?? ILERI ISTATISTIK

Hafta 22: ANCOVA - Kovaryans Analizi

Bu hafta: Gruplari karsilastirirken bir surekli degiskenin etkisini istatistiksel olarak KONTROL etmek. ANOVA + Regresyon = ANCOVA!

?? ANOVA

Grup ortalamalarini karsilastir

? Kovaryat

Surekli kontrol degiskeni

= ANCOVA

Duzeltilmis karsilastirma

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

?? ANCOVA Nedir?

Analysis of Covariance: Gruplar arasi farklari karsilastirirken bir veya daha fazla surekli degiskenin etkisini istatistiksel olarak kontrol eder.

ANCOVA Modeli:

Y = µ + ?? + ß(X - X¯) + ?

? = Grup etkisi | ß = Kovaryat egimi | X = Kovaryat

?? ANCOVA SEMBOL VE KAVRAM TABLOSU

Bu sembolleri bilmeden ANCOVA anlasilmaz! Cok basit aciklamalar:

Sembol / Terim	Ne Demek?	Cok Basit Aciklama
Covariate (Kovaryat)	Kontrol ettigimiz ek degisken	Ornegin: "Baslangic kuvveti". Bunu sabit tutarak gruplari karsilastiriyoruz.
Adjusted Means (Duzeltilmis Ortalamalar)	Kovaryat duzeltildikten sonraki grup ortalamalari	"Herkes AYNI baslangic noktasindan baslasaydi, ortalamalar ne olurdu?" sorusunun cevabi.
?²p (Partial Eta Kare)	Etki buyuklugu olcusu	Gruplarin farkinin NE KADAR BUYUK oldugunu gosterir. 0.01=kucuk, 0.06=orta, 0.14+=buyuk etki.
ß (Beta / Egim)	Kovaryatin bagli degiskene etkisi	Kovaryat 1 birim arttiginda, bagimli degisken ne kadar degisir?
Homogeneity of Slopes (Egim Homojenligi)	Kritik varsayim	Kovaryat-bagimli degisken iliskisi TUM GRUPLARDA AYNI OLMALI. Farkli olursa ANCOVA yanlis sonuc verir!
EMM (Estimated Marginal Means)	Tahmini marjinal ortalamalar	"Duzeltilmis Ortalamalar" ile ayni anlam. SPSS ciktisinda bu isimle gorursun.

?? Ne Ise Yarar?

• Baslangic farkliklarini kontrol etme (pre-test skorlari)

• Karistirici degiskenlerin etkisini azaltma

• Istatistiksel gucu artirma (hata varyansini azaltarak)

?? Derinlemesine Analiz: Guc Kazanimi

Varyansin bir kismi kovaryat ile aciklandiginda, "Hata Varyansi" (Error Variance) kuculur. F formulunde hata varyansi paydada oldugu icin (F = MS_effect / MS_error), payda kuculurse F degeri buyur.
Bu, gercekte var olan bir farki yakalama sansini (Power) artirir!

?? Kovaryat Kavrami

Kovaryat (Covariate): Bagimli degiskenle iliskili olan ve kontrol edilmek istenen surekli degisken. COK BASIT ANLATIM: "Gruplari karsilastirirken hesaba katmamiz gereken ek bir sayi!"

Iyi Kovaryat

Bagimli degiskenle guclu korelasyon

r > 0.30 ideal

Kotu Kovaryat

Zayif veya hic korelasyon yok

Guc kaybina neden olur

?? Yaygin Kovaryatlar (Spor Bilimlerinde)

Calisma Tipi	Yaygin Kovaryatlar
Antrenman Mudahalesi	Baslangic (pre-test) degeri, yas
Performans Karsilastirma	Antrenman yasi, vucut kitlesi
Psikolojik Olcumler	Kaygi duzeyi, motivasyon

? KOVARYAT NEDIR? - 3 SOMUT SPOR ORNEGI

Anlamadin mi? Bu orneklere bak, hemen anlayacaksin!

? ORNEK 1: FUTBOL - Sprint Antrenman Programlari

Arastirma Sorusu: Hangisi daha etkili - Suratli Tekrar mi, Dayaniklilik Temelli mi?

