📊 ILERI ISTATISTIK

Hafta 22: ANCOVA - Kovaryans Analizi

Bu hafta: Gruplari karsilastirirken bir surekli degiskenin etkisini istatistiksel olarak KONTROL etmek. ANOVA + Regresyon = ANCOVA!

📊 ANOVA

Grup ortalamalarini karsilastir

➕ Kovaryat

Surekli kontrol degiskeni

= ANCOVA

Duzeltilmis karsilastirma

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

📊 ANCOVA Nedir?

Analysis of Covariance: Gruplar arasi farklari karsilastirirken bir veya daha fazla surekli degiskenin etkisini istatistiksel olarak kontrol eder.

ANCOVA Modeli:

Y = μ + τᵢ + β(X - X̄) + ε

τ = Grup etkisi | β = Kovaryat egimi | X = Kovaryat

📋 ANCOVA SEMBOL VE KAVRAM TABLOSU

Bu sembolleri bilmeden ANCOVA anlasilmaz! Cok basit aciklamalar:

Sembol / Terim Ne Demek? Cok Basit Aciklama
Covariate (Kovaryat) Kontrol ettigimiz ek degisken Ornegin: "Baslangic kuvveti". Bunu sabit tutarak gruplari karsilastiriyoruz.
Adjusted Means
(Duzeltilmis Ortalamalar)		 Kovaryat duzeltildikten sonraki grup ortalamalari "Herkes AYNI baslangic noktasindan baslasaydi, ortalamalar ne olurdu?" sorusunun cevabi.
η²p (Partial Eta Kare) Etki buyuklugu olcusu Gruplarin farkinin NE KADAR BUYUK oldugunu gosterir. 0.01=kucuk, 0.06=orta, 0.14+=buyuk etki.
β (Beta / Egim) Kovaryatin bagli degiskene etkisi Kovaryat 1 birim arttiginda, bagimli degisken ne kadar degisir?
Homogeneity of Slopes
(Egim Homojenligi)		 Kritik varsayim Kovaryat-bagimli degisken iliskisi TUM GRUPLARDA AYNI OLMALI. Farkli olursa ANCOVA yanlis sonuc verir!
EMM (Estimated Marginal Means) Tahmini marjinal ortalamalar "Duzeltilmis Ortalamalar" ile ayni anlam. SPSS ciktisinda bu isimle gorursun.

🤔 Ne Ise Yarar?

• Baslangic farkliklarini kontrol etme (pre-test skorlari)

• Karistirici degiskenlerin etkisini azaltma

• Istatistiksel gucu artirma (hata varyansini azaltarak)

🧠 Derinlemesine Analiz: Guc Kazanimi

Varyansin bir kismi kovaryat ile aciklandiginda, "Hata Varyansi" (Error Variance) kuculur. F formulunde hata varyansi paydada oldugu icin (F = MS_effect / MS_error), payda kuculurse F degeri buyur.
Bu, gercekte var olan bir farki yakalama sansini (Power) artirir!

🏃 Ornek Problem

Uc farkli antrenman programinin etkisini karsilastiriyoruz. Ama gruplarin baslangic fitness duzeyleri farkli!

→ Baslangic fitness'i kovaryat olarak ekle ve "esit baslangic" varsayarak karsilastir!

📐 Kovaryat Kavrami

Kovaryat (Covariate): Bagimli degiskenle iliskili olan ve kontrol edilmek istenen surekli degisken. COK BASIT ANLATIM: "Gruplari karsilastirirken hesaba katmamiz gereken ek bir sayi!"

Iyi Kovaryat

Bagimli degiskenle guclu korelasyon

r > 0.30 ideal

Kotu Kovaryat

Zayif veya hic korelasyon yok

Guc kaybina neden olur

📊 Yaygin Kovaryatlar (Spor Bilimlerinde)

Calisma Tipi Yaygin Kovaryatlar
Antrenman Mudahalesi Baslangic (pre-test) degeri, yas
Performans Karsilastirma Antrenman yasi, vucut kitlesi
Psikolojik Olcumler Kaygi duzeyi, motivasyon

⚽ KOVARYAT NEDIR? - 3 SOMUT SPOR ORNEGI

Anlamadin mi? Bu orneklere bak, hemen anlayacaksin!

⚽ ORNEK 1: FUTBOL - Sprint Antrenman Programlari

Arastirma Sorusu: Hangisi daha etkili - Suratli Tekrar mi, Dayaniklilik Temelli mi?

