Ali üç günde 10, 10, 10 şınav yaparsa yayılım yoktur. 6, 10, 14 yaparsa ortalama yine 10'dur ama sayılar dağınıktır. Yayılım, bu dağınıklığı tek sayıyla söyleme işidir.
Ayşe 100 m'yi bir yarışta 12,10, ötekinde 12,18 koştu. Uyku, rüzgâr, ısınma ve şans yüzünden oluşan bu 0,08 saniyelik fark antrenmandan gelmez.
Antrenman ya da sakatlık gibi bir nedenle derecenin kalıcı olarak değişmesi. Gürültünün üstünde kalan farktır.
Veli silkmede 150, 148, 152 kg kaldırdı: sayı yaklaşık 2 kg oynuyor. Sonraki denemesi 151 gelirse bu gelişim değildir; 158 gelirse dalgalanmanın dışındadır.
Yeni takviyeden sonra 100 m derecesi 10,20'den 10,15 saniyeye indi.
Sporcunun dereceleri hiçbir şey değişmeden de yarıştan yarışa oynar. Fark, bu oynamanın içinde mi dışında mı?
Veri ne kadar dağınık ve bunu tek bir sayıyla nasıl söyleriz?
Düşük dalgalanma: performansı ortalama güç belirliyor.
Tek patlayıcı çaba: tekniğin payı büyük, dalgalanma daha fazla.
Sörf gibi öznel puanlarda en büyük dalgalanma.
ÇA = Ç3 − Ç1: ortadaki %50'nin genişliği.
Ortalama denge noktasıdır; eksi ve artı sapmalar birbirini götürür.
Yayılım: Ali istikrarlı, Veli dağınık.
x, tek tek her ölçümdür: 8, 10, 12. n, kaç ölçüm olduğudur: burada 3.
Hepsini topla, sayıya böl: (8 + 10 + 12) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10. Ali'nin tipik günü 10 şınav.
8 − 10 = −2, 10 − 10 = 0, 12 − 10 = +2. Eksi işareti ortalamanın altını, artı üstünü gösterir. Üçünün toplamı 0'dır.
Σ (sigma) "hepsini topla" demektir. Kare: sayıyı kendisiyle çarpmak, (−2)² = 4. Karekök bunun tersidir: √9 = 3. Ali'de Σ(x − x̄)² = 4 + 0 + 4 = 8.
En büyük − en küçük. En basit, uçlara en hassas ölçü.
Sapmaların karelerinin ortalaması (n − 1'e bölünür). Birimi karedir: kg².
Varyansın karekökü. Tipik uzaklık; birimi verinin birimidir.
s ÷ ortalama × 100. Birimsiz yüzde: kg ile saniye karşılaştırılabilir.
İki değer yetmez; neden kare? (Bölüm 1–2)
Karvonen yönteminde kullanılan kalp atım rezervi: en yüksek (195) − dinlenik (55) = 140 atım/dk. Bireyin nabız aralığını tek sayıyla verir.
A: 6, 8, 8, 8, 8, 8, 10 · B: 6, 6, 6, 8, 10, 10, 10. İkisinin de ranjı 10 − 6 = 4; ama A'nın atışlarının çoğu 8'de, B'ninkiler uçlarda. Ranj bunu göremez.
Uç değerlere dayanıklı yayılım ölçüsü çeyrekler açıklığıdır (ÇA = Ç3 − Ç1). Çarpık veride medyanla birlikte ÇA, simetrik veride ortalamayla birlikte standart sapma raporlanır.
En büyük eksi en küçük. Okçu A (6, 8, 8, 8, 8, 8, 10) ile okçu B (6, 6, 6, 8, 10, 10, 10) aynı ranja sahiptir: 10 − 6 = 4. Ama B daha dağınıktır; ranj bunu göremez.
Her değerin ortalamaya uzaklığı. Sapmaları olduğu gibi toplarsak hep 0 çıkar; eksiler artıları götürür. Bu yüzden karesini alırız.
Sıçramalar 40, 45, 50, 55, 60 cm: kareler 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250. 250 ÷ 4 = 62,5 cm². Birimi karedir, o yüzden sonraki adımda karekök alınır.
Ranj (range): en büyük ile en küçük değerin farkı. Yayılım (spread): verinin ortalamanın çevresinde ne kadar dağıldığı. Sapma (deviation): bir değerin ortalamadan uzaklığı. Varyans (variance): sapma karelerinin ortalaması (n − 1'e bölünür). Uç değer (outlier): diğerlerinden çok uzakta kalan değer.
