-bağımlı değişken ilişkisi TÜM GRUPLARDA AYNI OLMALI. Farklı olursa ANCOVA yanlış sonuç verir!
EMM (Estimated Marginal Means) Tahmini marjinal ortalamalar "Duzeltilmis Ortalamalar" ile aynı anlam. SPSS ciktisinda bu isimle gorursun.

🤔 Ne İşe Yarar?

• Başlangıç farkliklarini kontrol etme (pre-test skorları)

• Karıştırıcı değişkenlerin etkisini azaltma

• İstatistiksel gücü artırma (hata varyansini azaltarak)

🧠 Derinlemesine Analiz: Güç Kazanımı

Varyansın bir kısmi kovaryat ile aciklandiginda, "Hata Varyansi" (Error Variance) kuculur. F formulunde hata varyansı paydada olduğu için (F = MS_effect / MS_error), payda kuculurse F değeri büyür.
Bu, gerçekte var olan bir farkı yakalama sansini (Power) artırır!

🏃 Örnek Problem

Üç farklı antrenman programının etkisini karsilastiriyoruz. Ama grupların başlangıç fitness düzeyleri farklı!

› Başlangıç fitness'i kovaryat olarak ekle ve "eşit başlangıç" varsayarak karşılaştır!

📐 Kovaryat Kavramı

Kovaryat (Covariate): Bağımlı degiskenle ilişkili olan ve kontrol edilmek istenen sürekli değişken. ÇOK BASIT ANLATIM: "Grupları karşılaştırırken hesaba katmamiz gereken ek bir sayı!"

İyi Kovaryat

Bağımlı degiskenle güçlü korelasyon

r > 0.30 ideal

Kötü Kovaryat

Zayıf veya hiç korelasyon yok

Güç kaybına neden olur

📊 Yaygın Kovaryatlar (Spor Bilimlerinde)

Çalışma Tipi Yaygın Kovaryatlar
Antrenman Müdahalesi Başlangıç (pre-test) değeri, yaş
Performans Karşılaştırma Antrenman yaşı, vücut kitlesi
Psikolojik Ölçümler Kaygı düzeyi, motivasyon

⚽ KOVARYAT NEDİR? - 3 SOMUT SPOR ÖRNEĞİ

Anlamadin mi? Bu orneklere bak, hemen anlayacaksin!

⚽ ÖRNEK 1: FUTBOL - Sprint Antrenman Programlari

Araştırma Sorusu: Hangisi daha etkili - Suratli Tekrar mi, Dayanıklılık Temelli mi?

Problem: Bir grubun oyuncuları zaten daha hızlı (başlangıç 30m sprint: 4.2 sn vs 4.5 sn)

Kovaryat: BASLANGIC SPRINT SURESI (pre-test)

Ne yapiyoruz? "Herkes AYNI hızda baslasaydi, 8 hafta sonra hangi program daha iyi sonuç verirdi?" diye soruyoruz. ANCOVA bunu hesaplıyor!

🏋️ ÖRNEK 2: HALTER - Kuvvet Antrenman Metodlari

Araştırma Sorusu: 5x5 mi, 3x10 mu daha iyi squat artırır?

Problem: Bir grubun sporcularının vücut ağırlığı daha yüksek (ortalama 85 kg vs 72 kg)

Kovaryat: VUCUT AGIRLIGI veya BASLANGIC 1RM SQUAT DEGERI

Ne yapiyoruz? "Aynı vücut agirliginda veya aynı başlangıç kuvvetinde olsalar, hangi program daha etkili?" diye ADİL karşılaştırma yapiyoruz.

🏊 ÖRNEK 3: YUZME - Teknik Antrenman vs Dayanıklılık Antrenman

Araştırma Sorusu: 100m serbest sürede hangi antrenman daha etkili?

Problem: Teknik grubunun yuzuculeri daha genç (ortalama 14 yaş vs 17 yaş)

Kovaryat: YAŞ veya ANTRENMAN YASI (kaç yıldır yuzuyor)

Ne yapiyoruz? Yaş farkını "sifirladiktan" sonra antrenman programlarını karsilastiriyoruz. Böylece YAŞ değil, ANTRENMAN PROGRAMININ etkisini goruyoruz!

