📊 İLERİ İSTATİSTİK

Hafta 23: MANOVA - Çok Değişkenli Varyans Analizi

Bu hafta: Birden fazla bağımlı değişkeni aynı anda analiz etmek. ANOVA'nın çok değişkenli versiyonu!

📊 ANOVA

1 bağımlı değişken

📊 MANOVA

2+ bağımlı değişken

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

MANOVA Nedir?

Multivariate Analysis of Variance: Iki veya daha fazla bağlı değişkeni aynı anda analiz ederek gruplar arası farkları test eder.

ANOVA vs MANOVA

ANOVA: Y = tek bağlı değişken

MANOVA: Y1, Y2, Y3... = çoklu bağlı değişkenler

Örnek

Soru: Uc spor dalı (futbol, basketbol, voleybol) fiziksel özellikler açısından farklı mi?

Bağlı Değişkenler:

* Y1 = Dikey sıçrama (cm)

* Y2 = Sprint süresi (sn)

* Y3 = Çeviklik (sn)

-> 3 ayrı ANOVA yerine, 1 MANOVA ile tumunu analiz et!

MANOVA Sembol ve Kavram Tablosu (Basit Açıklama)

Sembol Ne Demek? Basit Açıklama
Wilks' Lambda (L) En yaygın test istatistiği Gruplar ne kadar farklı? 0'a yakın = cok farklı, 1'e yakın = aynı
Pillai's Trace En sağlam (robust) test Varsayımlar bozulsa bile güvenilir. Sikintida ilk tercih!
Multivariate F Cok değişkenli F değeri ANOVA'daki F gibi. Buyukse gruplar farklı demek
Hotelling's Trace 2 grup için en güçlü Sadece 2 grup karsilastiriyorsan en iyi sonucu verir
Roy's Largest Root En hassas ama en zayıf Cok hassas, genelde kullanma - yanlış alarm verebilir
Box's M Kovaryans esitlik testi Grupların varyans yapısı aynı mi? p > 0.001 ise OK
Mahalanobis D2 Uc değer tespiti Bu sporcu digerleriyle uyumlu mu? Cok yüksekse uc değer
np2 (Eta kare) Etki büyüklüğü Fark ne kadar büyük? 0.01=küçük, 0.06=orta, 0.14=büyük

ANOVA vs MANOVA - Hangisini Ne Zaman Kullanirim?

Özellik ANOVA MANOVA
Bağlı Değişken Sayısı 1 tane 2 veya daha fazla
Örnek Durum Sadece dikey sıçrama ölç Sıçrama + Hiz + Esneklik birlikte ölç
Tip I Hata (Yanlış Alarm) Cok test yaparsan artar! Kontrol altında tutar
Değişkenler Arası İlişki Gormezden gelir Hesaba katar
Örneklem İhtiyacı Daha az yeterli Daha cok gerekli (hücre başına 20+)
Varsayımlar Normallik, varyans esitligi Daha karmaşık (cok değişkenli normallik, Box's M)
Ne Zaman Sec? Tek ölçüm varsa Birden fazla ilişkili ölçüm varsa

Neden MANOVA?

Avantajları: Çoklu ANOVA'ya gore önemli faydaları var.

SPOR ÖRNEĞİ 1: Futbolda Pozisyona Gore Fiziksel Profil

Araştırma Sorusu: Kaleci, defans, ortasaha ve forvet oyuncuları fiziksel özellikler açısından farklı mi?

Gruplar (Bağımsız Değişken):

* Kaleciler (n=20)

* Defans oyuncuları (n=25)

* Ortasaha oyuncuları (n=25)

* Forvet oyuncuları (n=20)

Bağlı Değişkenler (Birlikte Ölçülen):

* Y1 = Maksimum sprint hızı (km/sa)

* Y2 = Dikey sıçrama (cm)

* Y3 = Çeviklik testi süresi (sn)

* Y4 = 12 dakika koşma mesafesi (m)

Neden 4 ayrı ANOVA değil de MANOVA?