Tarif ve n − 1. (Bölüm 2 devamı)
| Maç | Sayı (x) | Sapma (x − x̄) | Karesi (x − x̄)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 18 | −2 | 4 |
| 2 | 22 | +2 | 4 |
| 3 | 16 | −4 | 16 |
| 4 | 24 | +4 | 16 |
| 5 | 20 | 0 | 0 |
| Toplam | 100 → x̄ = 20 | 0 | 40 |
1) Ortalama: 100 ÷ 5 = 20 · 2) Sapmaları bul · 3) Karelerini al ve topla: 40 · 4) n − 1'e böl: s² = 40 ÷ 4 = 10 (sayı²) · 5) Karekök: s = √10 ≈ 3,16 sayı. Fatma'nın maçları ortalamadan tipik olarak 3 sayı kadar sapıyor. Aynı beş sayıyı izStat'ta açın ↗
Varyans = 40 ÷ (5 − 1) = 10; s = √10 ≈ 3,16. n'ye bölünseydi √8 ≈ 2,83 olurdu: küçük örneklemde yayılımı olduğundan az gösterir.
| Maç | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Sayı | 18 | 22 | 16 | 24 | 20 |
| izStat satırı | Elle tarif | izStat ekranı |
|---|---|---|
| Ortalama | 100 ÷ 5 = 20 | 20.0000 |
| Varyans | 40 ÷ (5 − 1) = 10 | 10.0000 |
| Std. Sapma | √10 ≈ 3,16 sayı | 3.1623 |
| Ranj | 24 − 16 = 8 | 8.0000 |
| CV (%) = DK | 3,16 ÷ 20 × 100 | 15.8114 |
| Std. Hata | 3,16 ÷ √5 (ortalamanın kesinliği, Kısım 03) | 1.4142 |
İki yol aynı sayıyı veriyor. izStat'ın varyansı 10, 8 değil: yazılım da n − 1'e bölüyor, yoklamadaki 2,83 izStat'ta çıkmaz. s = 3,16 sayı: Fatma'nın 17 ya da 23 sayılık maçı olağandır (ortalama ± 1 s ≈ 16,8–23,2). DK %15,8, izStat'ın yorum ölçütünde orta düzey oynama (%15 altı düşük, %15–30 orta): tek bir 17 sayılık maçla "form düştü" denmez.APA (dergide sonuç yazma biçimi; M = ortalama, SS = standart sapma): Fatma'nın maç başı sayısı M = 20,00, SS = 3,16 (n = 5 maç).
Fatma_Sayi · 5 maç · Betimleyici İstatistikler
Aç →Evren ölçmek istediğiniz bütün gruptur (gerçek ortalaması μ, gerçek varyansı σ²). Örneklem ölçtüğünüz parçadır (x̄ ve s²). Yunan harfi evreni, Latin harfi örneklemi gösterir.
Evrende yarı yarıya 0 ve 10 olsun. μ = 5, sapma kareleri 25 ve 25, gerçek varyans σ² = 25. Her seferinde iki değer çekiyoruz (n = 2).
(0, 0): x̄ = 0, toplam 0. (10, 10): x̄ = 10, toplam 0. (0, 10): x̄ = 5, toplam 25 + 25 = 50. (10, 0): toplam 50. Dört çekilişin toplamları: 0, 0, 50, 50.
n = 2'ye bölersek 0, 0, 25, 25: ortalaması 12,5, yani gerçek 25'in yarısı. n − 1 = 1'e bölersek 0, 0, 50, 50: ortalaması tam 25. Doğruyu bulan bölen n − 1'dir.
n'ye bölersek 40 ÷ 5 = 8; n − 1'e bölersek 40 ÷ 4 = 10.
Ortalama 20 bilinince 5 sayıdan 4'ünü seçtiğinizde sonuncusu zorunlu olur. Serbestçe değişebilen değer sayısı n − 1'dir.
n = 5'te fark %25; n = 100'de yaklaşık %1. Yazılımlarda STDEV.S (Excel'in standart sapma işlevi; n − 1) örneklem, STDEV.P (n) evren içindir.
Fatma: sapmalar tablosu, Σ(x − x̄)² = 40, s = 3,16, DK = %15,8.