⚖️ ANOVA vs ANCOVA

Fark: ANCOVA kovaryatin etkisini cikardiktan sonra grupları karşılaştırır.

📊 ANOVA vs ANCOVA - Tam Karşılaştırma Tablosu

Hangisini ne zaman kullanacaksin? Bu tabloyu ezberle!

Özellik ANOVA ANCOVA
Ne yapar? Grup ortalamalarini karşılaştırır Bir değişkeni KONTROL EDEREK grup ortalamalarini karşılaştırır
Kovaryat kullanır mi? HAYIR ❌ EVET ✓ (en az 1 tane)
Başlangıç farklılıkları Dikkate ALMAZ (sorun olabilir!) İstatistiksel olarak DUZELTIR
İstatistiksel güç Daha düşük (hata varyansı yüksek) Daha YÜKSEK (kovaryat hatayı azaltır)
Varsayım sayısı 3 varsayım (normallik, homojenlik, bağımsızlık) 6+ varsayım (ANOVA + lineerlik + eğim homojenligi + kovaryat bagimsizligi)
Ne zaman kullan? Gruplar eşit baslangictaysa veya randomizasyon iyiyse Gruplar FARKLI baslangictaysa veya karıştırıcı değişken varsa
SPOR ÖRNEĞİ 3 takım arasında sprint süresi karşılaştırması (hepsi aynı düzey) 3 takım arasında sprint süresi karşılaştırması - BASLANGIC SURESI kontrol edilerek

📊 Görsel Karşılaştırma

ANOVA Grup A Grup B ANCOVA (Duzeltilmis) Grup A Grup B Kovaryat düzeltmesi

📋 Ne Zaman ANCOVA?

• Gruplar başlangıçta eşit değilse (randomizasyon zayıf)

• Hata varyansini azaltmak istiyorsan (güç artışı)

• Bir karıştırıcı değişkenin etkisini kontrol etmek istiyorsan

⚠️ ANCOVA VARSAYIMLARI

Kritik Uyarı: ANCOVA, ANOVA + Regresyon karisimidir. Her ikisinin de varsayimlari geçerli!

🚫 YAYGIN YANLIŞ

"ANOVA yapabildim, ANCOVA da yaparim!"

HAYIR! ANCOVA'nin EK varsayimlari var ve bunlar ÇOK ÖNEMLİ!

📋 ANCOVA için 4 TEMEL VARSAYIM

Varsayım Kaynak Nasıl Kontrol?
1. Normallik & Varyans Homojenligi ANOVA'dan Shapiro-Wilk, Levene
2. Lineerlik Regresyondan Scatter plot, LOESS
3. Eğim Homojenligi ANCOVA'ya özgü! Grup × Kovaryat etkileşimi
4. Kovaryat Bagimsizligi ANCOVA'ya özgü! Çalışma tasarımı

💡 En KRİTİK Varsayım: Eğim Homojenligi

Eğer kovaryat-bağımlı değişken ilişkisi gruplarda FARKLI ise, ANCOVA YANLIŞ sonuç verir!

Grup × Kovaryat etkileşimi p > 0.05 olmalı!

📊 Varsayım 1: ANOVA Varsayımları

ANCOVA = ANOVA + Regresyon: Önce ANOVA varsayimlarini kontrol et!

Normallik

Her grup içinde normal dağılım

Test: Shapiro-Wilk

Kriter: p > 0.05

Varyans Homojenligi

Gruplar arası eşit varyans

Test: Levene

Kriter: p > 0.05

Bağımsız Gözlemler

Her sporcu bağımsız

Test: Çalışma tasarımı

Kriter: Tekrarlı ölçüm yok

📊 ANCOVA Artiklari için Normallik

ANCOVA'da normallik testi ARTIKLAR (residuals) üzerinden yapılmalı!