Problem: Bir grubun oyunculari zaten daha hizli (baslangic 30m sprint: 4.2 sn vs 4.5 sn)

Kovaryat: BASLANGIC SPRINT SURESI (pre-test)

Ne yapiyoruz? "Herkes AYNI hizda baslasaydi, 8 hafta sonra hangi program daha iyi sonuc verirdi?" diye soruyoruz. ANCOVA bunu hesapliyor!

🏋️ ORNEK 2: HALTER - Kuvvet Antrenman Metodlari

Arastirma Sorusu: 5x5 mi, 3x10 mu daha iyi squat artirir?

Problem: Bir grubun sporcularinin vucut agirligi daha yuksek (ortalama 85 kg vs 72 kg)

Kovaryat: VUCUT AGIRLIGI veya BASLANGIC 1RM SQUAT DEGERI

Ne yapiyoruz? "Ayni vucut agirliginda veya ayni baslangic kuvvetinde olsalar, hangi program daha etkili?" diye ADİL karsilastirma yapiyoruz.

🏊 ORNEK 3: YUZME - Teknik Antrenman vs Dayaniklilik Antrenman

Arastirma Sorusu: 100m serbest surede hangi antrenman daha etkili?

Problem: Teknik grubunun yuzuculeri daha genc (ortalama 14 yas vs 17 yas)

Kovaryat: YAS veya ANTRENMAN YASI (kac yildir yuzuyor)

Ne yapiyoruz? Yas farkini "sifirladiktan" sonra antrenman programlarini karsilastiriyoruz. Boylece YAS degil, ANTRENMAN PROGRAMININ etkisini goruyoruz!

⚖️ ANOVA vs ANCOVA

Fark: ANCOVA kovaryatin etkisini cikardiktan sonra gruplari karsilastirir.

📊 ANOVA vs ANCOVA - Tam Karsilastirma Tablosu

Hangisini ne zaman kullanacaksin? Bu tabloyu ezberle!

Ozellik ANOVA ANCOVA
Ne yapar? Grup ortalamalarini karsilastirir Bir degiskeni KONTROL EDEREK grup ortalamalarini karsilastirir
Kovaryat kullanir mi? HAYIR ❌ EVET ✓ (en az 1 tane)
Baslangic farkliliklari Dikkate ALMAZ (sorun olabilir!) Istatistiksel olarak DUZELTIR
Istatistiksel guc Daha dusuk (hata varyansi yuksek) Daha YUKSEK (kovaryat hatayi azaltir)
Varsayim sayisi 3 varsayim (normallik, homojenlik, bagimsizlik) 6+ varsayim (ANOVA + lineerlik + egim homojenligi + kovaryat bagimsizligi)
Ne zaman kullan? Gruplar esit baslangictaysa veya randomizasyon iyiyse Gruplar FARKLI baslangictaysa veya karistirici degisken varsa
SPOR ORNEGI 3 takim arasinda sprint suresi karsilastirmasi (hepsi ayni duzey) 3 takim arasinda sprint suresi karsilastirmasi - BASLANGIC SURESI kontrol edilerek

📊 Gorsel Karsilastirma

ANOVA Grup A Grup B ANCOVA (Duzeltilmis) Grup A Grup B Kovaryat duzeltmesi

📋 Ne Zaman ANCOVA?

• Gruplar baslangicta esit degilse (randomizasyon zayif)

• Hata varyansini azaltmak istiyorsan (guc artisi)

• Bir karistirici degiskenin etkisini kontrol etmek istiyorsan

⚠️ ANCOVA VARSAYIMLARI

Kritik Uyari: ANCOVA, ANOVA + Regresyon karisimidir. Her ikisinin de varsayimlari gecerli!

🚫 YAYGIN YANLIS

"ANOVA yapabildim, ANCOVA da yaparim!"

HAYIR! ANCOVA'nin EK varsayimlari var ve bunlar COK ONEMLI!

📋 ANCOVA icin 4 TEMEL VARSAYIM

Varsayim Kaynak Nasil Kontrol?
1. Normallik & Varyans Homojenligi ANOVA'dan Shapiro-Wilk, Levene
2. Lineerlik Regresyondan Scatter plot, LOESS
3. Egim Homojenligi ANCOVA'ya ozgu! Grup × Kovaryat etkilesimi
4. Kovaryat Bagimsizligi ANCOVA'ya ozgu! Calisma tasarimi

💡 En KRITIK Varsayim: Egim Homojenligi

Eger kovaryat-bagimli degisken iliskisi gruplarda FARKLI ise, ANCOVA YANLIS sonuc verir!