"Veli'nin silkmeleri": s = 1,58 kg ama DK yalnız %1,05. Hangisi daha tutarlı?
"6 CMJ" (aktif sıçrama: çömelip hemen sıçrama): kendi tipik hatanızın ilk tahmini. SH (standart hata, Kısım 03) neden SS'den küçük?
Bir değeri çok büyütün: kareler tablosunda ne oldu?
Ortalamayı bul, sapmaları bul, karelerini topla, n − 1'e böl, karekök al. Fatma'nın 18, 22, 16, 24, 20 sayıları: ortalama 20, kareler toplamı 40, varyans 10, s ≈ 3,16 sayı.
Varyans "sayı²" gibi anlamsız bir birimde çıkar. Karekökü alınca yine "sayı" olur: Fatma tipik olarak ortalamanın 3 sayı altında ya da üstünde kalıyor.
Aynı veri: 40 ÷ 5 = 8 ama 40 ÷ 4 = 10. Küçük örneklem evrenin dağınıklığını dar gördüğü için n − 1'e böleriz. Bu yüzden Excel'de örneklem için STDEV.S kullanılır.
Standart sapma (standard deviation): varyansın karekökü; verinin ortalamadan tipik uzaklığı. Serbestlik derecesi (degrees of freedom): ortalama bilindikten sonra serbestçe değişebilen değer sayısı, yani n − 1. Bessel düzeltmesi: n yerine n − 1'e bölmek. Tarafsız (unbiased): ortalamada gerçek değeri bulan hesap.
Karşılaştırma, kesinlik ve sahaya dönüş.
| Veri | Ortalama | s | DK |
|---|---|---|---|
| 🏋️ Veli'nin 5 silkme denemesi: 150, 148, 152, 149, 151 kg | 150 kg | 1,58 kg | %1,1 |
| 🏀 Beş sporcunun dikey sıçraması: 40, 45, 50, 55, 60 cm | 50 cm | 7,91 cm | %15,8 |
| 🎯 Okçu B: 10, 10, 10, 6, 6, 6, 10, 10, 6, 6 | 8 puan | 2,11 puan | %26,4 |
Veli'nin denemeleri, grubun sıçramalarından çok daha tutarlı. Hopkins'e (2000) göre bir ölçümün tekrarlar arasındaki "tipik hatası" (aynı kişinin tekrarlı ölçümlerinin standart sapması) çoğu zaman en iyi DK olarak ifade edilir. (Öğretim amaçlı sayılar.) Okçu B'nin buradaki 10 atışı, ranj slaytındaki 7 atışlık seriden (s = 2,00, DK %25,0) ayrı, aynı okçunun başka bir antrenmandaki serisidir: iki seride de ortalama 8, DK %25 civarı. Hafta 3'te maç sayıları 0 ile 30 arasında savrulan Veli, silkmede çok tutarlı: tutarlılık kişinin değil, ölçülen işin özelliğidir.
| izStat sütunu | Değerler | n |
|---|---|---|
| Veli_Silkme_kg | 150, 148, 152, 149, 151 | 5 |
| Sicrama_cm | 40, 45, 50, 55, 60 | 5 |
| OkcuB_Puan | 10, 10, 10, 6, 6, 6, 10, 10, 6, 6 | 10 |
| izStat satırı | Silkme | Sıçrama | Okçu B |
|---|---|---|---|
| Ortalama | 150.0000 | 50.0000 | 8.0000 |
| Std. Sapma | 1.5811 | 7.9057 | 2.1082 |
| Ranj | 4.0000 | 20.0000 | 4.0000 |
| CV (%) | 1.0541 | 15.8114 | 26.3523 |
Std. Sapma satırında en büyük sayı sıçramada (7,91), ama o santimetre, silkmeninki kilogram: doğrudan kıyaslanmaz. CV satırı birimi siler. Veli ortalamasının yalnız %1,05'i kadar oynuyor (çok tutarlı), sıçrama grubu %15,8 (orta), Okçu B %26,4 (yüksek; izStat'ın %15–30 ölçütünde orta bandın üst ucu, %30 sınırına yakın). Silkme ile Okçu B'nin ranjı aynı (4), DK'ları 25 kat farklı. Antrenöre: Veli'nin silkmesinde 3 kg'lık artış, tipik oynamasının (1,58 kg) neredeyse iki katıdır, izlemeye değer; Okçu B'de tek seride 1 puanlık artış gürültüdür.APA: silkme M = 150,00 kg, SS = 1,58, DK = %1,1; sıçrama M = 50,00 cm, SS = 7,91, DK = %15,8; Okçu B M = 8,00 puan, SS = 2,11, DK = %26,4.
