📊 TEMEL İSTATİSTİK DERSLERİ
Hafta 3: Ortalamayı Bulmak - "Takımın Boy Ortalaması Kaç?"
Ders Videosu
Konu anlatimini videodan takip ederek slaytlarla birlikte ilerleyebilirsin.
🎯 Merkezi Eğilim Ölçüsü: Aritmetik Ortalama
📚 Tanım ve Formül
Aritmetik Ortalama (Arithmetic Mean): Tüm sayıları topla, kaç tane sayı varsa ona böl.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
🔑 Bu Sembollerin Anlamı:
| \(\bar{x}\) | "X-bar" diye okunur = Ortalama (hesaplayacağımız sonuç) |
| \(\sum\) | "Sigma" = Topla! (tüm sayıları birbiriyle topla) |
| \(x_i\) | "X alt i" = Her bir veri değeri (1. kişinin boyu, 2. kişinin boyu...) |
| \(n\) | Toplam kaç kişi/veri var? (gözlem sayısı) |
| \(i=1\) ile \(n\) | 1'den n'e kadar = İlk kişiden son kişiye kadar hepsini topla |
📝 Örnek Hesaplama:
Veri: 5 kişinin boyları = 170, 175, 180, 185, 190 cm
1. Topla: 170 + 175 + 180 + 185 + 190 = 900
2. Böl: 900 ÷ 5 kişi = 180 cm
Sonuç: \(\bar{x} = 180\) cm
🤔 Peki Ortalama Ne İşe Yarar? Hangi Soruları Cevaplar?
✅ Karşılaştırma Yapmak
"Bizim takım mı daha uzun, rakip mi?" → Her iki takımın boy ortalamasına bak!
✅ Beklenti Oluşturmak
"Bu oyuncu maç başına kaç sayı atar?" → Geçmiş performansın ortalamasına bak!
✅ Normalden Sapmayı Görmek
"Bugün sporcu formda mı?" → Bugünkü performansı ortalamayla karşılaştır!
✅ Özet Bilgi Vermek
"Takımın genel durumu nasıl?" → Tek bir sayıyla ifade et: ortalama!
Kısaca: Ortalama, "Bu grup hakkında tek bir şey söyleyebilseydim ne söylerdim?" sorusunun cevabıdır.
❌ Problem: Gürültü ve Kaos
Voleybol takımındaki 12 oyuncunun hepsine "Boyunuz kaç?" diye sorsak...
"183! 175! 192! 188! 170! 195! 180! 185! 190! 172! 186! 184!"
Bu kadar sayı arasında boğuluruz, aklımızda hiçbiri kalmaz.
✅ Çözüm: Veri İndirgeme (Data Reduction)
Bunun yerine takım kaptanı öne çıkıp der ki:
"Bizim takımın boy ortalaması 183 cm'dir."
Tek sayı = Kolay anlaşılır, kolay karşılaştırılır.
💡 Günlük Hayattan Örnekler
"Bu araba 100 km'de 7 litre yakar."
"Takım maç başına 2 gol atıyor."
"Sporcunun dinlenik nabzı 52 bpm."
⚖️ Matematiksel Özellik: Denge Noktası
📐 Temel Özellik: Sapmaların Toplamı Sıfırdır
Aritmetik ortalamanın en önemli matematiksel özelliği: Her bir gözlem değerinin ortalamadan farkları (sapmalar) toplandığında daima sıfır elde edilir.
\[ \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0 \]
🔑 Bu Formülün Anlamı:
| \(x_i - \bar{x}\) | Sapma = Her sayının ortalamadan uzaklığı (farkı) |
| \(\sum (...) \) | Tüm sapmaları topla |
| \(= 0\) | Sonuç her zaman sıfır çıkar! |
📝 Örnek: Veriler = 10, 20, 30 → Ortalama = 20
(10 - 20) + (20 - 20) + (30 - 20)
= -10 + 0 + +10
= 0 ✓
Eksi değerler ile artı değerler birbirini götürür → Denge!