Problem: Bir grubun oyunculari zaten daha hizli (baslangic 30m sprint: 4.2 sn vs 4.5 sn)

Kovaryat: BASLANGIC SPRINT SURESI (pre-test)

Ne yapiyoruz? "Herkes AYNI hizda baslasaydi, 8 hafta sonra hangi program daha iyi sonuc verirdi?" diye soruyoruz. ANCOVA bunu hesapliyor!

??? ORNEK 2: HALTER - Kuvvet Antrenman Metodlari

Arastirma Sorusu: 5x5 mi, 3x10 mu daha iyi squat artirir?

Problem: Bir grubun sporcularinin vucut agirligi daha yuksek (ortalama 85 kg vs 72 kg)

Kovaryat: VUCUT AGIRLIGI veya BASLANGIC 1RM SQUAT DEGERI

Ne yapiyoruz? "Ayni vucut agirliginda veya ayni baslangic kuvvetinde olsalar, hangi program daha etkili?" diye ADİL karsilastirma yapiyoruz.

?? ORNEK 3: YUZME - Teknik Antrenman vs Dayaniklilik Antrenman

Arastirma Sorusu: 100m serbest surede hangi antrenman daha etkili?

Problem: Teknik grubunun yuzuculeri daha genc (ortalama 14 yas vs 17 yas)

Kovaryat: YAS veya ANTRENMAN YASI (kac yildir yuzuyor)

Ne yapiyoruz? Yas farkini "sifirladiktan" sonra antrenman programlarini karsilastiriyoruz. Boylece YAS degil, ANTRENMAN PROGRAMININ etkisini goruyoruz!

?? ANOVA vs ANCOVA

Fark: ANCOVA kovaryatin etkisini cikardiktan sonra gruplari karsilastirir.

?? ANOVA vs ANCOVA - Tam Karsilastirma Tablosu

Hangisini ne zaman kullanacaksin? Bu tabloyu ezberle!

Ozellik	ANOVA	ANCOVA
Ne yapar?	Grup ortalamalarini karsilastirir	Bir degiskeni KONTROL EDEREK grup ortalamalarini karsilastirir
Kovaryat kullanir mi?	HAYIR ?	EVET ? (en az 1 tane)
Baslangic farkliliklari	Dikkate ALMAZ (sorun olabilir!)	Istatistiksel olarak DUZELTIR
Istatistiksel guc	Daha dusuk (hata varyansi yuksek)	Daha YUKSEK (kovaryat hatayi azaltir)
Varsayim sayisi	3 varsayim (normallik, homojenlik, bagimsizlik)	6+ varsayim (ANOVA + lineerlik + egim homojenligi + kovaryat bagimsizligi)
Ne zaman kullan?	Gruplar esit baslangictaysa veya randomizasyon iyiyse	Gruplar FARKLI baslangictaysa veya karistirici degisken varsa
SPOR ORNEGI	3 takim arasinda sprint suresi karsilastirmasi (hepsi ayni duzey)	3 takim arasinda sprint suresi karsilastirmasi - BASLANGIC SURESI kontrol edilerek

?? Gorsel Karsilastirma

?? Ne Zaman ANCOVA?

• Gruplar baslangicta esit degilse (randomizasyon zayif)

• Hata varyansini azaltmak istiyorsan (guc artisi)

• Bir karistirici degiskenin etkisini kontrol etmek istiyorsan

?? ANCOVA VARSAYIMLARI

Kritik Uyari: ANCOVA, ANOVA + Regresyon karisimidir. Her ikisinin de varsayimlari gecerli!

?? YAYGIN YANLIS

"ANOVA yapabildim, ANCOVA da yaparim!"

HAYIR! ANCOVA'nin EK varsayimlari var ve bunlar COK ONEMLI!

?? ANCOVA icin 4 TEMEL VARSAYIM

Varsayim	Kaynak	Nasil Kontrol?
1. Normallik & Varyans Homojenligi	ANOVA'dan	Shapiro-Wilk, Levene
2. Lineerlik	Regresyondan	Scatter plot, LOESS
3. Egim Homojenligi	ANCOVA'ya ozgu!	Grup × Kovaryat etkilesimi
4. Kovaryat Bagimsizligi	ANCOVA'ya ozgu!	Calisma tasarimi

?? En KRITIK Varsayim: Egim Homojenligi

Eger kovaryat-bagimli degisken iliskisi gruplarda FARKLI ise, ANCOVA YANLIS sonuc verir!