Üç sütun · Betimleyici İstatistikler · CV (%) satırı
Aç →"Sporcular birbirinden ne kadar farklı?" sorusunun cevabı standart sapmadır (s). "Bulduğum ortalama gerçeğe ne kadar yakın?" sorusunun cevabı standart hatadır (SH).
s = 6 cm olsun. n = 4: 6 ÷ 2 = 3 cm. n = 9: 6 ÷ 3 = 2 cm. n = 36: 6 ÷ 6 = 1 cm. Kişi sayısı 4 katına çıkınca SH yarıya iner.
Ortalama ± yaklaşık 2 SH (tam değer 1,96). Ortalama 45, SH 1,9 ise 45 ± 3,7: aralık yaklaşık 41,3 ile 48,7 cm.
Aynı yöntemle çok sayıda örneklem alıp her birinden böyle aralık çizsek, aralıkların yaklaşık yüzde 95'i gerçek ortalamayı içerir.
10 sporcunun sıçraması: ortalama 45 cm, s = 6 cm. Kişi sayısı artsa da s aşağı yukarı aynı kalır.
SH = 6 ÷ √10 ≈ 1,9 cm. Yaklaşık %95 güven aralığı: 45 ± 1,96 × 1,9 ≈ 41,3–48,7 cm. n arttıkça SH küçülür.
Grafiklerde SH, SS'den küçük olduğu için veriyi olduğundan tutarlı gösterir. Bireylerin dağılımını anlatırken SS, ortalamanın kesinliğini anlatırken SH ya da güven aralığı kullanılır; hangisi olduğu mutlaka yazılır. Güven aralığını Hafta 13–14'te ayrıntılandıracağız.
SS bireylerin farkını, SH ortalamanın ne kadar kesin tahmin edildiğini söyler (SH = s ÷ √n).
10,20 s × %0,8 ≈ 0,082 s
0,4–0,7 × 0,082 ≈ 0,033–0,057 s
10,20 → 10,15 s: 0,05 s
Değerli olabilecek büyüklükte, ama tek yarış doğal dalgalanmanın (0,082 s) içinde kalıyor: tekrar ölçmek gerekir
| Yarış | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 m (s) | 10,29 | 10,11 | 10,21 | 10,31 | 10,13 | 10,19 | 10,26 | 10,10 |
Önceki slaytlardaki %0,8 varsayımı bu veriden çıkıyor: s = 0,082 s, DK = %0,80 (Malcata ve Hopkins'in sprint aralığının ortası; daha kesin söylenirse %0,6–1,4 aralığının alt yarısı: elit sprint için olağan bir gürültü). Sporcu hiçbir şey değiştirmeden 8 yarışın 3'ünde (yeşil) 10,15 ya da daha iyi koştu: takviyeden sonraki tek 10,15 kanıt değildir.APA: sprinterin sezon dereceleri M = 10,20 s, SS = 0,082 s, DK = %0,80 (n = 8 yarış).
| izStat satırı | Ekran | Anlamı |
|---|---|---|
| Ortalama | 10.2000 | sezonun tipik derecesi 10,20 s |
| Std. Sapma | 0.0819 | yarıştan yarışa tipik oynama ≈ 0,082 s |
| CV (%) | 0.8033 | %0,80: sprint aralığında (%0,6–1,4) |
| Ranj | 0.2100 | en iyi 10,10, en kötü 10,31 s |
Sprinter_100m_s · 8 yarış · Betimleyici İstatistikler
Aç →izStat Std. Sapma: s = 0,082 s
0,4 × 0,0819 = 0,033 s
0,7 × 0,0819 = 0,057 s
10,20 → 10,15 s: 0,05 s
0,05 s, 0,033–0,057 s aralığında: madalya sıralamasını değiştirebilecek büyüklükte bir fark.
0,05 s, tek yarışın tipik oynamasından (0,082 s) küçük. Sezonun 8 yarışından 3'ü takviyesiz de 10,15 ya da daha iyiydi.