Grup × Kovaryat etkilesimi p > 0.05 olmali!

📊 Varsayim 1: ANOVA Varsayimlari

ANCOVA = ANOVA + Regresyon: Once ANOVA varsayimlarini kontrol et!

Normallik

Her grup icinde normal dagilim

Test: Shapiro-Wilk

Kriter: p > 0.05

Varyans Homojenligi

Gruplar arasi esit varyans

Test: Levene

Kriter: p > 0.05

Bagimsiz Gozlemler

Her sporcu bagimsiz

Test: Calisma tasarimi

Kriter: Tekrarli olcum yok

📊 ANCOVA Artiklari icin Normallik

ANCOVA'da normallik testi ARTIKLAR (residuals) uzerinden yapilmali!

✅ Normal Dagilim ❌ Non-Normal

💡 Ihlal Durumunda

Normallik saglanmiyorsa: Robust ANCOVA veya Bootstrap ANCOVA

Varyans homojenligi saglanmiyorsa: Welch duzeltmeli ANCOVA

📈 Varsayim 2: Lineerlik

Kritik: Kovaryat ile bagimli degisken arasinda DOGRUSAL iliski olmali!

📊 Lineerlik Kontrolu

✅ LINEER ILISKI Kovaryat (Pre-test) Post-test ❌ NON-LINEER ILISKI

Nasil Kontrol Edilir?

1. Scatter plot: Her grup icin ayri ayri

2. LOESS fit: Egri yerine duz cizgi mi?

3. Residual plot: Sistematik desen yok mu?

Ihlal Durumunda

1. Kovaryati donustur: Log, karekok

2. Polinom terimi ekle: X² terimi

3. Farkli analiz: Non-lineer modeller

🏃 Spor Ornegi: Tavan Etkisi

Durum: Baslangic kuvveti cok yuksek olanlar daha az gelisim gosteriyor

Iliski: Egrisel (asimptotik) - yuksek degerlerde duzlesme

Cozum: Log donusumu veya kovaryati kategorize et

⚠️ Varsayim 3: Egim Homojenligi

EN KRITIK VARSAYIM: Kovaryat-bagimli degisken iliskisi TUM GRUPLARDA AYNI olmali!

📊 Egim Homojenligi Kavrami

✅ EGIMLER HOMOJEN Grup A Grup B ❌ EGIMLER FARKLI Grup A Grup B

📋 Egim Homojenligi Testi (ZORUNLU!)

Test: Grup × Kovaryat etkilesimini modele ekle

SPSS: Model → Custom → Grup*Kovaryat etkilesimi ekle

Kriter: Etkilesim p > 0.05 → Homojenlik saglandi ✓

Kriter: Etkilesim p < 0.05 → Homojenlik ihlal! ✗

🔧 Ihlal Durumunda Ne Yapilir?

1. Johnson-Neyman Teknigi: Farkin hangi kovaryat degerlerinde anlamli oldugunu bul

2. Pick-a-Point: Belirli kovaryat degerlerinde (dusuk/orta/yuksek) karsilastir

3. Ayri Regresyonlar: Her grup icin ayri regresyon analizi yap

🔗 Varsayim 4: Kovaryat Bagimsizligi

Onemli: Kovaryat, grup atamasindan (mudahaleden) ETKILENMEMELI!

✅ Bagimsiz Kovaryat

Pre-test degeri

Mudahale BASLAMADAN once olculmus

Orn: Baslangic kuvveti, yas, boy

❌ Bagimli Kovaryat

Mudahale sirasinda olculen

Mudahaleden etkilenmis olabilir

Orn: Antrenman motivasyonu (mudahale sirasinda)

📊 Neden Onemli?

✅ DOGRU Pre-test Mudahale Post-test ❌ YANLIS Mudahale "Kovaryat" Post-test

⚠️ "Lord's Paradox"

Kovaryat mudahaleden etkilenirse, ANCOVA sonucu yaniltici olur!

Ornek: Iki diyet grubu. Kovaryat olarak "3. hafta kilosu" kullanilirsa, diyetin kilo uzerindeki etkisi maskelenebilir.