Grup × Kovaryat etkilesimi p > 0.05 olmali!

?? Varsayim 1: ANOVA Varsayimlari

ANCOVA = ANOVA + Regresyon: Once ANOVA varsayimlarini kontrol et!

Normallik

Her grup icinde normal dagilim

Test: Shapiro-Wilk

Kriter: p > 0.05

Varyans Homojenligi

Gruplar arasi esit varyans

Test: Levene

Kriter: p > 0.05

Bagimsiz Gozlemler

Her sporcu bagimsiz

Test: Calisma tasarimi

Kriter: Tekrarli olcum yok

?? ANCOVA Artiklari icin Normallik

ANCOVA'da normallik testi ARTIKLAR (residuals) uzerinden yapilmali!

?? Ihlal Durumunda

Normallik saglanmiyorsa: Robust ANCOVA veya Bootstrap ANCOVA

Varyans homojenligi saglanmiyorsa: Welch duzeltmeli ANCOVA

?? Varsayim 2: Lineerlik

Kritik: Kovaryat ile bagimli degisken arasinda DOGRUSAL iliski olmali!

?? Lineerlik Kontrolu

Nasil Kontrol Edilir?

1. Scatter plot: Her grup icin ayri ayri

2. LOESS fit: Egri yerine duz cizgi mi?

3. Residual plot: Sistematik desen yok mu?

Ihlal Durumunda

1. Kovaryati donustur: Log, karekok

2. Polinom terimi ekle: X² terimi

3. Farkli analiz: Non-lineer modeller

?? Spor Ornegi: Tavan Etkisi

Durum: Baslangic kuvveti cok yuksek olanlar daha az gelisim gosteriyor

Iliski: Egrisel (asimptotik) - yuksek degerlerde duzlesme

Cozum: Log donusumu veya kovaryati kategorize et

?? Varsayim 3: Egim Homojenligi

EN KRITIK VARSAYIM: Kovaryat-bagimli degisken iliskisi TUM GRUPLARDA AYNI olmali!

?? Egim Homojenligi Kavrami

?? Egim Homojenligi Testi (ZORUNLU!)

Test: Grup × Kovaryat etkilesimini modele ekle

SPSS: Model › Custom › Grup*Kovaryat etkilesimi ekle
Kriter: Etkilesim p > 0.05 › Homojenlik saglandi ?
Kriter: Etkilesim p < 0.05 › Homojenlik ihlal! ?

?? Ihlal Durumunda Ne Yapilir?

1. Johnson-Neyman Teknigi: Farkin hangi kovaryat degerlerinde anlamli oldugunu bul

2. Pick-a-Point: Belirli kovaryat degerlerinde (dusuk/orta/yuksek) karsilastir

3. Ayri Regresyonlar: Her grup icin ayri regresyon analizi yap

?? Varsayim 4: Kovaryat Bagimsizligi

Onemli: Kovaryat, grup atamasindan (mudahaleden) ETKILENMEMELI!

? Bagimsiz Kovaryat

Pre-test degeri

Mudahale BASLAMADAN once olculmus

Orn: Baslangic kuvveti, yas, boy

? Bagimli Kovaryat

Mudahale sirasinda olculen

Mudahaleden etkilenmis olabilir

Orn: Antrenman motivasyonu (mudahale sirasinda)

?? Neden Onemli?

?? "Lord's Paradox"

Kovaryat mudahaleden etkilenirse, ANCOVA sonucu yaniltici olur!

Ornek: Iki diyet grubu. Kovaryat olarak "3. hafta kilosu" kullanilirsa, diyetin kilo uzerindeki etkisi maskelenebilir.

Cozum: Kovaryat MUTLAKA mudahale oncesi olculmeli!

?? Varsayim Saglanmazsa Ne Yapilir?

Pratik Cozumler: Her varsayim ihlali icin alternatifler mevcut!