Sol Taraf (Negatif Sapmalar):
(10 - 30) + (20 - 30) = -40
Sağ Taraf (Pozitif Sapmalar):
(40 - 30) + (50 - 30) = +40
Sonuç: (-40) + (+40) = 0 → Sapmalar birbirini iptal eder. Sistem dengede!
🍲 İşin Tarifi: "Sihirli Kazan"
ADIM 1: Topla
Tüm sayıları (malzemeleri) büyük bir kazana at.
Toplam = 900 cm
ADIM 2: Paylaştır
Kazandakini kişi sayısına (kase sayısına) eşit olarak böl.
900 ÷ 5 Kişi
SONUÇ: Ortalama
Herkesin kasesinde ne kadar var?
180 cm
\[ \text{Ortalama} = \frac{\text{Kazan (Toplam)}}{\text{Kase Sayısı (Adet)}} \]
🔡 İstatistik Notasyonu ve Terminoloji
📚 Temel Kavram Ayrımı
Kitle (Population, N): Araştırma konusu olan tüm bireylerin oluşturduğu grup.
Örn: Türkiye'deki tüm profesyonel futbolcular
Örneklem (Sample, n): Kitleden seçilen ve ölçüm yapılan alt grup.
Örn: Rastgele seçilen 50 futbolcu
"X-Bar" = Örneklem Ortalaması
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
\(\bar{x}\) = Ortalama (sonuç)
\(\sum x_i\) = Tüm değerleri topla
\(n\) = Kaç veri var (küçük harf = örneklem)
⚠️ Dikkat: Her farklı örneklemde farklı sonuç verir!
"Mü" = Kitle (Gerçek) Ortalaması
\(\mu = \frac{\sum X_i}{N}\)
\(\mu\) = Yunan harfi "Mü" = Gerçek ortalama
\(\sum X_i\) = TÜM değerleri topla
\(N\) = Toplam kişi sayısı (BÜYÜK harf = kitle)
🔒 Problem: Herkesi ölçemeyiz, bu yüzden \(\bar{x}\) ile tahmin ederiz.
⚡ Kritik Ayrım: Parametre vs İstatistik
İstatistik (\(\bar{x}\)): Hesaplanabilir, değişken, tahmin edici.
Parametre (\(\mu\)): Sabit, bilinmez, hedef değer.
⚠️ Tuzak: Aynı Ortalama, Farklı Hikaye!
🏃 Oyuncu A: "İstikrarlı Ali"
Son 5 Maç: 14, 16, 15, 14, 16
Toplam: 75 puan
Ortalama: 15.0
Yorum: Her maç 15 civarı. Koç rahat edebilir! ✅
🎢 Oyuncu B: "Sürpriz Ahmet"
Son 5 Maç: 0, 30, 5, 25, 15
Toplam: 75 puan
Ortalama: 15.0
Yorum: Ya sıfır çekiyor ya 30 atıyor. RİSKLİ! ⚠️
🚨 SONUÇ
Ortalama aynı (15), ama performans çok farklı.
Sadece ortalamaya bakarak karar vermek tehlikelidir!
(Bu konuyu Hafta 5'te "Yayılım Ölçüleri" ile
derinleştireceğiz.)
⚽ Sporda Ortalama: 4 Farklı Senaryo
⚽ Senaryo 1: Gol Ortalaması
Forvet son 10 maçta: 0, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 2
Toplam: 10 gol → Ortalama: 1.0 gol/maç
Anlam: "Bu oyuncu her maçta 1 gol atmıyor, ama 10 maçın sonunda 10 gol garantiye yakın."
🏀 Senaryo 2: Takım Boy Ortalaması
Basketbol takımı boyları: 195, 200, 188, 205, 192 cm
Toplam: 980 cm → Ortalama: 196 cm
Anlam: "Bu takım fiziksel olarak uzun bir takım. Rakiple karşılaştırmak kolay."
🏃 Senaryo 3: Sprint Süresi
100m denemeleri: 10.2, 10.4, 10.1, 10.3, 10.5 saniye
Toplam: 51.5 sn → Ortalama: 10.30 sn
Anlam: "Bu atletin beklenen performansı 10.30 sn. Yarışta 10.1 koşarsa 'gününde'dir."