Cozum: Kovaryat MUTLAKA mudahale oncesi olculmeli!

🔧 Varsayim Saglanmazsa Ne Yapilir?

Pratik Cozumler: Her varsayim ihlali icin alternatifler mevcut!

📋 ANCOVA Varsayim Kontrol Listesi

Varsayim Nasil Kontrol? Ihlal Belirtisi Cozum
Normallik Shapiro-Wilk (artiklar) p < .05 Robust/Bootstrap ANCOVA
Varyans homojenligi Levene testi p < .05 Welch ANCOVA
Lineerlik Scatter plot, LOESS Egrisel iliski Donusum, polinom terimi
Egim homojenligi Grup×Kovaryat etkilesimi Etkilesim p < .05 Johnson-Neyman, ayri regresyon
Kovaryat bagimsizligi Calisma tasarimi Post-mudahale kovaryat Pre-test kullan, tasarimi duzelt
📝 Varsayim Raporlama Ornegi

"ANCOVA varsayimlari kontrol edildi: Artiklar normal dagilmaktadir (Shapiro-Wilk p = .42). Varyanslar homojendir (Levene p = .28). Kovaryat-bagimli degisken iliskisi lineerdir (scatter plot incelendi). Regresyon egimlerinin homojenligi varsayimi karsilanmistir, Grup × Kovaryat etkilesimi anlamsizdir, F(2, 54) = 0.89, p = .42."

💡 Ipucu: Varsayim Kontrolu Sirasi

1. Once Egim Homojenligi kontrol et (en kritik!)

2. Sonra Lineerlik kontrol et

3. Son olarak ANOVA varsayimlarini (normallik, varyans) kontrol et

📊 Duzeltilmis Ortalamalar

Estimated Marginal Means: Kovaryat ortalamada tutuldugunda gruplarin tahmini ortalamalari.
🏋️ Ornek

Calisma: 3 antrenman programinin kuvvet artisina etkisi

Kovaryat: Baslangic kuvveti (pre-test)

Grup Ham Ortalama Baslangic X̄ Duzeltilmis Ortalama
Program A 85 kg 75 kg (yuksek) 82 kg ↓
Program B 78 kg 70 kg (orta) 80 kg →
Program C 72 kg 65 kg (dusuk) 75 kg ↑

Yorum: Program A'nin ham ortalamasi yuksek gorunuyor ama baslangic kuvvetleri de yuksekti. Duzeltilmis ortalamalar daha adil karsilastirma sagliyor!

📐 Hesaplama Mantigi

Ŷ_adj = Ȳ_grup - β(X̄_grup - X̄_genel)

Eger grubun kovaryat ortalamasi (X̄_grup), genel ortalamadan (X̄_genel) yuksekse, grup ortalamasi ASAGI cekilir. Dusukse YUKARI cekilir. Boylece herkes "esit sartlara" getirilir.

⚽ ANCOVA YORUMLAMA - SPOR ORNEKLERI

On-test skorunu kontrol ederek grup karsilastirma - 3 SOMUT ORNEK

🏆 ANCOVA SONUCU NASIL YORUMLANIR? - ADIM ADIM

Cok basit: "Baslangici ayni kabul edersek, sonucta fark var mi?"

🏀 ORNEK 1: BASKETBOL - Dikey Sicrama Programlari

Calisma: 3 farkli pliometrik program (A, B, C), 8 hafta, 60 basketbolcu

Bagimli Degisken: Son-test dikey sicrama (cm)

Kovaryat: On-test dikey sicrama (cm)

Program On-test X̄ Son-test X̄ (Ham) Duzeltilmis X̄
Program A 52 cm 58 cm 55.2 cm
Program B 48 cm 54 cm 56.8 cm ⭐
Program C 50 cm 55 cm 55.0 cm

ANCOVA Sonucu: F(2, 56) = 4.85, p = .011, η²p = .15

YORUM: Ham ortalamalara bakinca Program A en iyi gorunuyor (58 cm). AMA on-testleri zaten yuksekti! Duzeltilmis ortalamalara bakinca Program B ASLINDA en etkili (56.8 cm). Yani "esit baslasalar, B programi daha iyi!"