?? ANCOVA Varsayim Kontrol Listesi

Varsayim	Nasil Kontrol?	Ihlal Belirtisi	Cozum
Normallik	Shapiro-Wilk (artiklar)	p < .05	Robust/Bootstrap ANCOVA
Varyans homojenligi	Levene testi	p < .05	Welch ANCOVA
Lineerlik	Scatter plot, LOESS	Egrisel iliski	Donusum, polinom terimi
Egim homojenligi	Grup×Kovaryat etkilesimi	Etkilesim p < .05	Johnson-Neyman, ayri regresyon
Kovaryat bagimsizligi	Calisma tasarimi	Post-mudahale kovaryat	Pre-test kullan, tasarimi duzelt

?? Varsayim Raporlama Ornegi

"ANCOVA varsayimlari kontrol edildi: Artiklar normal dagilmaktadir (Shapiro-Wilk p = .42). Varyanslar homojendir (Levene p = .28). Kovaryat-bagimli degisken iliskisi lineerdir (scatter plot incelendi). Regresyon egimlerinin homojenligi varsayimi karsilanmistir, Grup × Kovaryat etkilesimi anlamsizdir, F(2, 54) = 0.89, p = .42."

?? Ipucu: Varsayim Kontrolu Sirasi

1. Once Egim Homojenligi kontrol et (en kritik!)

2. Sonra Lineerlik kontrol et

3. Son olarak ANOVA varsayimlarini (normallik, varyans) kontrol et

?? Duzeltilmis Ortalamalar

Estimated Marginal Means: Kovaryat ortalamada tutuldugunda gruplarin tahmini ortalamalari.

??? Ornek

Calisma: 3 antrenman programinin kuvvet artisina etkisi

Kovaryat: Baslangic kuvveti (pre-test)

Grup	Ham Ortalama	Baslangic X¯	Duzeltilmis Ortalama
Program A	85 kg	75 kg (yuksek)	82 kg v
Program B	78 kg	70 kg (orta)	80 kg ›
Program C	72 kg	65 kg (dusuk)	75 kg ^

Yorum: Program A'nin ham ortalamasi yuksek gorunuyor ama baslangic kuvvetleri de yuksekti. Duzeltilmis ortalamalar daha adil karsilastirma sagliyor!

?? Hesaplama Mantigi

Y_adj = ?_grup - ß(X¯_grup - X¯_genel)

Eger grubun kovaryat ortalamasi (X¯_grup), genel ortalamadan (X¯_genel) yuksekse, grup ortalamasi ASAGI cekilir. Dusukse YUKARI cekilir. Boylece herkes "esit sartlara" getirilir.

? ANCOVA YORUMLAMA - SPOR ORNEKLERI

On-test skorunu kontrol ederek grup karsilastirma - 3 SOMUT ORNEK

?? ANCOVA SONUCU NASIL YORUMLANIR? - ADIM ADIM

Cok basit: "Baslangici ayni kabul edersek, sonucta fark var mi?"

?? ORNEK 1: BASKETBOL - Dikey Sicrama Programlari

Calisma: 3 farkli pliometrik program (A, B, C), 8 hafta, 60 basketbolcu

Bagimli Degisken: Son-test dikey sicrama (cm)

Kovaryat: On-test dikey sicrama (cm)

Program	On-test X¯	Son-test X¯ (Ham)	Duzeltilmis X¯
Program A	52 cm	58 cm	55.2 cm
Program B	48 cm	54 cm	56.8 cm ?
Program C	50 cm	55 cm	55.0 cm

ANCOVA Sonucu: F(2, 56) = 4.85, p = .011, ?²p = .15

YORUM: Ham ortalamalara bakinca Program A en iyi gorunuyor (58 cm). AMA on-testleri zaten yuksekti! Duzeltilmis ortalamalara bakinca Program B ASLINDA en etkili (56.8 cm). Yani "esit baslasalar, B programi daha iyi!"