❤️ Senaryo 4: Dinlenik Nabız (RHR)
Sabah ölçümleri: 52, 50, 48, 53, 51 bpm
Toplam: 254 bpm → Ortalama: 50.8 bpm
Anlam: "Sporcu iyi antrenmanlı (düşük nabız). Bir gün 65 bpm çıkarsa: dikkat, yorgunluk/stres olabilir!"
⛔ Ortalamanın 3 Önemli Sınırı
Aynı Ortalama ≠ Aynı Performans
İki oyuncunun ortalaması eşit olabilir, ama biri tutarlı biri aşırı dalgalı oynuyor olabilir. (→ Slide 5: Ali ve Ahmet örneği)
✅ Çözüm: Ortalamayı her zaman yayılım ölçüsü (standart sapma) ile birlikte değerlendir. (Hafta 5)
Tek Uç Değer Tüm Ortalamayı Bozar
4 antrenörün maaşı 5.000 TL iken Ronaldo gelince ortalama 20 milyon oldu. Ama antrenörler hâlâ 5.000 TL alıyor. (→ Slide 8: Aykırı değerler)
✅ Çözüm: Uç değer şüphesinde medyan tercih et. (Hafta 4)
Az Veriyle Hesaplanan Ortalama Güvenilmez
Penaltıcı A: 10 atışta %80 gol. Penaltıcı B: 100 atışta %75 gol. B daha güvenilirdir, çünkü daha fazla veri var. (→ Slide 12: Vaka 4)
✅ Çözüm: Örneklem ne kadar büyük olursa, ortalama o kadar güvenilir olur. Veri miktarına dikkat et!
Altın Kural: Ortalama tek başına karar verme aracı değil, başlangıç sorusu sorduran bir araçtır.
🌑 Aykırı Değerler ve Ortalamanın Hassasiyeti
📚 Tanım: Aykırı Değer (Outlier)
Aykırı Değer: Veri setindeki diğer gözlemlerden aşırı derecede farklı olan, beklenmeyen veya uç noktalarda yer alan gözlem değeridir.
Özellik: Aritmetik ortalama, aykırı değerlere karşı hassas (sensitive) ve dirençsiz (non-robust) bir ölçüttür.
4 Yardımcı Antrenör
Maaşları: 5.000 TL
RONALDO
Maaşı: 100.000.000 TL
YENİ ORTALAMA
Antrenörler hala 5.000 TL alıyor!
❌ Aritmetik Ortalama
Problem: Tek bir aykırı değer tüm sonucu çarpıtır.
Kullanım: Aykırı değer yoksa veya kabul edilebilir düzeydeyse.
✅ Medyan (Ortanca)
Çözüm: Aykırı değerlere dirençli (robust) bir merkezi eğilim ölçüsü.
Kullanım: Aykırı değer varsa tercih edilir. (Hafta 4)
⚖️ Ağırlıklı Ortalama: Her Şey Eşit Değil!
📚 Tanım: Ağırlıklı Ortalama (Weighted Mean)
Ağırlıklı Ortalama: Her değerin sonuca katkısının farklı olduğu durumlarda kullanılır. Bazı değerler daha "önemli" veya "ağır" sayılır.
\[ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]
\(w_i\) = Her değerin ağırlığı (önemi) | \(x_i\) = Değerler | Formül: (Ağırlık × Değer) toplamı ÷ Ağırlıklar toplamı
📚 Örnek: Ders Ortalaması
| Ders | Kredi (w) | Not (x) | w × x |
|---|---|---|---|
| Anatomi | 4 | 80 | 320 |
| Fizyoloji | 4 | 70 | 280 |
| Seçmeli | 2 | 90 | 180 |
Ağırlıklı Ort. = (320+280+180) ÷ (4+4+2) = 78
Basit ortalama olsaydı: (80+70+90)÷3 = 80 olurdu!
🏋️ Örnek: Antrenman Yükü
| Antrenman | Süre (dk) | Zorluk | Yük |
|---|---|---|---|
| Kuvvet | 60 | 8 | 480 |
| Koşu | 45 | 6 | 270 |
| Esneme | 20 | 3 | 60 |
Ağırlıklı Zorluk = 810 ÷ 125 = 6.5
Uzun ve zor antrenmanlar sonucu daha çok etkiler!