* Bu 4 özellik birbiriyle ilişkili (hızlı olan genelde cok da sicrar)

* 4 ANOVA yaparsan Tip I hata %19'a çıkar! MANOVA ile %5'te kalır

* Belki tek tek bakinca fark yok ama hepsini birlikte alinca fark çıkar!

Sonuç: Wilks' L = 0.38, F(12, 215) = 7.42, p < .001 -> Pozisyonlar gerçekten farklı!

1. Tip I Hata Kontrolü

Çoklu test yapmaktan kaçınır

α şişmesini önler

2. Korelasyonu Dikkate Alır

Değişkenler arası ilişki

Daha güçlü analiz

3. Gizli Farkları Yakalar

Değişkenler kombine edildiğinde ortaya çıkan farklar

⚠️ Ne Zaman MANOVA Kullanma?

• Bağımlı değişkenler kavramsal olarak ilişkisizse

• Bağımlı değişkenler arasında çok düşük korelasyon varsa (r < 0.3)

• Örneklem çok küçükse (her hücrede en az 20 ideal)

🧠 Derinlemesine Analiz: Hata Enflasyonu

Eğer 5 bağımlı değişken için 5 ayrı ANOVA yaparsanız, en az bir Tip I hata yapma olasılığınız:
P(Hata) = 1 - (0.95)5 = %23
MANOVA bunu %5 seviyesinde tutar.

📈 Test İstatistikleri

Çoklu Seçenek: MANOVA için farklı test istatistikleri var. En yaygın kullanılan Wilks' Lambda.

📊 MANOVA Test İstatistikleri

İstatistik Kullanım Özellik
Wilks' Lambda (Λ) En yaygın Genel amaçlı, robust
Pillai's Trace Varsayım ihlali En robust
Hotelling's Trace 2 grup En güçlü (2 grup)
Roy's Largest Root En az robust Sadece ilk kanonik

📋 Wilks' Lambda Yorumlama

• Λ = 0 › Gruplar tamamen farklı

• Λ = 1 › Gruplar aynı

• Λ küçüldükçe F değeri ve anlamlılık artar

⚠️ MANOVA VARSAYIMLARI - GENEL BAKIŞ

4 Temel Varsayım: MANOVA, ANOVA'dan daha karmaşık varsayımlara sahiptir. Her birini kontrol etmek zorunludur!
MANOVA VARSAYIMLARI 1. ÇOK DEĞİŞKENLİ NORMALLİK Mardia / Mahalanobis 2. KOVARYANS HOMOJENLİĞİ Box's M testi 3. BAĞIMSIZLIK & ÇOKLU BAĞINTISIZLIK VIF / Korelasyon 4. YETERLİ ÖRNEKLEM n ≥ 20 her hücre 🔑 ALTIN KURAL Varsayım testlerinde p > 0.05 › Varsayım SAĞLANIYOR (Box's M için p > 0.001 yeterli - çok hassas test)

Normallik

Mardia skewness & kurtosis

p > 0.05

Box's M

Kovaryans matrisleri

p > 0.001

Korelasyon

DV'ler arası r = 0.3-0.7

Orta düzey ideal

Örneklem

Her hücrede n >= 20

n > DV sayısı

SPOR ÖRNEĞİ 2: Yuzucude Antrenman Tipine Gore Performans

Araştırma Sorusu: Farklı antrenman programları (kuvvet, dayanıklılık, kombine) yüzücü performansını nasıl etkiliyor?

Gruplar: Kuvvet antrenman (n=18), Dayanıklılık (n=22), Kombine (n=20)

Bağlı Değişkenler:

* Y1 = 50m serbest süresi (sn)

* Y2 = Lat pull-down kuvveti (kg)

* Y3 = VO2max (ml/kg/dk)

Varsayım Kontrol Tablosu:

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = 0.11 OK (p > 0.05)
Box's M M = 18.7 p = 0.032 OK (p > 0.001)
DV Korelasyon Pearson r = 0.41 - 0.58 İdeal aralık!
Örneklem n/hücre 18-22 Yeterli (n > 3 DV)

Yorum: Tum varsayımlar sağlandı -> Wilks' Lambda kullanılabilir!

