📊 İLERİ İSTATİSTİK

Hafta 23: MANOVA - Çok Değişkenli Varyans Analizi

Bu hafta: Birden fazla bağımlı değişkeni aynı anda analiz etmek. ANOVA'nın çok değişkenli versiyonu!

📊 ANOVA

1 bağımlı değişken

📊 MANOVA

2+ bağımlı değişken

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

MANOVA Nedir?

Multivariate Analysis of Variance: Iki veya daha fazla bagli degiskeni ayni anda analiz ederek gruplar arasi farklari test eder.

ANOVA vs MANOVA

ANOVA: Y = tek bagli degisken

MANOVA: Y1, Y2, Y3... = coklu bagli degiskenler

Ornek

Soru: Uc spor dali (futbol, basketbol, voleybol) fiziksel ozellikler acisindan farkli mi?

Bagli Degiskenler:

* Y1 = Dikey sicrama (cm)

* Y2 = Sprint suresi (sn)

* Y3 = Ceviklik (sn)

-> 3 ayri ANOVA yerine, 1 MANOVA ile tumunu analiz et!

MANOVA Sembol ve Kavram Tablosu (Basit Aciklama)

Sembol Ne Demek? Basit Aciklama
Wilks' Lambda (L) En yaygin test istatistigi Gruplar ne kadar farkli? 0'a yakin = cok farkli, 1'e yakin = ayni
Pillai's Trace En saglam (robust) test Varsayimlar bozulsa bile guvenilir. Sikintida ilk tercih!
Multivariate F Cok degiskenli F degeri ANOVA'daki F gibi. Buyukse gruplar farkli demek
Hotelling's Trace 2 grup icin en guclu Sadece 2 grup karsilastiriyorsan en iyi sonucu verir
Roy's Largest Root En hassas ama en zayif Cok hassas, genelde kullanma - yanlis alarm verebilir
Box's M Kovaryans esitlik testi Gruplarin varyans yapisi ayni mi? p > 0.001 ise OK
Mahalanobis D2 Uc deger tespiti Bu sporcu digerleriyle uyumlu mu? Cok yuksekse uc deger
np2 (Eta kare) Etki buyuklugu Fark ne kadar buyuk? 0.01=kucuk, 0.06=orta, 0.14=buyuk

ANOVA vs MANOVA - Hangisini Ne Zaman Kullanirim?

Ozellik ANOVA MANOVA
Bagli Degisken Sayisi 1 tane 2 veya daha fazla
Ornek Durum Sadece dikey sicrama olc Sicrama + Hiz + Esneklik birlikte olc
Tip I Hata (Yanlis Alarm) Cok test yaparsan artar! Kontrol altinda tutar
Degiskenler Arasi Iliski Gormezden gelir Hesaba katar
Orneklem Ihtiyaci Daha az yeterli Daha cok gerekli (hucre basina 20+)
Varsayimlar Normallik, varyans esitligi Daha karmasik (cok degiskenli normallik, Box's M)
Ne Zaman Sec? Tek olcum varsa Birden fazla iliskili olcum varsa

Neden MANOVA?

Avantajlari: Coklu ANOVA'ya gore onemli faydalari var.

SPOR ORNEGI 1: Futbolda Pozisyona Gore Fiziksel Profil

Arastirma Sorusu: Kaleci, defans, ortasaha ve forvet oyunculari fiziksel ozellikler acisindan farkli mi?

Gruplar (Bagimsiz Degisken):

* Kaleciler (n=20)

* Defans oyunculari (n=25)

* Ortasaha oyunculari (n=25)

* Forvet oyunculari (n=20)

Bagli Degiskenler (Birlikte Olculen):

* Y1 = Maksimum sprint hizi (km/sa)

* Y2 = Dikey sicrama (cm)

* Y3 = Ceviklik testi suresi (sn)

* Y4 = 12 dakika kosma mesafesi (m)

Neden 4 ayri ANOVA degil de MANOVA?

* Bu 4 ozellik birbiriyle iliskili (hizli olan genelde cok da sicrar)

* 4 ANOVA yaparsan Tip I hata %19'a cikar! MANOVA ile %5'te kalir

* Belki tek tek bakinca fark yok ama hepsini birlikte alinca fark cikar!