✅ Normal Dağılım ❌ Non-Normal

💡 İhlal Durumunda

Normallik saglanmiyorsa: Robust ANCOVA veya Bootstrap ANCOVA

Varyans homojenligi saglanmiyorsa: Welch düzeltmeli ANCOVA

📈 Varsayım 2: Lineerlik

Kritik: Kovaryat ile bağımlı değişken arasında DOGRUSAL ilişki olmalı!

📊 Lineerlik Kontrolü

✅ LINEER ILISKI Kovaryat (Pre-test) Post-test ❌ NON-LINEER ILISKI

Nasıl Kontrol Edilir?

1. Scatter plot: Her grup için ayrı ayrı

2. LOESS fit: Eğri yerine düz çizgi mi?

3. Residual plot: Sistematik desen yok mu?

İhlal Durumunda

1. Kovaryati donustur: Log, karekok

2. Polinom terimi ekle: X² terimi

3. Farklı analiz: Non-lineer modeller

🏃 Spor Örneği: Tavan Etkisi

Durum: Başlangıç kuvveti çok yüksek olanlar daha az gelişim gösteriyor

İlişki: Egrisel (asimptotik) - yüksek degerlerde duzlesme

Çözüm: Log dönüşümü veya kovaryati kategorize et

⚠️ Varsayım 3: Eğim Homojenligi

EN KRİTİK VARSAYIM: Kovaryat-bağımlı değişken ilişkisi TÜM GRUPLARDA AYNI olmalı!

📊 Eğim Homojenligi Kavramı

✅ EGIMLER HOMOJEN Grup A Grup B ❌ EGIMLER FARKLI Grup A Grup B

📋 Eğim Homojenligi Testi (ZORUNLU!)

Test: Grup × Kovaryat etkilesimini modele ekle

SPSS: Model › Custom › Grup*Kovaryat etkileşimi ekle

Kriter: Etkileşim p > 0.05 → Homojenlik sağlandı ✓

Kriter: Etkileşim p < 0.05 → Homojenlik ihlal! ✗

🔧 İhlal Durumunda Ne Yapılır?

1. Johnson-Neyman Tekniği: Farkin hangi kovaryat degerlerinde anlamlı olduğunu bul

2. Pick-a-Point: Belirli kovaryat degerlerinde (düşük/orta/yüksek) karşılaştır

3. Ayrı Regresyonlar: Her grup için ayrı regresyon analizi yap

🔗 Varsayım 4: Kovaryat Bagimsizligi

Önemli: Kovaryat, grup atamasindan (mudahaleden) ETKILENMEMELI!

✅ Bağımsız Kovaryat

Pre-test değeri

Müdahale BASLAMADAN önce ölçülmüş

Örn: Başlangıç kuvveti, yaş, boy

❌ Bağımlı Kovaryat

Müdahale sırasında ölçülen

Mudahaleden etkilenmis olabilir

Örn: Antrenman motivasyonu (müdahale sırasında)

📊 Neden Önemli?

✅ DOGRU Pre-test Müdahale Post-test ❌ YANLIŞ Müdahale "Kovaryat" Post-test

⚠️ "Lord's Paradox"

Kovaryat mudahaleden etkilenirse, ANCOVA sonucu yanıltıcı olur!

Örnek: İki diyet grubu. Kovaryat olarak "3. hafta kilosu" kullanilirsa, diyetin kilo üzerindeki etkisi maskelenebilir.

Çözüm: Kovaryat MUTLAKA müdahale öncesi olculmeli!

🔧 Varsayım Saglanmazsa Ne Yapılır?

Pratik Çözümler: Her varsayım ihlali için alternatifler mevcut!