Sonuç: Wilks' L = 0.52, F(6, 110) = 6.18, p < .001, np2 = .25 (buyuk etki)

-> Kombine antrenman grubu en iyi sonuçları verdi!

📊 Varsayım 1: Çok Değişkenli Normallik

En Kritik Varsayım: Tüm bağımlı değişkenler BİRLİKTE normal dağılmalı. Tek tek normal olmaları YETERLİ DEĞİL!

⚠️ Dikkat: Tek Değişkenli ≠ Çok Değişkenli

Her DV ayrı ayrı normal olabilir ama birlikte normal olmayabilir!

Örnek: Boy ve kilo ayrı ayrı normal, ama birlikte çarpık olabilir.

Mardia Testi

Skewness: p > 0.05

Kurtosis: p > 0.05

SPSS'te FACTOR komutu ile

Q-Q Plot

Chi-square Q-Q plot

Noktalar çizgi üzerinde mi?

Görsel kontrol

Mahalanobis

Çok değişkenli uç değer

χ² kritik değerden küçük mü?

df = DV sayısı

📊 Tek Değişkenli vs Çok Değişkenli Normallik

TEK DEĞİŞKENLİ Boy Normal ✓ Kilo Normal ✓ ÇOK DEĞİŞKENLİ Boy + Kilo BİRLİKTE Normal DEĞİL! ✗ Ayrı ayrı normal olmaları YETERLİ DEĞİL!
🏋️ Spor Örneği: Mahalanobis Mesafesi

Durum: Halter sporcularında kuvvet testi verileri

• Sporcu A: Boy=175cm, Kilo=85kg › Her ikisi de normal aralıkta

• Sporcu B: Boy=155cm, Kilo=110kg › Ayrı ayrı normal, ama kombinasyon "garip"

› Mahalanobis mesafesi Sporcu B için kritik değeri aşıyor = Çok değişkenli uç değer!

📋 Kontrol Adımları

Test Kontrol Kabul Kriteri
Mardia Skewness p değeri p > 0.05
Mardia Kurtosis p değeri p > 0.05
Mahalanobis D² χ² karşılaştırma D² < χ²(df, .001)

📊 Varsayım 2: Kovaryans Matrisi Homojenliği

Box's M Testi: Grupların kovaryans matrisleri eşit olmalı. ANOVA'daki varyans homojenliğinin çok değişkenli versiyonu.
H°: µ₁ = µ₂ = µ₃ = ... = µₖ

Kovaryans matrisleri tüm gruplarda eşit

Box's M Testi

p > 0.001 › Varsayım OK

Not: 0.05 değil, 0.001!

Test çok hassas

Neden 0.001?

Box's M çok hassas bir test

Küçük farklarda bile p < 0.05 çıkabilir

Pratik önem yok

📊 Kovaryans Matrisi Ne Demek?

GRUP 1 (Futbolcular) Var(Y0) Cov Cov Var(Y²) Cov Cov ?0 =? GRUP 2 (Basketbolcular) Var(Y0) Cov Cov Var(Y²) Cov Cov Σ₂ GRUP 3 (Voleybolcular) Var(Y0) Cov Cov Var(Y²) Cov Cov Σ₃ Box's M: Σ₁ = Σ₂ = Σ₃ mi? p > 0.001 → Evet, homojen! ✓
⚽ Spor Örneği

Araştırma: Üç lig düzeyi (1. Lig, 2. Lig, 3. Lig) fiziksel özellikler açısından farklı mı?

DV'ler: Sprint, Çeviklik, Dayanıklılık

Box's M = 42.31, F(12, 8945) = 3.41, p = .008

› p > 0.001, varsayım SAĞLANIYOR! Wilks' Lambda kullanılabilir.

⚠️ Box's M p < 0.001 İse Ne Yapılır?

• Pillai's Trace kullan (en robust istatistik)

• Grup örneklem büyüklüklerini dengele

• Uç değerleri kontrol et ve gerekirse çıkar

📊 Varsayım 3: Bağımsızlık & Çoklu Bağıntısızlık

İki Farklı Kavram: Gözlemler bağımsız olmalı VE bağımlı değişkenler arasında aşırı yüksek korelasyon olmamalı.