Sonuc: Wilks' L = 0.38, F(12, 215) = 7.42, p < .001 -> Pozisyonlar gercekten farkli!

1. Tip I Hata Kontrolü

Çoklu test yapmaktan kaçınır

α şişmesini önler

2. Korelasyonu Dikkate Alır

Değişkenler arası ilişki

Daha güçlü analiz

3. Gizli Farkları Yakalar

Değişkenler kombine edildiğinde ortaya çıkan farklar

⚠️ Ne Zaman MANOVA Kullanma?

• Bağımlı değişkenler kavramsal olarak ilişkisizse

• Bağımlı değişkenler arasında çok düşük korelasyon varsa (r < 0.3)

• Örneklem çok küçükse (her hücrede en az 20 ideal)

🧠 Derinlemesine Analiz: Hata Enflasyonu

Eğer 5 bağımlı değişken için 5 ayrı ANOVA yaparsanız, en az bir Tip I hata yapma olasılığınız:
P(Hata) = 1 - (0.95)⁵ = %23
MANOVA bunu %5 seviyesinde tutar.

📈 Test İstatistikleri

Çoklu Seçenek: MANOVA için farklı test istatistikleri var. En yaygın kullanılan Wilks' Lambda.

📊 MANOVA Test İstatistikleri

İstatistik Kullanım Özellik
Wilks' Lambda (Λ) En yaygın Genel amaçlı, robust
Pillai's Trace Varsayım ihlali En robust
Hotelling's Trace 2 grup En güçlü (2 grup)
Roy's Largest Root En az robust Sadece ilk kanonik

📋 Wilks' Lambda Yorumlama

• Λ = 0 → Gruplar tamamen farklı

• Λ = 1 → Gruplar aynı

• Λ küçüldükçe F değeri ve anlamlılık artar

⚠️ MANOVA VARSAYIMLARI - GENEL BAKIŞ

4 Temel Varsayım: MANOVA, ANOVA'dan daha karmaşık varsayımlara sahiptir. Her birini kontrol etmek zorunludur!
MANOVA VARSAYIMLARI 1. ÇOK DEĞİŞKENLİ NORMALLİK Mardia / Mahalanobis 2. KOVARYANS HOMOJENLİĞİ Box's M testi 3. BAĞIMSIZLIK & ÇOKLU BAĞINTISIZLIK VIF / Korelasyon 4. YETERLİ ÖRNEKLEM n ≥ 20 her hücre 🔑 ALTIN KURAL Varsayım testlerinde p > 0.05 → Varsayım SAĞLANIYOR (Box's M için p > 0.001 yeterli - çok hassas test)

Normallik

Mardia skewness & kurtosis

p > 0.05

Box's M

Kovaryans matrisleri

p > 0.001

Korelasyon

DV'ler arasi r = 0.3-0.7

Orta duzey ideal

Orneklem

Her hucrede n >= 20

n > DV sayisi

SPOR ORNEGI 2: Yuzucude Antrenman Tipine Gore Performans

Arastirma Sorusu: Farkli antrenman programlari (kuvvet, dayaniklilik, kombine) yuzucu performansini nasil etkiliyor?

Gruplar: Kuvvet antrenman (n=18), Dayaniklilik (n=22), Kombine (n=20)

Bagli Degiskenler:

* Y1 = 50m serbest suresi (sn)

* Y2 = Lat pull-down kuvveti (kg)

* Y3 = VO2max (ml/kg/dk)

Varsayim Kontrol Tablosu:

Varsayim Test Sonuc Karar
Normallik Mardia p = 0.11 OK (p > 0.05)
Box's M M = 18.7 p = 0.032 OK (p > 0.001)
DV Korelasyon Pearson r = 0.41 - 0.58 Ideal aralik!
Orneklem n/hucre 18-22 Yeterli (n > 3 DV)

Yorum: Tum varsayimlar saglandi -> Wilks' Lambda kullanilabilir!

Sonuc: Wilks' L = 0.52, F(6, 110) = 6.18, p < .001, np2 = .25 (buyuk etki)

-> Kombine antrenman grubu en iyi sonuclari verdi!