💡 Sporda Ağırlıklı Ortalama Kullanımları
sRPE
Süre
× Zorluk Algısı
PER
Oyun
süresiyle ağırlıklı
ACWR
Akut:Kronik Yük Oranı
📈 Hareketli Ortalama: Form Takibinin Sırrı
📚 Tanım: Hareketli Ortalama (Moving/Rolling Average)
Hareketli Ortalama: Belirli bir pencere boyutu (örn: son 7 gün) içindeki değerlerin ortalamasıdır. Her yeni veri geldiğinde pencere kayar ve ortalama güncellenir.
Kullanım: Gürültüyü filtreler, trendi görünür kılar. Sporda "form eğrisi" çizmek için idealdir.
🏃 Örnek: Sporcunun Günlük Koşu Mesafesi (km)
| Gün | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mesafe | 5 | 8 | 6 | 0 | 10 | 7 | 6 | 9 | 8 | 10 |
| 7 Günlük Ort. | - | - | - | - | - | - | 6.0 | 6.6 | 6.6 | 7.1 |
7. Gün Hesabı: (5+8+6+0+10+7+6) ÷ 7 = 6.0 km
8. Gün Hesabı: (8+6+0+10+7+6+9) ÷ 7 = 6.6 km → Pencere
kaydı!
✅ Hareketli Ortalama Avantajları
- Günlük dalgalanmaları yumuşatır
- Gerçek trendi (artış/azalış) gösterir
- Form değişikliklerini erken tespit eder
⚠️ Dikkat Edilecekler
- Pencere boyutu önemli (7, 14, 28 gün)
- İlk n-1 gün için hesaplanamaz
- Ani değişikliklere geç tepki verir
💡 Sporda Yaygın Kullanımlar
7 Gün
Haftalık
yük
28 Gün
Kronik yük
5 Maç
Son form
HRV
Trend takibi
🏆 Branşlara Göre Ortalama Kullanımı
YÜZME
100m Serbest (Son 5 Deneme):
52.3, 52.1, 52.5, 52.0, 52.6 sn
Ort: 52.30 sn
Yorum: "Yarışmada 52.0 yaparsa gününde; 52.5 çıkarsa dikkat!"
ATLETİZM
Uzun Atlama (5 Müsabaka):
7.85, 7.92, 7.78, 7.95, 7.80 m
Ort: 7.86 m
Yorum: "En iyi 7.95, ortalama 7.86 → tutarlı tutarlı performans gösteriyor!"
VOLEYBOL
Servis Ace (set başına):
Son 10 set: 2,1,3,0,2,1,2,3,1,0
Ort: 1.5 ace/set
Yorum: "3 setlik maçta 4-5 ace beklenir → antrenman hedefi belirlenir."
HALTERCİLİK
Clean & Jerk (Son 4 Hafta):
Max: 140, 142, 138, 145 kg
Ort: 141.25 kg
Yorum: "Müsabakada 142-143 arası hedef realistik."
GÜREŞ
Turnuvada Kazanma Süresi:
Son 6 maç: 3.2, 2.8, 4.1, 3.5, 2.9, 3.7 dk
Ort: 3.37 dk
Yorum: "~3.5 dk'da galip gelen güçlü bir rakip olduğu söylenebilir."
BİSİKLET
20 km Zaman Denemesi:
Haftalık güç çıktısı: 280, 295, 270, 300, 285 watt
Ort: 286 watt
Yorum: "Antrenman yükü planlanırken 286 watt baz alınır."
🔍 Mini Vaka Çalışmaları: Ortalama Bizi Yanıltabilir mi?
⚡ Vaka 1: İki Sprinterin Tepki Süresi
Sprinter A: 0.14, 0.15, 0.14, 0.15, 0.14 sn → Ort: 0.144 sn
Sprinter B: 0.10, 0.19, 0.13, 0.18, 0.12 sn → Ort: 0.144 sn
🤔 Soru: İki sporcu tepki süresi açısından aynı mı?
Cevap: Hayır! A tutarlı, B ise bazen çok erken bazen çok geç başlıyor. Yayılım (varyans) farklı!