📋 ANCOVA Varsayım Kontrol Listesi

Varsayım Nasıl Kontrol? İhlal Belirtisi Çözüm
Normallik Shapiro-Wilk (artiklar) p < .05 Robust/Bootstrap ANCOVA
Varyans homojenligi Levene testi p < .05 Welch ANCOVA
Lineerlik Scatter plot, LOESS Egrisel ilişki Dönüşüm, polinom terimi
Eğim homojenligi Grup×Kovaryat etkileşimi Etkileşim p < .05 Johnson-Neyman, ayrı regresyon
Kovaryat bagimsizligi Çalışma tasarımı Post-müdahale kovaryat Pre-test kullan, tasarımı duzelt
📝 Varsayım Raporlama Örneği

"ANCOVA varsayimlari kontrol edildi: Artiklar normal dagilmaktadir (Shapiro-Wilk p = .42). Varyanslar homojendir (Levene p = .28). Kovaryat-bağımlı değişken ilişkisi lineerdir (scatter plot incelendi). Regresyon egimlerinin homojenligi varsayımı karsilanmistir, Grup × Kovaryat etkileşimi anlamsızdır, F(2, 54) = 0.89, p = .42."

💡 İpucu: Varsayım Kontrolü Sırası

1. Önce Eğim Homojenligi kontrol et (en kritik!)

2. Sonra Lineerlik kontrol et

3. Son olarak ANOVA varsayimlarini (normallik, varyans) kontrol et

📊 Duzeltilmis Ortalamalar

Estimated Marginal Means: Kovaryat ortalamada tutuldugunda grupların tahmini ortalamaları.
🏋️ Örnek

Çalışma: 3 antrenman programının kuvvet artışına etkisi

Kovaryat: Başlangıç kuvveti (pre-test)

Grup Ham Ortalama Başlangıç X¯ Duzeltilmis Ortalama
Program A 85 kg 75 kg (yüksek) 82 kg v
Program B 78 kg 70 kg (orta) 80 kg ›
Program C 72 kg 65 kg (düşük) 75 kg ^

Yorum: Program A'nin ham ortalaması yüksek görünüyor ama başlangıç kuvvetleri de yuksekti. Duzeltilmis ortalamalar daha adil karşılaştırma sağlıyor!

📐 Hesaplama Mantığı

Y_adj = ?_grup - ß(X¯_grup - X¯_genel)

Eğer grubun kovaryat ortalaması (X¯_grup), genel ortalamadan (X¯_genel) yüksekse, grup ortalaması ASAGI çekilir. Dusukse YUKARI çekilir. Böylece herkes "eşit sartlara" getirilir.

⚽ ANCOVA YORUMLAMA - SPOR ORNEKLERI

On-test skorunu kontrol ederek grup karşılaştırma - 3 SOMUT ÖRNEK

🏆 ANCOVA SONUCU NASIL YORUMLANIR? - ADIM ADIM

Çok basit: "Başlangıcı aynı kabul edersek, sonucta fark var mi?"

🏀 ÖRNEK 1: BASKETBOL - Dikey Sıçrama Programlari

Çalışma: 3 farklı pliometrik program (A, B, C), 8 hafta, 60 basketbolcu

Bağımlı Değişken: Son-test dikey sıçrama (cm)

Kovaryat: On-test dikey sıçrama (cm)

Program On-test X¯ Son-test X¯ (Ham) Duzeltilmis X¯
Program A 52 cm 58 cm 55.2 cm
Program B 48 cm 54 cm 56.8 cm ⭐
Program C 50 cm 55 cm 55.0 cm

ANCOVA Sonucu: F(2, 56) = 4.85, p = .011, η²p = .15

YORUM: Ham ortalamalara bakinca Program A en iyi görünüyor (58 cm). AMA on-testleri zaten yuksekti! Duzeltilmis ortalamalara bakinca Program B ASLINDA en etkili (56.8 cm). Yani "eşit baslasalar, B programı daha iyi!"

🏐 ÖRNEK 2: VOLEYBOL - Servis Hızı Antrenman Metodlari

Çalışma: 2 farklı servis antrenman (Geleneksel vs Video Analiz), 6 hafta, 40 voleybolcu

Bağımlı Değişken: Son-test servis hızı (km/sa)

Kovaryat: On-test servis hızı (km/sa)

Grup On-test X¯ Son-test X¯ (Ham) Duzeltilmis X¯
Geleneksel 72 km/sa 78 km/sa 76.5 km/sa
Video Analiz 68 km/sa 76 km/sa 79.2 km/sa ⭐

ANCOVA Sonucu: F(1, 37) = 6.21, p = .017, η²p = .14

YORUM: Ham sontest'e bakinca Geleneksel grup önde (78 > 76). Ama on-testleri de yuksekti! ANCOVA düzeltmesi yapinca Video Analiz grubu GERCEKTE daha etkili (79.2 > 76.5). On-test farkını cikarinca gerçek farkı goruyoruz!

