📊 İLERİ İSTATİSTİK

Hafta 26: Diskriminant (Ayirma) Analizi

Bu hafta: Önceden tanımlanmış grupları hangi değişkenler en iyi ayırır? Yeni bireyleri hangi gruba atasiniz?

🎯 Ayirma

Hangi değişkenler grupları ayırır?

📊 Sınıflandırma

Yeni birey hangi grupta?

Doç. Dr. İzzet İNCE | Spor Bilimleri Fakültesi

Akademik Yıl: 2025 - 2026

🔍 Diskriminant Analizi Nedir?

İki Amaç: 1) Grupları en iyi ayıran lineer kombinasyonu bul. 2) Yeni bireyleri siniflandir.

📚 SEMBOL VE KAVRAM ACIKLAMA TABLOSU

Aşağıdaki tablo, diskriminant analizinde kullanılan temel sembolleri ve kavramları çok basit bir dille açıklar.

Sembol/Kavram Ne Demek? Basit Açıklama
Wilks' Lambda (Λ) Ayirma gücü göstergesi 0 ile 1 arası değer. Düşük değer = iyi ayırma! Örneğin Λ=0.20 demek gruplar birbirinden çok farklı demek.
Kanonik Korelasyon (Rc) Fonksiyon-grup ilişkisi Diskriminant fonksiyonu ile grup uyeliginiz arasındaki ilişki. Yüksek değer = iyi tahmin! Örneğin Rc=0.85 çok güçlü.
Sınıflandırma Doğruluğu (Hit Rate) Doğru tahmin yüzdesi Model kaç kişiyi doğru gruba yerlestirdi? %85 demek 100 kişiden 85'i doğru!
Chance Baseline (Sans Düzey) Rastgele tahmin başarısı Gozlerimizi kapatsak kaç doğru tahmin ederdik? 3 grup varsa = %33. Modelimiz bundan iyi olmalı!
Yapı Matrisi (Structure Matrix) Değişken onemliligi Hangi değişken grupları en çok ayiriyor? Yüksek değer = o değişken çok önemli!
Ozdeger (Eigenvalue) Fonksiyonun gücü Fonksiyon gruplardaki farkı ne kadar açıklıyor? Büyük değer = güçlü fonksiyon!
Cross-Validation Çapraz doğrulama Modeli test etme yöntemi. Her seferinde 1 kişi disarda bırakılır, kalan verilerle model kurulur. Gerçek başarıyı gösterir!

MANOVA

Gruplar farklı mi?

Hipotez testi

Diskriminant

Hangi değişkenler nasıl ayırır?

Tahmin/sınıflandırma

🤔 MANOVA vs Lojistik vs Diskriminant

• MANOVA: Çok değişkenli fark testi

• Lojistik: 2 grup, değişken onemliligi (OR)

• Diskriminant: 2+ grup, kanonik fonksiyonlar, sınıflandırma

⚽ SPOR ÖRNEĞİ 1: Futbolda Başarılı vs Başarısız Takım Ayirma

Senaryo: 20 futbol takimini "sampiyonluk yarisindan dusenler" ve "sampiyonluk yarisinda kalanlar" olarak ayırmak istiyoruz.

Değişkenler: Top sürme yüzdesi, pas isaberti, sut isabeti, km koşma mesafesi

Diskriminant Fonksiyonu:

D = 0.65 × (pas isabeti) + 0.48 × (sut isabeti) + 0.32 × (km) - 4.2

Nasıl Yorumluyoruz?

  • Pas isabeti en büyük katsayiya sahip (0.65) › Basariyi en çok etkileyen faktör!
  • D değeri pozitifse › Sampiyonluk yarisinda kalır
  • D değeri negatifse › Sampiyonluk yarisindan düşer

🏊 SPOR ÖRNEĞİ 2: Yüzme Kategorileri Ayirma

Senaryo: Yuzuculeri sprint (50-100m), orta mesafe (200-400m) ve uzun mesafe (800-1500m) kategorilerine ayırmak istiyoruz.