?? ORNEK 2: VOLEYBOL - Servis Hizi Antrenman Metodlari

Calisma: 2 farkli servis antrenman (Geleneksel vs Video Analiz), 6 hafta, 40 voleybolcu

Bagimli Degisken: Son-test servis hizi (km/sa)

Kovaryat: On-test servis hizi (km/sa)

Grup	On-test X¯	Son-test X¯ (Ham)	Duzeltilmis X¯
Geleneksel	72 km/sa	78 km/sa	76.5 km/sa
Video Analiz	68 km/sa	76 km/sa	79.2 km/sa ?

ANCOVA Sonucu: F(1, 37) = 6.21, p = .017, ?²p = .14

YORUM: Ham sontest'e bakinca Geleneksel grup onde (78 > 76). Ama on-testleri de yuksekti! ANCOVA duzeltmesi yapinca Video Analiz grubu GERCEKTE daha etkili (79.2 > 76.5). On-test farkini cikarinca gercek farki goruyoruz!

?? ORNEK 3: ATLETIZM - 100m Sprint Antrenman Programlari

Calisma: 3 farkli hiz antrenman (Rezistans, Asistans, Karisik), 10 hafta, 45 atlet

Bagimli Degisken: Son-test 100m suresi (sn) - DUSUK DEGER = DAHA IYI

Kovaryat: On-test 100m suresi (sn)

Grup	On-test X¯	Son-test X¯ (Ham)	Duzeltilmis X¯
Rezistans	12.8 sn	12.3 sn	12.15 sn
Asistans	12.2 sn	11.8 sn ?	12.05 sn ?
Karisik	12.5 sn	12.1 sn	12.10 sn

ANCOVA Sonucu: F(2, 41) = 3.92, p = .028, ?²p = .16

YORUM: Bu ornekte ASISTANS grubu hem ham hem duzeltilmis ortalamalarda en iyi! Neden? Cunku on-testleri de iyiydi VE gelistiler. ANCOVA burada farkin GERCEK oldugunu dogruluyor. ?²p = .16 = BUYUK ETKI!

?? APA Raporlama Sablonu

"Baslangic [DEGISKEN ADI] kovaryat olarak kullanilarak tek yonlu ANCOVA yapilmistir. Kovaryat kontrol edildiginde gruplar arasi fark anlamlidir, F(df1, df2) = [F DEGERI], p = [P DEGERI], ?²p = [ETKI BUYUKLUGU]. Post-hoc karsilastirmalar [HANGI GRUPLAR] arasinda anlamli fark oldugunu gostermistir (p < .05)."

?? Sinif Ici Aktivite

Uygulama: ANCOVA varsayimlarini kontrol edin!

??? Senaryo: Rehabilitasyon Programi Karsilastirmasi

Bir fizyoterapist, 3 farkli ACL rehabilitasyon protokolunu karsilastirmak istiyor.

Bagimli degisken: 12 hafta sonra diz esnekligi (derece)

Kovaryat: Ameliyat sonrasi 1. hafta esnekligi (pre-test)

Verilen bilgiler:

Shapiro-Wilk (artiklar): p = .18
Levene testi: p = .34
Grup × Kovaryat etkilesimi: F(2, 42) = 4.21, p = .02
Scatter plot: Dogrusal iliski goruluyor

?? Gorevler:

1. Normallik varsayimi saglaniyor mu? Neden?

2. Varyans homojenligi varsayimi saglaniyor mu?

3. Egim homojenligi varsayimi saglaniyor mu?

4. Standart ANCOVA yapilabilir mi? Yapilamazsa ne onerirsiniz?

? Cozum (Tikla)

? Hafta 22 Ozet ve Quiz

ANCOVA - Varsayimlar ve Uygulama

4 Varsayim

ANOVA + Lineerlik + Egim + Bagimsizlik

Egim Homojenligi

EN KRITIK!

Duzeltilmis X¯

Adil karsilastirma

?? Varsayim Quiz

Soru 1: Grup × Kovaryat etkilesimi p = .03. ANCOVA yapilabilir mi?

Soru 2: Kovaryat olarak "antrenman sirasinda olculen motivasyon" kullanilabilir mi?

Soru 3: Scatter plot'ta kovaryat-bagimli degisken iliskisi egrisel gorunuyor. Ne yapilmali?

?? Gelecek Hafta: MANOVA

Cok Degiskenli Varyans Analizi - Birden fazla bagimli degiskenle grup karsilastirmasi