📊 Varsayım 1: Çok Değişkenli Normallik

En Kritik Varsayım: Tüm bağımlı değişkenler BİRLİKTE normal dağılmalı. Tek tek normal olmaları YETERLİ DEĞİL!

⚠️ Dikkat: Tek Değişkenli ≠ Çok Değişkenli

Her DV ayrı ayrı normal olabilir ama birlikte normal olmayabilir!

Örnek: Boy ve kilo ayrı ayrı normal, ama birlikte çarpık olabilir.

Mardia Testi

Skewness: p > 0.05

Kurtosis: p > 0.05

SPSS'te FACTOR komutu ile

Q-Q Plot

Chi-square Q-Q plot

Noktalar çizgi üzerinde mi?

Görsel kontrol

Mahalanobis

Çok değişkenli uç değer

χ² kritik değerden küçük mü?

df = DV sayısı

📊 Tek Değişkenli vs Çok Değişkenli Normallik

TEK DEĞİŞKENLİ Boy Normal ✓ Kilo Normal ✓ ÇOK DEĞİŞKENLİ Boy + Kilo BİRLİKTE Normal DEĞİL! ✗ Ayrı ayrı normal olmaları YETERLİ DEĞİL!
🏋️ Spor Örneği: Mahalanobis Mesafesi

Durum: Halter sporcularında kuvvet testi verileri

• Sporcu A: Boy=175cm, Kilo=85kg → Her ikisi de normal aralıkta

• Sporcu B: Boy=155cm, Kilo=110kg → Ayrı ayrı normal, ama kombinasyon "garip"

→ Mahalanobis mesafesi Sporcu B için kritik değeri aşıyor = Çok değişkenli uç değer!

📋 Kontrol Adımları

Test Kontrol Kabul Kriteri
Mardia Skewness p değeri p > 0.05
Mardia Kurtosis p değeri p > 0.05
Mahalanobis D² χ² karşılaştırma D² < χ²(df, .001)

📊 Varsayım 2: Kovaryans Matrisi Homojenliği

Box's M Testi: Grupların kovaryans matrisleri eşit olmalı. ANOVA'daki varyans homojenliğinin çok değişkenli versiyonu.
H₀: Σ₁ = Σ₂ = Σ₃ = ... = Σₖ

Kovaryans matrisleri tüm gruplarda eşit

Box's M Testi

p > 0.001 → Varsayım OK

Not: 0.05 değil, 0.001!

Test çok hassas

Neden 0.001?

Box's M çok hassas bir test

Küçük farklarda bile p < 0.05 çıkabilir

Pratik önem yok

📊 Kovaryans Matrisi Ne Demek?

GRUP 1 (Futbolcular) Var(Y₁) Cov Cov Var(Y₂) Cov Cov Σ₁ =? GRUP 2 (Basketbolcular) Var(Y₁) Cov Cov Var(Y₂) Cov Cov Σ₂ GRUP 3 (Voleybolcular) Var(Y₁) Cov Cov Var(Y₂) Cov Cov Σ₃ Box's M: Σ₁ = Σ₂ = Σ₃ mi? p > 0.001 → Evet, homojen! ✓
⚽ Spor Örneği

Araştırma: Üç lig düzeyi (1. Lig, 2. Lig, 3. Lig) fiziksel özellikler açısından farklı mı?

DV'ler: Sprint, Çeviklik, Dayanıklılık

Box's M = 42.31, F(12, 8945) = 3.41, p = .008

→ p > 0.001, varsayım SAĞLANIYOR! Wilks' Lambda kullanılabilir.

⚠️ Box's M p < 0.001 İse Ne Yapılır?

• Pillai's Trace kullan (en robust istatistik)

• Grup örneklem büyüklüklerini dengele

• Uç değerleri kontrol et ve gerekirse çıkar

📊 Varsayım 3: Bağımsızlık & Çoklu Bağıntısızlık

İki Farklı Kavram: Gözlemler bağımsız olmalı VE bağımlı değişkenler arasında aşırı yüksek korelasyon olmamalı.