A. Gözlem Bağımsızlığı

Her sporcu bağımsız ölçülmeli

Aynı kişi 2 kez olamaz

Tasarım aşamasında sağlanır

B. DV Korelasyonu

İdeal: r = 0.3 - 0.7

Çok düşük › MANOVA anlamsız

Çok yüksek › Multicollinearity

📊 DV'ler Arası Korelasyon: İdeal Aralık

r = 0 İlişkisiz r = 0.3 İDEAL BÖLGE r = 0.7 r = 0.9 Multicollinearity! r = 1

🔍 Çoklu Bağıntı (Multicollinearity) Kontrolü

Korelasyon (r) Yorum Aksiyon
r < 0.3 Çok düşük MANOVA yerine ayrı ANOVA yap
r = 0.3 - 0.7 İdeal MANOVA uygun ✓
r = 0.7 - 0.9 Yüksek Dikkatli yorumla, VIF kontrol et
r > 0.9 Çok yüksek Bir DV'yi çıkar veya birleştir
🏃 Spor Örneği: Yüksek Korelasyon Problemi

DV'ler: 10m sprint, 20m sprint, 30m sprint

Korelasyonlar: r0² = 0.95, r0³ = 0.92, r²³ = 0.98

› Problem! Tüm korelasyonlar > 0.9

Çözüm: Sadece 20m sprint'i kullan veya 3'ünün ortalamasını al

⚠️ Bağımlılık Problemi Örneği

Hatalı tasarım: Aynı takımdaki oyuncuları ölçmek

Takım arkadaşları benzer antrenman, benzer fiziksel özellik › Bağımsız değil!

Çözüm: Takımı random effect olarak modelle veya farklı takımlardan seç

📊 Varsayım 4: Yeterli Örneklem Büyüklüğü

MANOVA Aç Bir Canavar: Çok değişkenli analiz, tek değişkenli analizden ÇOK DAHA FAZLA örneklem gerektirir!
Her Hücrede n ≥ 20 (ideal)

Minimum: n > DV sayısı (her hücrede)

Minimum

n > DV sayısı

3 DV › en az 4 kişi/grup

Çok riskli!

Kabul Edilebilir

n ≥ 10-15 / hücre

Varsayımlar sağlanıyorsa

Dikkatli yorum

İdeal

n ≥ 20 / hücre

Robust sonuçlar

Güvenilir ✓

📊 Örneklem Hesaplama Örneği

ARAŞTIRMA TASARIMI Gruplar: 3 (Futbol, Basket, Voley) DV sayısı: 4 (Boy, Kilo, Sprint, Sıçrama) Hücre sayısı: 3 HESAPLAMA İdeal: 20 × 3 = 60 Minimum: 5 × 3 = 15 (5 > 4 DV, barely OK) SONUÇ N ≥ 60 Toplam örneklem (20 kişi/grup)

📋 DV Sayısına Göre Minimum Örneklem

DV Sayısı Minimum/Hücre İdeal/Hücre 3 Grup Toplam
2 3-5 20 60
3 4-6 20 60
4 5-8 20 60
5+ n > DV+2 25-30 75-90

Küçük Örneklem Tehlikeleri

* Tip II hata artar: Gerçek farkları yakalayamazsin

* Varsayım testleri güvenilmez: Box's M, Mardia yanıltıcı olur

* Etki büyüklükleri siser: Küçük örneklemde np2 abartili çıkar

SPOR ORNEGI 3: Haltercilerde Sıklet Kategorisine Gore Kuvvet Profili

Araştırma Sorusu: Farklı siklet kategorilerindeki halterciler kuvvet özellikleri açısından farklı mi?

Gruplar:

* Hafif siklet (n=12) - 61-67 kg

* Orta siklet (n=28) - 73-89 kg

* Ağır siklet (n=8) - 96+ kg

Bağlı Değişkenler:

* Y1 = Koparma (snatch) 1RM (kg)

* Y2 = Silkme (clean & jerk) 1RM (kg)

* Y3 = Squat 1RM (kg)

VARSAYIM IHLALI DURUMU:

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = 0.02 IHLAL! (p < 0.05)
Box's M M = 67.3 p < 0.001 IHLAL! (p < 0.001)
Örneklem n/hücre 8-28 DENGESIZ!