Değişkenler: Kol gücü, bacak gücü, VO2max, vücuttaki yağ yüzdesi

Diskriminant Fonksiyonlari:

Fonksiyon 1: D1 = 0.78 × (kol gücü) + 0.55 × (bacak gücü) - 0.25 × (VO2max)

Fonksiyon 2: D2 = 0.15 × (kol gücü) - 0.20 × (bacak gücü) + 0.82 × (VO2max)

Ne Anliyoruz?

  • Fonksiyon 1: Sprint vs uzun mesafe ayırır (güç odaklı)
  • Fonksiyon 2: Orta mesafeyi diğer kategorilerden ayırır (dayanıklılık odaklı)
  • 3 grup olduğu için 2 fonksiyon var (grup sayısı - 1)

🏋️ SPOR ORNEGI 3: Halter Sıklet Sınıfı Tahmini

Senaryo: Genç haltercilerin hangi siklet sinifinda en başarılı olacagini tahmin etmek istiyoruz.

Gruplar: Hafif siklet (61-73 kg), orta siklet (81-96 kg), ağır siklet (102+ kg)

Değişkenler: Boy, kas kütlesi, el kavrama gücü, dikey sıçrama

Diskriminant Fonksiyonu:

D = 0.72 × (kas kütlesi) + 0.45 × (boy) + 0.38 × (kavrama gücü)

Pratik Kullanım: Yeni gelen bir sporcunun bu değerleri girilince hangi siklete daha uygun olduğu otomatik hesaplanır!

📈 Kanonik Diskriminant Fonksiyonlari

Lineer Kombinasyon: Değişkenlerin grupları en iyi ayıran ağırlıklı toplamı.

Diskriminant Fonksiyonu:

D = b0X0 + b²X² + ... + b?X? + c

b = diskriminant katsayıları, c = sabit

📋 Ozdeger ve Wilks' Lambda

Ozdeger (Eigenvalue): Fonksiyonun acikladi varyans

Kanonik Korelasyon: Fonksiyon ile grup arasındaki korelasyon

Wilks' Lambda: Fonksiyonun anlamlılık testi (düşük = iyi)

📊 Fonksiyon Sayısı

Maksimum fonksiyon sayısı = min(değişken sayısı, grup sayısı - 1)

• 2 grup › 1 fonksiyon

• 3 grup › maksimum 2 fonksiyon

🧠 Katsayilarin Yorumu

Ham katsayilar birimlere bağlıdır (cm vs kg). Değişkenlerin göreli önemini karşılaştırmak için Standartlastirilmis Kanonik Diskriminant Katsayilari kullanılır. Mutlak değeri büyük olan değişken, ayırma islemine daha fazla katkı sağlar.

📊 Yapı Matrisi

Değişken Onemliligi: Her değişkenin diskriminant fonksiyonuyla korelasyonu.

📊 Örnek Yapı Matrisi

Değişken Fonksiyon 1 Fonksiyon 2
Dikey Sıçrama .85* .21
Sprint .72* .35
Dayanıklılık .28 .81*
Esneklik .15 .69*

* işaretli yükler en yüksek korelasyonu gösterir

Yorum: Fonksiyon 1 "Patlayıcı Güç" boyutunu temsil ediyor (sıçrama, sprint). Fonksiyon 2 "Genel Fitness" boyutunu temsil ediyor (dayanıklılık, esneklik).

⚠️ Pattern vs Structure Matrix

Değişkenler arasında yüksek korelasyon (multicollinearity) varsa, katsayilar (pattern) kararsiz olabilir. Bu durumda Yapı Matrisi (Structure Matrix) daha güvenilirdir çünkü değişkenin fonksiyonla olan basit korelasyonunu gösterir (etkilesimden bağımsız).

📊 HANGI DEGISKENLER EN ÇOK AYIRIYOR? - YAPI MATRISI OKUMA

Yapı matrisindeki değerler -1 ile +1 arasındadır. Mutlak değeri büyük olan değişken grupları en çok ayıran değişkendir!