A. Gözlem Bağımsızlığı

Her sporcu bağımsız ölçülmeli

Aynı kişi 2 kez olamaz

Tasarım aşamasında sağlanır

B. DV Korelasyonu

İdeal: r = 0.3 - 0.7

Çok düşük → MANOVA anlamsız

Çok yüksek → Multicollinearity

📊 DV'ler Arası Korelasyon: İdeal Aralık

r = 0 İlişkisiz r = 0.3 İDEAL BÖLGE r = 0.7 r = 0.9 Multicollinearity! r = 1

🔍 Çoklu Bağıntı (Multicollinearity) Kontrolü

Korelasyon (r) Yorum Aksiyon
r < 0.3 Çok düşük MANOVA yerine ayrı ANOVA yap
r = 0.3 - 0.7 İdeal MANOVA uygun ✓
r = 0.7 - 0.9 Yüksek Dikkatli yorumla, VIF kontrol et
r > 0.9 Çok yüksek Bir DV'yi çıkar veya birleştir
🏃 Spor Örneği: Yüksek Korelasyon Problemi

DV'ler: 10m sprint, 20m sprint, 30m sprint

Korelasyonlar: r₁₂ = 0.95, r₁₃ = 0.92, r₂₃ = 0.98

→ Problem! Tüm korelasyonlar > 0.9

Çözüm: Sadece 20m sprint'i kullan veya 3'ünün ortalamasını al

⚠️ Bağımlılık Problemi Örneği

Hatalı tasarım: Aynı takımdaki oyuncuları ölçmek

Takım arkadaşları benzer antrenman, benzer fiziksel özellik → Bağımsız değil!

Çözüm: Takımı random effect olarak modelle veya farklı takımlardan seç

📊 Varsayım 4: Yeterli Örneklem Büyüklüğü

MANOVA Aç Bir Canavar: Çok değişkenli analiz, tek değişkenli analizden ÇOK DAHA FAZLA örneklem gerektirir!
Her Hücrede n ≥ 20 (ideal)

Minimum: n > DV sayısı (her hücrede)

Minimum

n > DV sayısı

3 DV → en az 4 kişi/grup

Çok riskli!

Kabul Edilebilir

n ≥ 10-15 / hücre

Varsayımlar sağlanıyorsa

Dikkatli yorum

İdeal

n ≥ 20 / hücre

Robust sonuçlar

Güvenilir ✓

📊 Örneklem Hesaplama Örneği

ARAŞTIRMA TASARIMI Gruplar: 3 (Futbol, Basket, Voley) DV sayısı: 4 (Boy, Kilo, Sprint, Sıçrama) Hücre sayısı: 3 HESAPLAMA İdeal: 20 × 3 = 60 Minimum: 5 × 3 = 15 (5 > 4 DV, barely OK) SONUÇ N ≥ 60 Toplam örneklem (20 kişi/grup)

📋 DV Sayısına Göre Minimum Örneklem

DV Sayısı Minimum/Hücre İdeal/Hücre 3 Grup Toplam
2 3-5 20 60
3 4-6 20 60
4 5-8 20 60
5+ n > DV+2 25-30 75-90

Kucuk Orneklem Tehlikeleri

* Tip II hata artar: Gercek farklari yakalayamazsin

* Varsayim testleri guvenilmez: Box's M, Mardia yaniltici olur

* Etki buyuklukleri siser: Kucuk orneklemde np2 abartili cikar

SPOR ORNEGI 3: Haltercilerde Siklet Kategorisine Gore Kuvvet Profili

Arastirma Sorusu: Farkli siklet kategorilerindeki halterciler kuvvet ozellikleri acisindan farkli mi?

Gruplar:

* Hafif siklet (n=12) - 61-67 kg

* Orta siklet (n=28) - 73-89 kg

* Agir siklet (n=8) - 96+ kg

Bagli Degiskenler:

* Y1 = Koparma (snatch) 1RM (kg)

* Y2 = Silkme (clean & jerk) 1RM (kg)

* Y3 = Squat 1RM (kg)

VARSAYIM IHLALI DURUMU:

Varsayim Test Sonuc Karar
Normallik Mardia p = 0.02 IHLAL! (p < 0.05)
Box's M M = 67.3 p < 0.001 IHLAL! (p < 0.001)
Orneklem n/hucre 8-28 DENGESIZ!