🏐 ORNEK 2: VOLEYBOL - Servis Hizi Antrenman Metodlari

Calisma: 2 farkli servis antrenman (Geleneksel vs Video Analiz), 6 hafta, 40 voleybolcu

Bagimli Degisken: Son-test servis hizi (km/sa)

Kovaryat: On-test servis hizi (km/sa)

Grup On-test X̄ Son-test X̄ (Ham) Duzeltilmis X̄
Geleneksel 72 km/sa 78 km/sa 76.5 km/sa
Video Analiz 68 km/sa 76 km/sa 79.2 km/sa ⭐

ANCOVA Sonucu: F(1, 37) = 6.21, p = .017, η²p = .14

YORUM: Ham sontest'e bakinca Geleneksel grup onde (78 > 76). Ama on-testleri de yuksekti! ANCOVA duzeltmesi yapinca Video Analiz grubu GERCEKTE daha etkili (79.2 > 76.5). On-test farkini cikarinca gercek farki goruyoruz!

🏃 ORNEK 3: ATLETIZM - 100m Sprint Antrenman Programlari

Calisma: 3 farkli hiz antrenman (Rezistans, Asistans, Karisik), 10 hafta, 45 atlet

Bagimli Degisken: Son-test 100m suresi (sn) - DUSUK DEGER = DAHA IYI

Kovaryat: On-test 100m suresi (sn)

Grup On-test X̄ Son-test X̄ (Ham) Duzeltilmis X̄
Rezistans 12.8 sn 12.3 sn 12.15 sn
Asistans 12.2 sn 11.8 sn ⭐ 12.05 sn ⭐
Karisik 12.5 sn 12.1 sn 12.10 sn

ANCOVA Sonucu: F(2, 41) = 3.92, p = .028, η²p = .16

YORUM: Bu ornekte ASISTANS grubu hem ham hem duzeltilmis ortalamalarda en iyi! Neden? Cunku on-testleri de iyiydi VE gelistiler. ANCOVA burada farkin GERCEK oldugunu dogruluyor. η²p = .16 = BUYUK ETKI!

📊 APA Raporlama Sablonu

"Baslangic [DEGISKEN ADI] kovaryat olarak kullanilarak tek yonlu ANCOVA yapilmistir. Kovaryat kontrol edildiginde gruplar arasi fark anlamlidir, F(df1, df2) = [F DEGERI], p = [P DEGERI], η²p = [ETKI BUYUKLUGU]. Post-hoc karsilastirmalar [HANGI GRUPLAR] arasinda anlamli fark oldugunu gostermistir (p < .05)."

📝 Sinif Ici Aktivite

Uygulama: ANCOVA varsayimlarini kontrol edin!

🏋️ Senaryo: Rehabilitasyon Programi Karsilastirmasi

Bir fizyoterapist, 3 farkli ACL rehabilitasyon protokolunu karsilastirmak istiyor.

Bagimli degisken: 12 hafta sonra diz esnekligi (derece)

Kovaryat: Ameliyat sonrasi 1. hafta esnekligi (pre-test)

Verilen bilgiler:

  • Shapiro-Wilk (artiklar): p = .18
  • Levene testi: p = .34
  • Grup × Kovaryat etkilesimi: F(2, 42) = 4.21, p = .02
  • Scatter plot: Dogrusal iliski goruluyor

📋 Gorevler:

1. Normallik varsayimi saglaniyor mu? Neden?

2. Varyans homojenligi varsayimi saglaniyor mu?

3. Egim homojenligi varsayimi saglaniyor mu?

4. Standart ANCOVA yapilabilir mi? Yapilamazsa ne onerirsiniz?

✅ Cozum (Tikla)

✅ Hafta 22 Ozet ve Quiz

ANCOVA - Varsayimlar ve Uygulama

4 Varsayim

ANOVA + Lineerlik + Egim + Bagimsizlik

Egim Homojenligi

EN KRITIK!

Duzeltilmis X̄

Adil karsilastirma

🧠 Varsayim Quiz

Soru 1: Grup × Kovaryat etkilesimi p = .03. ANCOVA yapilabilir mi?

Soru 2: Kovaryat olarak "antrenman sirasinda olculen motivasyon" kullanilabilir mi?

Soru 3: Scatter plot'ta kovaryat-bagimli degisken iliskisi egrisel gorunuyor. Ne yapilmali?

📚 Gelecek Hafta: MANOVA

Cok Degiskenli Varyans Analizi - Birden fazla bagimli degiskenle grup karsilastirmasi

1 / 14