5 yarışın ortalamasında oynama SH = 0,082 ÷ √5 ≈ 0,037 s'ye iner: tek yarışın 0,082 s'sinin yarısından da dar.
0,05 s madalyayı değiştirebilecek büyüklükte, ama sporcunun takviyesiz oynamasının (0,082 s) içinde: fark değerli olabilir, kanıt henüz yok. Antrenöre: takviye kararını tek yarışla değil, aynı koşuldaki 5 yarışın ortalamasıyla verin. 8 yarışı izStat'ta açın, Std. Sapma 0.0819'u kendiniz görün ↗
s ÷ ortalama × 100. Veli'nin silkmesi %1,1, beş sporcunun sıçraması %15,8: kilogram ile santimetre yan yana konabildi. Küçük DK, daha tutarlı demektir.
10 sporcuda s = 6 cm: kişiler arası fark. SH = 6 ÷ √10 ≈ 1,9 cm: ortalamanın kesinliği. Kişi arttıkça SH küçülür, s aşağı yukarı aynı kalır.
Sprinterin dalgalanması yaklaşık 0,082 s; gözlenen fark 0,05 s. Fark değerli olabilecek büyüklükte ama tek yarış dalgalanmanın içinde kalıyor: tekrar ölçmek gerekir.
Değişim katsayısı (coefficient of variation, DK): standart sapmanın ortalamaya oranı, yüzde olarak. Standart hata (standard error, SH): ortalamanın örneklemden örnekleme ne kadar oynadığı. Tipik hata (typical error): aynı kişinin tekrar ölçümlerindeki standart sapma. Güven aralığı (confidence interval): ortalamanın çevresine çekilen, yönteme %95 güven veren aralık.
Mitler, Performans Merkezi, görev ve tartışma.
Önce sporcunun doğal dalgalanması bilinmelidir. Dalgalanma 0,08 s ise tek bir 0,05'lik fark tesadüf olabilir.
Küçük s tutarlılık demektir, yüksek performans değil. Her maç 5 sayı atan oyuncunun s'si de küçüktür.
Büyük örneklemde öyle; 5 sporcuda fark %25'tir. Spor bilimlerindeki küçük gruplarda önemlidir.
DK birimsiz olduğu için silkme (kg) ile sıçramayı (cm) aynı ölçekte karşılaştırır.
Doğal dalgalanma kaç saniye? (10,20 × %0,8)
Değerli en küçük fark ne olmalı? (Hopkins ve ark.: 0,4–0,7 × dalgalanma)
0,05 s'lik gelişim bu eşiği geçiyor mu?
Aynı hesabı halter ya da cimnastik için yapın. Halter verisi: koparma 120 kg, DK %2,0 (öğretim amaçlı; Malcata ve Hopkins'te halter %1,4–3,3).
| Ölçüt | 1 · Gelişiyor | 2 · Yetkin |
|---|---|---|
| Ölçüm | Sıçramalar var, koşullar yazılmamış. | Isınma, aralık, yöntem yazılmış; ilk deneme ayrılmış. |
| Tarif tablosu | s doğru, tablo eksik. | Sapmalar, kareler, toplamlar ve n − 1 adım adım. |
| DK ve karşılaştırma | DK hesaplanmış, yorum yok. | DK yorumlanmış; n ile n − 1 farkı gösterilmiş. |
| Gerçek gelişim eşiği | Eşik yazılmış, gerekçe yok. | Eşik tipik hatadan hesaplanmış, sınırlılığı tartışılmış. |
Arkadaşınızın görevine bir güçlü yön ve bir somut geliştirme önerisi yazın. Puan, önerinin gerekçesini göstermek içindir.
İki oyuncunun farkı ne? Yüksek s, bu durumda risk mi fırsat mı?
Önde olsaydınız, geride olsaydınız karar değişir miydi?
Ortalama ile yayılımı birlikte kullanan bir oyuncu seçme kuralı yazın.
"İkisinin ortalaması aynı, fark etmez."
Yayılım ve maç bağlamına dayanan iki cümle.
1. Farklı birimdeki iki ölçümün tutarlılığını karşılaştırmak için hangisi kullanılır?
DK = s ÷ x̄ × 100: birimden bağımsız.
2. Malcata ve Hopkins (2014): hangi sporlarda yarıştan yarışa dalgalanma en küçük?
%0,6–1,4; iskelet ve sürat pateninde daha da düşük.