Ne Yapmali?

1. Wilks' Lambda yerine Pillai's Trace kullan (varsayim ihlallerine dayanikli)

2. Sonuclari dikkatli yorumla ve sinirlilik olarak raporla

3. Ideal: Daha fazla agir siklet sporcu bul veya gruplari birden fazla yil veri toplayarak dengele

Sonuc (Pillai's Trace ile): V = 0.71, F(6, 88) = 8.45, p < .001

-> Varsayim ihlali olmasina ragmen anlamli fark var! Ama dikkatli yorumla.

🔧 Varsayım Sağlanmazsa Ne Yapılır?

Her Varsayım İçin Alternatifler: İhlal durumunda panik yok! Çözümler var.
VARSAYIM İHLALİ? NORMALLİK İHLALİ Mardia p < 0.05 ✓ Pillai's Trace kullan ✓ Uç değerleri çıkar ✓ Dönüşüm (log, sqrt) ✓ n > 30 ise robust BOX'S M İHLALİ p < 0.001 ✓ Pillai's Trace kullan ✓ Grupları dengele ✓ Uç değerleri çıkar ✓ Robust MANOVA ÇOKLU BAĞINTI r > 0.9 ✓ Bir DV'yi çıkar ✓ DV'leri birleştir ✓ PCA ile boyut azalt ✓ Ridge regresyon KÜÇÜK ÖRNEKLEM n < 20/hücre ✓ Daha veri topla ✓ DV sayısını azalt ✓ Ayrı ANOVA'lar yap ✓ Permutasyon testi 🛡️ EN ROBUST ÇÖZÜM Pillai's Trace + Yeterli örneklem + Uç değer kontrolü

📋 Özet Tablo: İhlal → Çözüm

Varsayım İhlal Tespiti Birincil Çözüm Alternatif
Normallik Mardia p < 0.05 Pillai's Trace Bootstrap, Dönüşüm
Box's M p < 0.001 Pillai's Trace Welch MANOVA
Multicollinearity r > 0.9 DV çıkar/birleştir PCA
Örneklem n < 20/hücre Veri topla Permutasyon
💡 Pratik İpucu

Birden fazla varsayım ihlali varsa:

1. Önce örneklem büyüklüğünü kontrol et

2. Sonra uç değerleri temizle (çoğu sorunu çözer!)

3. Pillai's Trace kullan (en robust)

4. Sonuçları dikkatli yorumla ve sınırlılıkları raporla

🔍 Follow-up Analizler

MANOVA Anlamlı Çıktıysa: Hangi bağımlı değişkenler ve hangi gruplar farklı?

1. Univariate ANOVA

Her bağımlı değişken için ayrı ANOVA

Bonferroni düzeltmeli

2. Diskriminant Analizi

Hangi değişkenler grupları en iyi ayırır?

Kanonik fonksiyonlar

3. Post-hoc Testler

Hangi grup çiftleri farklı?

Tukey, Bonferroni

📊 MANOVA Analiz Akışı

1. MANOVA Genel fark var mı? Wilks' Λ, p < .05? 2. Univariate ANOVA Hangi DV'lerde fark? Bonferroni: α/k 3. Post-hoc Hangi gruplar farklı? Tukey HSD 4. Etki Büyüklüğü η²p Her adımda p < .05 ise devam et!

🛡️ İleri Teknik: Roy-Bargmann Step-Down

Univariate ANOVA'lar DV'ler arasındaki korelasyonu ihmal eder. En doğru yöntem Step-Down Analizidir: En önemli DV için ANOVA yapılır, sonraki DV için önceki DV "kovaryat" olarak alınıp ANCOVA yapılır. Böylece gerçek, bağımsız katkı bulunur.

⚠️ Bonferroni Düzeltmesi

4 DV varsa: α = 0.05 / 4 = 0.0125

Univariate ANOVA'da p < 0.0125 olmalı (0.05 değil!)