🏥 Vaka 2: Sakatlık Riski
Sporcu X: Haftalık antrenman yükü ortalaması = 600 AU
Detay: Hafta 1: 200, Hafta 2: 300, Hafta 3: 400, Hafta 4: 1500 AU!
🤔 Soru: 600 AU ortalaması güvenli mi?
Cevap: 4. haftadaki ani sıçrama sakatlık riski! Ortalama bunu gizliyor.
💰 Vaka 3: Maaş Adaleti
Takım Maaş Ortalaması: 500.000 TL/ay
Detay: 1 yıldız: 4.000.000 TL, 8 oyuncu: 62.500 TL
🤔 Soru: "Ort. maaş 500K" gerçeği yansıtıyor mu?
Cevap: 8 oyuncunun %87.5'i ortalamanın çok altında! Medyan daha iyi gösterge.
🎯 Vaka 4: Atış Başarısı
Penaltıcı A: 10 penaltıdan 8'i gol → %80
Penaltıcı B: 100 penaltıdan 75'i gol → %75
🤔 Soru: A mı B mi daha iyi?
Cevap: B! Daha fazla veri = daha güvenilir ortalama. A'nın %80'i şans olabilir.
Sonuç: Ortalama tek başına hikayenin tamamını anlatmaz! Yayılım, örneklem büyüklüğü ve bağlam da önemli.
🎮 Sınıf İçi Aktivite: "Ortalama Oyunu"
🖐️ AKTİVİTE 1: Boy Ortalaması
Adımlar:
- Her öğrenci boyunu söylesin
- Tüm boyları tahtaya yazın
- Toplayın → Kişi sayısına bölün
- Sınıf ortalamasını bulun!
Bonus: En uzun ve en kısa kişiyi çıkarınca ortalama ne olur?
🎲 AKTİVİTE 2: Zar Deneyi
Adımlar:
- Her öğrenci zarı 5 kez atsın
- Kendi ortalamasını hesaplasın
- Sınıfın ortalamasını bulun
- 3.5'e ne kadar yakın?
Teori: Zarın teorik ortalaması = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
🎯 AKTİVİTE 3: Tahmin Oyunu
Senaryo:
"Bir futbol takımının son 4 maçta attığı goller: 2, 1, 0, 3"
Sorular:
- Gol ortalaması kaç?
- 5. maçta kaç gol beklersin?
Cevap: Ortalama = 1.5 → 5. maçta 1-2 gol beklenir!
💪 AKTİVİTE 4: Kendi Veriniz
Görev:
Son 7 günde günde kaç bardak su içtiniz?
- Tahmin edin ve yazın
- Ortalamanızı hesaplayın
- 8 bardak/gün hedefine göre neredesiniz?
Sağlık Hedefi: Günlük ortalama ≥ 8 bardak!
🍳 Laboratuvar: Sayıları Pişiriyoruz
0
0
🏁 Hafta 3 Özet: Aritmetik Ortalama
📋 Ezber Kartı: Formüller ve Anlamları
| Formül | Nasıl Okunur? | Ne Demek? |
|---|---|---|
| \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) | "X-bar eşittir, sigma x-i, bölü n" | Topla ve böl! Tüm sayıları topla, kaç tane varsa ona böl. |
| \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\) | "Sigma, x-i eksi x-bar, eşittir sıfır" | Denge! Ortalamadan uzaklıklar toplamı her zaman sıfırdır. |
| \(\bar{x}\) vs \(\mu\) | "X-bar" vs "Mü" | Örneklem vs Kitle. Küçük grup ortalaması vs Herkesin ortalaması. |
| \(\sum\) | "Sigma" | TOPLA! Bu sembolü gördüğünde: tüm sayıları birbiriyle topla. |
1. MERKEZİ EĞİLİM
Veriyi tek sayıyla özetler (Veri İndirgeme).
2. DENGE NOKTASI
Sapmaların toplamı sıfır.
3. YAYILIM ÖNEMLİ
Aynı ortalama, farklı dağılım olabilir.
4. HASSAS (NON-ROBUST)
Aykırı değerlere duyarlı.