Değer Aralığı Anlamı Örnek
0.70 - 1.00 Çok güçlü ayirici Boy = 0.85 › Boy gruplar arasında en belirleyici faktör!
0.40 - 0.69 Orta düzey ayirici Çeviklik = 0.55 › Grupları ayirmada yardımcı
0.00 - 0.39 Zayıf ayirici Esneklik = 0.18 › Grupları pek ayirmiyor

🏀 HANGI DEGISKEN EN ÇOK AYIRIYOR? ÖRNEK 1: Basketbol Pozisyonlari

Gruplar: Guard, Forward, Center

Yapı Matrisi Sonuçları:

Değişken Fonksiyon 1 Yorum
Boy .92* EN GUCLU AYIRICI! Center'lar uzun, Guard'lar kisa.
Kol Açıklığı .78 Boy ile paralel, güçlü ayirici
Sıçrama .45 Orta düzey ayirici
Çeviklik .62 Guard'lar daha cevik

Sonuç: Basketbolda pozisyonları en çok BOY ayiriyor! Guard isen kısa, Center isen uzun olma ihtimalin yüksek.

🏊 HANGI DEGISKEN EN ÇOK AYIRIYOR? ÖRNEK 2: Yüzme Mesafe Kategorileri

Gruplar: Sprint (50-100m), Orta (200-400m), Uzun (800-1500m)

Yapı Matrisi Sonuçları:

Değişken Fonksiyon 1 Fonksiyon 2 Yorum
VO2max .35 .89* Uzun mesafecileri ayiriyor!
Kas Gücü .85* .22 Sprinterleri ayiriyor!
Vücuttaki Yağ % -.65 .40 Düşük yağ = sprint başarısı

Sonuç: Fonksiyon 1 (kas gücü) sprint vs uzun mesafeyi, Fonksiyon 2 (VO2max) orta mesafeyi ayiriyor!

🏋️ HANGI DEGISKEN EN ÇOK AYIRIYOR? ÖRNEK 3: Halter Performans Düzeyleri

Gruplar: Milli Takım, Bölgesel, Amatör

Yapı Matrisi Sonuçları:

Değişken Fonksiyon 1 Yorum
Relatif Güç (kg/vücut kg) .94* EN GUCLU AYIRICI! Milli takım sporcularının relatif gücü çok yüksek.
Teknik Puan .76 Üst düzey sporcular teknik olarak mükemmel
Antrenman Yılı .58 Deneyim de önemli ama güç kadar değil
Esneklik .28 Zayıf ayirici - gruplar arası fark az

Sonuç: Halterde başarı düzeylerini en çok RELATIF GÜÇ ayiriyor! Vücut ağırlığına oranla ne kadar güçlü oldugun belirleyici.

⚠️ DISKRIMINANT ANALİZİ VARSAYIMLARI

MANOVA ile Benzer: Diskriminant analizi, MANOVA ile aynı varsayimlara sahiptir. Ancak sınıflandırma için ek gereksinimler var!
DISKRIMINANT VARSAYIMLARI 1. ÇOK DEGISKENLI NORMALLIK • Mardia testi • Shapiro-Wilk (her DV) • Q-Q plot 2. KOVARYANS HOMOJENLIGI • Box's M testi • p > 0.001 kabul • Hassas test! 3. COKLU BAGINTISIZLIK • |r| < 0.80 • VIF < 5 • Tolerans > 0.2 4. YETERLI ORNEKLEM • n ≥ 20 × değişken • Her grupta ≥ 20 • n > değişken sayısı 💡 MANOVA vs DISKRIMINANT Varsayımlar aynı! Fark: Diskriminant sınıflandırma yapar, MANOVA sadece fark testi yapar.