Ne Yapmali?

1. Wilks' Lambda yerine Pillai's Trace kullan (varsayım ihlallerine dayanıklı)

2. Sonuçları dikkatli yorumla ve sınırlılık olarak raporla

3. İdeal: Daha fazla ağır siklet sporcu bul veya grupları birden fazla yıl veri toplayarak dengele

Sonuç (Pillai's Trace ile): V = 0.71, F(6, 88) = 8.45, p < .001

-> Varsayım ihlali olmasına rağmen anlamlı fark var! Ama dikkatli yorumla.

🔧 Varsayım Sağlanmazsa Ne Yapılır?

Her Varsayım İçin Alternatifler: İhlal durumunda panik yok! Çözümler var.
VARSAYIM İHLALİ? NORMALLİK İHLALİ Mardia p < 0.05 ✓ Pillai's Trace kullan ✓ Uç değerleri çıkar ✓ Dönüşüm (log, sqrt) ✓ n > 30 ise robust BOX'S M İHLALİ p < 0.001 ✓ Pillai's Trace kullan ✓ Grupları dengele ✓ Uç değerleri çıkar ✓ Robust MANOVA ÇOKLU BAĞINTI r > 0.9 ✓ Bir DV'yi çıkar ✓ DV'leri birleştir ✓ PCA ile boyut azalt ✓ Ridge regresyon KÜÇÜK ÖRNEKLEM n < 20/hücre ✓ Daha veri topla ✓ DV sayısını azalt ✓ Ayrı ANOVA'lar yap ✓ Permutasyon testi 🛡️ EN ROBUST ÇÖZÜM Pillai's Trace + Yeterli örneklem + Uç değer kontrolü

📋 Özet Tablo: İhlal → Çözüm

Varsayım İhlal Tespiti Birincil Çözüm Alternatif
Normallik Mardia p < 0.05 Pillai's Trace Bootstrap, Dönüşüm
Box's M p < 0.001 Pillai's Trace Welch MANOVA
Multicollinearity r > 0.9 DV çıkar/birleştir PCA
Örneklem n < 20/hücre Veri topla Permutasyon
💡 Pratik İpucu

Birden fazla varsayım ihlali varsa:

1. Önce örneklem büyüklüğünü kontrol et

2. Sonra uç değerleri temizle (çoğu sorunu çözer!)

3. Pillai's Trace kullan (en robust)

4. Sonuçları dikkatli yorumla ve sınırlılıkları raporla

🔍 Follow-up Analizler

MANOVA Anlamlı Çıktıysa: Hangi bağımlı değişkenler ve hangi gruplar farklı?

1. Univariate ANOVA

Her bağımlı değişken için ayrı ANOVA

Bonferroni düzeltmeli

2. Diskriminant Analizi

Hangi değişkenler grupları en iyi ayırır?

Kanonik fonksiyonlar

3. Post-hoc Testler

Hangi grup çiftleri farklı?

Tukey, Bonferroni

📊 MANOVA Analiz Akışı

1. MANOVA Genel fark var mı? Wilks' Λ, p < .05? 2. Univariate ANOVA Hangi DV'lerde fark? Bonferroni: α/k 3. Post-hoc Hangi gruplar farklı? Tukey HSD 4. Etki Büyüklüğü η²p Her adımda p < .05 ise devam et!

🛡️ İleri Teknik: Roy-Bargmann Step-Down

Univariate ANOVA'lar DV'ler arasındaki korelasyonu ihmal eder. En doğru yöntem Step-Down Analizidir: En önemli DV için ANOVA yapılır, sonraki DV için önceki DV "kovaryat" olarak alınıp ANCOVA yapılır. Böylece gerçek, bağımsız katkı bulunur.

⚠️ Bonferroni Düzeltmesi

4 DV varsa: α = 0.05 / 4 = 0.0125

Univariate ANOVA'da p < 0.0125 olmalı (0.05 değil!)