🏃 ÖRNEK 3: ATLETIZM - 100m Sprint Antrenman Programlari

Çalışma: 3 farklı hız antrenman (Rezistans, Asistans, Karışık), 10 hafta, 45 atlet

Bağımlı Değişken: Son-test 100m süresi (sn) - DÜŞÜK DEGER = DAHA İYİ

Kovaryat: On-test 100m süresi (sn)

Grup On-test X¯ Son-test X¯ (Ham) Duzeltilmis X¯
Rezistans 12.8 sn 12.3 sn 12.15 sn
Asistans 12.2 sn 11.8 sn ⭐ 12.05 sn ⭐
Karışık 12.5 sn 12.1 sn 12.10 sn

ANCOVA Sonucu: F(2, 41) = 3.92, p = .028, η²p = .16

YORUM: Bu örnekte ASISTANS grubu hem ham hem düzeltilmiş ortalamalarda en iyi! Neden? Çünkü on-testleri de iyiydi VE gelistiler. ANCOVA burada farkın GERCEK olduğunu dogruluyor. η²p = .16 = BÜYÜK ETKI!

📊 APA Raporlama Sablonu

"Başlangıç [DEGISKEN ADI] kovaryat olarak kullanılarak tek yönlü ANCOVA yapılmıştır. Kovaryat kontrol edildiğinde gruplar arası fark anlamlıdır, F(df1, df2) = [F DEGERI], p = [P DEGERI], η²p = [ETKI BUYUKLUGU]. Post-hoc karşılaştırmalar [HANGI GRUPLAR] arasında anlamlı fark olduğunu göstermiştir (p < .05)."

📝 Sınıf İçi Aktivite

Uygulama: ANCOVA varsayimlarini kontrol edin!

🏋️ Senaryo: Rehabilitasyon Programı Karşılaştırması

Bir fizyoterapist, 3 farklı ACL rehabilitasyon protokolünü karşılaştırmak istiyor.

Bağımlı değişken: 12 hafta sonra diz esnekliği (derece)

Kovaryat: Ameliyat sonrası 1. hafta esnekliği (pre-test)

Verilen bilgiler:

  • Shapiro-Wilk (artiklar): p = .18
  • Levene testi: p = .34
  • Grup × Kovaryat etkileşimi: F(2, 42) = 4.21, p = .02
  • Scatter plot: Doğrusal ilişki goruluyor

📋 Gorevler:

1. Normallik varsayımı sağlanıyor mu? Neden?

2. Varyans homojenligi varsayımı sağlanıyor mu?

3. Eğim homojenligi varsayımı sağlanıyor mu?

4. Standart ANCOVA yapılabilir mi? Yapilamazsa ne onerirsiniz?

✅ Çözüm (Tikla)

✅ Hafta 22 Özet ve Quiz

ANCOVA - Varsayımlar ve Uygulama

4 Varsayım

ANOVA + Lineerlik + Eğim + Bağımsızlık

Eğim Homojenligi

EN KRİTİK!

Duzeltilmis X¯

Adil karşılaştırma

🧠 Varsayım Quiz

Soru 1: Grup × Kovaryat etkileşimi p = .03. ANCOVA yapılabilir mi?

Soru 2: Kovaryat olarak "antrenman sırasında ölçülen motivasyon" kullanılabilir mi?

Soru 3: Scatter plot'ta kovaryat-bağımlı değişken ilişkisi egrisel görünüyor. Ne yapılmalı?

📚 Gelecek Hafta: MANOVA

Çok Değişkenli Varyans Analizi - Birden fazla bağımlı degiskenle grup karşılaştırması

1 / 14