📋 Varsayım Testleri Özeti

Varsayım Test Kabul Kriteri
Çok Değişkenli Normallik Mardia, Shapiro-Wilk p > 0.05
Kovaryans Homojenligi Box's M p > 0.001 (daha esnek)
Çoklu Bagintisizlik Korelasyon, VIF |r| < 0.80, VIF < 5
Örneklem Büyüklüğü n sayımı Grup başına ≥ 20

📊 Varsayım 1-2: Normallik ve Kovaryans Homojenligi

Parametrik Varsayımlar: Diskriminant fonksiyonlarinin geçerliliği için kritik öneme sahip.

📈 Çok Değişkenli Normallik

Her grup için:

• DV'ler birlikte normal dagilsin

Test: Mardia's test (SPSS'te yok)

Alternatif: Her DV için Shapiro-Wilk

📊 Kovaryans Homojenligi

Gruplar arası:

• Kovaryans matrisleri eşit

Test: Box's M

p > 0.001 › Varsayım sağlanır

📊 Box's M Testi Yorumlama

p = 0.001 IHLAL p < 0.001 VARSAYIM SAGLANIYOR p ≥ 0.001 Box's M hassas bir testtir - p > 0.001 kriteri kullanılır

📋 Normallik Kontrol Adımları

1. Her grup için ayrı ayrı Shapiro-Wilk testi uygula

2. Her DV için Q-Q plot ciz

3. Carpiklik ve basiklik değerlerini kontrol et (|değer| < 2 kabul edilebilir)

4. n > 30 ise Merkezi Limit Teoremi'ne guvenebilirsiniz

🏃 Spor Örneği: 3 Pozisyon Karşılaştırması

DV'ler: Sprint, Çeviklik, Dayanıklılık

Shapiro-Wilk (Sprint): Guard p=.12, Forward p=.08, Center p=.15 → ✓ Hepsi normal

Box's M: M = 28.4, F(12, 8456) = 2.24, p = .008 → ✓ p > 0.001 kabul!

📐 Varsayım 3-4: Çoklu Bagintisizlik ve Örneklem

Stabilite Varsayımları: Diskriminant katsayilarinin güvenilirliği için gerekli.

🔗 Çoklu Bagintisizlik

Problem: Yüksek korelasyonlu DV'ler

Katsayilar kararsiz olur

Kriter: |r| < 0.80

VIF: < 5 (ideal < 3)

👥 Yeterli Örneklem

Minimum: n ≥ 20 × DV sayısı

Her grupta ≥ 20

İdeal: Grup başına ≥ 50

Dengesiz gruplar › Prior olasılık ayarla

📊 VIF (Varyans Sisirme Faktörü) Yorumlama

1-3: İdeal 3-5: Kabul 5-10: Sorunlu >10: Ciddi Problem VIF = 1 / (1 - R²) › Degiskenin digerleriyle aciklanamayan varyansı VIF > 5 ise o değişkeni cikarmayi veya birlestirmeyi düşün

📋 Örneklem Büyüklüğü Kuralları

Kural Açıklama Örnek (5 DV, 3 grup)
n ≥ 20 × DV Genel minimum n ≥ 100
Grup başına ≥ DV + 1 Mutlak minimum Her grupta ≥ 6
Grup başına ≥ 20 Güvenilir sonuç için Toplam ≥ 60
⚠️ Dengesiz Gruplar

Problem: Guard n=50, Forward n=30, Center n=15

Risk: Model cogunluk grubuna yanli olabilir

Çözüm: SPSS'te Prior olasiliklari "All groups equal" olarak ayarla

veya en küçük grubun n'ine göre örnekleme yap

🔧 Varsayım Saglanmazsa Ne Yapmali?