⚽ Spor Senaryoları

Gerçek Hayat Uygulamaları - Varsayım Kontrolü Dahil
🏀 Senaryo 1: Pozisyona Göre Fiziksel Profil

Gruplar: Guard (n=22), Forward (n=20), Center (n=18)

DV'ler: Boy, kol açıklığı, dikey sıçrama, sprint (4 DV)

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = .08 ✓ OK
Box's M Box's M = 52.3 p = .004 ✓ OK (p > .001)
DV Korelasyonu Pearson r r = .35-.62 ✓ İdeal aralık
Örneklem n/hücre 18-22 ✓ Yeterli (>DV)

Sonuç: Wilks' Λ = 0.42, F(8, 110) = 8.67, p < .001, η²p = .39

› Tüm varsayımlar OK › Wilks' Lambda güvenilir!

🏃 Senaryo 2: Varsayım İhlali Durumu

Gruplar: Elit (n=35), Amatör (n=12), Rekreasyonel (n=8)

DV'ler: VO2max, Laktat eşiği, Koşu ekonomisi

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = .02 ✗ İhlal
Box's M Box's M = 89.7 p < .001 ✗ İhlal
Örneklem n/hücre 8-35 ✗ Dengesiz!

› Çözüm: Pillai's Trace kullan + sonuçları dikkatli yorumla!

📊 APA Raporlama Örneği

"Varsayım kontrolleri sonucunda çok değişkenli normallik (Mardia p = .08) ve kovaryans homojenliği (Box's M = 52.3, p = .004) varsayımlarının karşılandığı belirlendi. Tek yönlü MANOVA, pozisyonların fiziksel özellikler üzerinde anlamlı bir etkisi olduğunu göstermiştir, Wilks' Λ = .42, F(8, 110) = 8.67, p < .001, η²p = .39."

🎯 Sınıf İçi Aktivite

Senaryo: Üç farklı beslenme programının (Akdeniz, Düşük Karbonhidrat, Kontrol) sporcu performansı üzerindeki etkisini araştırıyorsunuz.
📋 Araştırma Detayları

Gruplar: Akdeniz Diyeti (n=18), Düşük Karbonhidrat (n=16), Kontrol (n=20)

Bağımlı Değişkenler:

• Y0: 5km koşu süresi (dk)

• Y²: Bench press 1RM (kg)

• Y³: Vücut yağ oranı (%)

📊 Varsayım Test Sonuçları

Test Sonuç
Mardia Skewness p = .12
Mardia Kurtosis p = .07
Box's M M = 28.4, F(12, 9823) = 2.21, p = .009
DV Korelasyonları r0² = -.42, r0³ = .38, r²³ = -.51
Mahalanobis D² max 14.2 (χ²(3, .001) = 16.27)

Soru 1

Çok değişkenli normallik varsayımı sağlanıyor mu?

Soru 2

Kovaryans homojenliği varsayımı sağlanıyor mu?

Soru 3

DV'ler arası korelasyon MANOVA için uygun mu?

Soru 4

Hangi test istatistiğini kullanmalısınız?

✅ Hafta 23 Özet ve Quiz

MANOVA - Çok Değişkenli Varyans Analizi

📋 MANOVA Varsayım Kontrol Listesi

Varsayım Test Kabul Kriteri İhlalde Çözüm
Çok Değişkenli Normallik Mardia p > 0.05 Pillai's Trace
Kovaryans Homojenliği Box's M p > 0.001 Pillai's Trace
DV Korelasyonu Pearson r r = 0.3 - 0.7 DV çıkar/birleştir
Örneklem n/hücre n ≥ 20 Veri topla / DV azalt
Uç Değer Mahalanobis D² D² < χ²(df,.001) Uç değeri çıkar

Wilks' Λ

En yaygın istatistik

Varsayımlar OK ise

Pillai's Trace

En robust istatistik

İhlal varsa tercih et

Follow-up

Univariate ANOVA + Post-hoc

Bonferroni düzeltmeli

🧠 Quiz

Soru 1: MANOVA neden tercih edilir?

Soru 2: Box's M testi p = 0.02 çıktı. Ne yaparsın?

Soru 3: DV'ler arası korelasyon r = 0.95 ise ne yaparsın?

1 / 14