⚽ Spor Senaryoları

Gerçek Hayat Uygulamaları - Varsayım Kontrolü Dahil
🏀 Senaryo 1: Pozisyona Göre Fiziksel Profil

Gruplar: Guard (n=22), Forward (n=20), Center (n=18)

DV'ler: Boy, kol açıklığı, dikey sıçrama, sprint (4 DV)

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = .08 ✓ OK
Box's M Box's M = 52.3 p = .004 ✓ OK (p > .001)
DV Korelasyonu Pearson r r = .35-.62 ✓ İdeal aralık
Örneklem n/hücre 18-22 ✓ Yeterli (>DV)

Sonuç: Wilks' Λ = 0.42, F(8, 110) = 8.67, p < .001, η²p = .39

→ Tüm varsayımlar OK → Wilks' Lambda güvenilir!

🏃 Senaryo 2: Varsayım İhlali Durumu

Gruplar: Elit (n=35), Amatör (n=12), Rekreasyonel (n=8)

DV'ler: VO2max, Laktat eşiği, Koşu ekonomisi

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik Mardia p = .02 ✗ İhlal
Box's M Box's M = 89.7 p < .001 ✗ İhlal
Örneklem n/hücre 8-35 ✗ Dengesiz!

→ Çözüm: Pillai's Trace kullan + sonuçları dikkatli yorumla!

📊 APA Raporlama Örneği

"Varsayım kontrolleri sonucunda çok değişkenli normallik (Mardia p = .08) ve kovaryans homojenliği (Box's M = 52.3, p = .004) varsayımlarının karşılandığı belirlendi. Tek yönlü MANOVA, pozisyonların fiziksel özellikler üzerinde anlamlı bir etkisi olduğunu göstermiştir, Wilks' Λ = .42, F(8, 110) = 8.67, p < .001, η²p = .39."

🎯 Sınıf İçi Aktivite

Senaryo: Üç farklı beslenme programının (Akdeniz, Düşük Karbonhidrat, Kontrol) sporcu performansı üzerindeki etkisini araştırıyorsunuz.
📋 Araştırma Detayları

Gruplar: Akdeniz Diyeti (n=18), Düşük Karbonhidrat (n=16), Kontrol (n=20)

Bağımlı Değişkenler:

• Y₁: 5km koşu süresi (dk)

• Y₂: Bench press 1RM (kg)

• Y₃: Vücut yağ oranı (%)

📊 Varsayım Test Sonuçları

Test Sonuç
Mardia Skewness p = .12
Mardia Kurtosis p = .07
Box's M M = 28.4, F(12, 9823) = 2.21, p = .009
DV Korelasyonları r₁₂ = -.42, r₁₃ = .38, r₂₃ = -.51
Mahalanobis D² max 14.2 (χ²(3, .001) = 16.27)

Soru 1

Çok değişkenli normallik varsayımı sağlanıyor mu?

Soru 2

Kovaryans homojenliği varsayımı sağlanıyor mu?

Soru 3

DV'ler arası korelasyon MANOVA için uygun mu?

Soru 4

Hangi test istatistiğini kullanmalısınız?

✅ Hafta 23 Özet ve Quiz

MANOVA - Çok Değişkenli Varyans Analizi

📋 MANOVA Varsayım Kontrol Listesi

Varsayım Test Kabul Kriteri İhlalde Çözüm
Çok Değişkenli Normallik Mardia p > 0.05 Pillai's Trace
Kovaryans Homojenliği Box's M p > 0.001 Pillai's Trace
DV Korelasyonu Pearson r r = 0.3 - 0.7 DV çıkar/birleştir
Örneklem n/hücre n ≥ 20 Veri topla / DV azalt
Uç Değer Mahalanobis D² D² < χ²(df,.001) Uç değeri çıkar

Wilks' Λ

En yaygın istatistik

Varsayımlar OK ise

Pillai's Trace

En robust istatistik

İhlal varsa tercih et

Follow-up

Univariate ANOVA + Post-hoc

Bonferroni düzeltmeli

🧠 Quiz

Soru 1: MANOVA neden tercih edilir?

Soru 2: Box's M testi p = 0.02 çıktı. Ne yaparsın?

Soru 3: DV'ler arası korelasyon r = 0.95 ise ne yaparsın?

1 / 14