Karar Ağacı: Her varsayım ihlali için sistematik çözüm yolu.
DISKRIMINANT ANALİZİ 1. NORMALLIK SAGLANIYOR MU? Shapiro-Wilk p > 0.05? Evet ✓ Hayır ✗ n > 30 ise devam et Degilse dönüşüm uygula 2. BOX'S M p > 0.001? Kovaryans homojenligi Evet ✓ Hayır ✗ Separate groups covariance kullan 3. VIF < 5? Çoklu bagintisizlik Evet ✓ Hayır ✗ Değişken çıkar ANALİZ HAZIR ✓ ALTERNATİF YÖNTEMLER • Lojistik Regresyon (daha esnek varsayımlar) • Random Forest (varsayımsız)

🔄 Robust Alternatifler

2 grup: Lojistik Regresyon

Normallik ihlali: Quadratic DA

Parametrik olmayan: k-NN

📊 Doğrulama

Görünür: Hit rate

Cross-val: Leave-one-out

Karşılaştır: Chance baseline

💡 Sınıflandırma Başarısı Nasıl Değerlendirilir?

Hit Rate: Doğru sınıflandırılan % (örn: %85)

Chance Baseline: Rastgele tahmin başarısı = 1/grup sayısı (3 grup › %33.3)

Kappa: Şansa göre düzeltilmiş başarı (κ > 0.60 iyi)

Not: Hit rate mutlaka chance baseline'ın üzerinde olmalı!

🤖 AI Scout: Sınıflandırma Aracı

İnteraktif Uygulama: Diskriminant fonksiyonları kullanılarak yeni bir adayin hangi spora daha yatkin olduğunu tahmin edelim.

📏 Sporcu Ölçümleri

180
60
45

🎯 Tahmin Edilen Branş

?
Olasılık: -
Verileri girin...

🛡️ Model Doğrulama: Cross-Validation

Modelin başarısı aynı veri seti üzerinde test edilirse sonuçlar "fazla iyimser" çıkabilir. Gerçek performans için Leave-one-out Cross-validation kullanılır: Her seferinde 1 kişi disarida bırakılır, model kalanlarla egitilir ve o kişi tahmin edilir.

⚽ Spor Senaryoları

Gerçek Hayat Uygulamaları - Varsayım Kontrolleri ile Birlikte

📊 SINIFLANDIRMA DOGRULUGU NEDİR?

Model kaç kişiyi doğru gruba yerlestirdi? Bunu anlamak için Confusion Matrix (Karisiklik Matrisi) kullanılır.

Basit Hesaplama: Doğru Tahmin Sayısı / Toplam Kişi Sayısı × 100

🏃 SINIFLANDIRMA ÖRNEĞİ 1: Atletizm Branş Tahmini

Senaryo: 90 atletizm sporcusunu 3 kategoriye ayirdik: Sprinter, Atici, Uzun mesafeci

Sonuç Tablosu:

Gerçek Grup Sprinter Tahmini Atici Tahmini Uzun Mesafe Tahmini Toplam
Sprinter 28 2 0 30
Atici 1 27 2 30
Uzun Mesafe 0 3 27 30

Hesaplama: (28 + 27 + 27) / 90 = 82/90 = %91.1 Doğru Sınıflandırma!

Chance Baseline: 1/3 = %33.3 › Modelimiz çok başarılı!

🏐 SINIFLANDIRMA ÖRNEĞİ 2: Voleybol Pozisyon Tahmini

Senaryo: 80 voleybolcuyu Pasör, Smasör, Libero olarak ayirdik.

Sonuçlar:

  • Pasorler: 25 kişiden 22'si doğru › %88
  • Smasorler: 35 kişiden 30'u doğru › %86
  • Liberolar: 20 kişiden 18'i doğru › %90

Genel Başarı: (22 + 30 + 18) / 80 = %87.5

Önemli Not: Libero grubu en iyi tahmin edildi çünkü fiziksel özellikleri (kısa boy, hızlı refleks) diğer pozisyonlardan çok farklı!

⚽ SINIFLANDIRMA ÖRNEĞİ 3: Futbol Kaleci vs Saha Oyuncusu

Senaryo: 60 futbolcuyu Kaleci ve Saha Oyuncusu olarak ayirdik.

Sonuçlar:

Gerçek Kaleci Tahmini Saha Tahmini
Kaleci (n=15) 14 1
Saha (n=45) 2 43

Hesaplama: (14 + 43) / 60 = %95 Doğru!

Neden Bu Kadar Yüksek? Kaleciler boy, el açıklığı ve refleks testlerinde saha oyuncularindan çok farklı!

🏀 Senaryo: Basketbol Pozisyon Tahmini

Gruplar: Guard (n=40), Forward (n=35), Center (n=25) › Toplam n=100

DV'ler: Boy, ağırlık, kol açıklığı, sıçrama, çeviklik (5 değişken)

Varsayım Test Sonuç Karar
Normallik (Boy) Shapiro-Wilk Guard p=.12, Fwd p=.08, Cnt p=.15 ✓ Saglaniyor
Kovaryans Box's M M=42.3, F=1.89, p=.004 ✓ p > 0.001
Çoklu Baginti VIF Tüm VIF < 3.5 ✓ Sorun yok
Örneklem n kontrolü En küçük grup n=25, toplam=100 ✓ Yeterli

Sonuç: 2 anlamlı fonksiyon

• Fonksiyon 1: Λ = .24, χ²(10) = 89.2, p < .001 › Boy, Agirlik

• Fonksiyon 2: Λ = .78, χ²(4) = 14.8, p = .005 › Çeviklik, Sıçrama

• Doğru sınıflandırma: %87.5 (Chance: %33.3)

📊 APA Raporlama

"Varsayım kontrolleri sonucunda çok değişkenli normallik (tüm Shapiro-Wilk p > .05) ve kovaryans matrisi homojenligi (Box's M = 42.3, p = .004 > .001) varsayimlarinin karsilandigi gorulmustur. Diskriminant analizi iki anlamlı kanonik fonksiyon üretmiştir. İlk fonksiyon (Λ = .24, χ²(10) = 89.2, p < .001) toplam varyansin %78'ini aciklamaktadir. Model, orijinal gruplarin %87.5'ini dogru siniflandirmistir (chance baseline = %33.3)."

🎯 Sınıf İçi Aktivite: Sporcu Sınıflandırma

Uygulama: Varsayımları kontrol edip diskriminant analizi planlayin.
📋 Senaryo: Futbol Mevki Tahmini

Amaç: Genç futbolcularda fiziksel ozelliklerden mevki tahmini

Gruplar: Kaleci (n=12), Defans (n=28), Ortasaha (n=35), Forvet (n=20)

Toplam: n = 95

DV'ler:

  • Boy (cm)
  • Kilo (kg)
  • Sprint 30m (sn)
  • Yo-Yo IR1 (m)
  • Dikey sıçrama (cm)
  • Çeviklik T-test (sn)

Bilinen sorunlar:

• Boy-Kilo korelasyonu r = 0.85

• Kaleci grubunda n = 12 (küçük)

❓ Sorular

1. Kaç tane diskriminant fonksiyonu beklenir? (max = grup - 1)

2. n = 12 olan Kaleci grubu için ne yapılabilir?

3. Boy-Kilo korelasyonu (r=0.85) sorun mu? Nasıl cozulur?

4. Chance baseline yüzde kaç olur?

✅ Hafta 26 Özet ve Quiz

Diskriminant Analizi - Grupları ayırma ve sınıflandırma

📋 Diskriminant Varsayım Kontrol Listesi

Varsayım Test Kabul
Normallik Shapiro-Wilk p > 0.05
Kovaryans Box's M p > 0.001
Çoklu Baginti VIF VIF < 5
Örneklem n sayımı Grup başına ≥ 20

Kanonik F.

max = g - 1

Yapı Matrisi

Değişken onemliligi

Hit Rate

> Chance baseline

🧠 Quiz

Soru 1: 4 gruplu analizde maksimum kaç fonksiyon?

Soru 2: Box's M p = 0.002 › Varsayım?

Soru 3: VIF = 7.2 › Ne yapmalı?

💡 Hatirla!

Diskriminant = MANOVA varsayimlari + Sınıflandırma

Hit rate MUTLAKA chance baseline'in üzerinde olmalı!

Cross-validation ile gerçek performansı kontrol et!

1 / 12