Cismin çıkış noktasından yere değdiği yere kadar yatayda aldığı yol.
Çıkış hızı v, açı θ ise yatay pay v · cos θ, düşey pay v · sin θ’dır. 13 m/s ve 40°: yatay ≈ 9,96 m/s, düşey ≈ 8,36 m/s.
1) Yükselme süresi = düşey hız ÷ g = 8,36 ÷ 9,81 ≈ 0,85 s. 2) Toplam süre = 2 × 0,85 ≈ 1,70 s. 3) Menzil = 9,96 × 1,70 ≈ 16,97 m.
Bu tarif hava direncini yok sayar. Yerden atış için 45° en uzun menzili verir; yüksekten çıkış menzile ek yol katar.
Aynı yükseklikten çıkıp aynı yüksekliğe inen, hızı açıdan bağımsız bir cisim için en uzun menzil 45°'dedir.
Gülle omuz hizasından çıkar ve sporcu yüksek açıda o kadar hızlı atamaz. İki varsayım da bozulur.
Bir modeli sahaya taşırken hangi varsayımları sorgulamalıyız?
Radyan başına ≈ 1,7 m/s; dersteki öğretim varsayımının gerçek karşılığı. m/s/° okunuşu: açı her 1 derece büyüdüğünde çıkış hızı 0,03 m/s düşer; 10 derecede 0,3 m/s.
Daha yüksekten bırakmak da hıza mal oluyor. m/s/m okunuşu: çıkış noktası her 1 m yükseldiğinde hız 0,8 m/s düşer; 10 cm'de 0,08 m/s.
Bu kısıtlar bilinirse her sporcunun kendi en iyi açısı hesaplanabilir. Linthorne'un (2001) beş atıcısında hesaplanan en iyi açı, her sporcunun kendiliğinden tercih ettiği açıya yakın çıktı.
Eğim kuvvetine (m · g · sin θ); düzde ise havaya.
Adım boyunca net dikey impuls sıfırdır: F · ttemas = VA · (ttemas + tuçuş).
9 × cos 20° ≈ 8,46 m/s.
Antrenörün sorusunu ölçülebilir bir biyomekanik soruya çevirin.
Hangi haftanın aracı? Varsayımları neler (sabit ivme, hava direnci yok, tek eksen)?
Hangi cihaz, hangi örnekleme hızı, kaç deneme? Hata payı ne?
Sayıyı antrenörün anlayacağı bir öneriye çevirin; kanıtın sınırını söyleyin.
On dört hafta, menzil ve en iyi açı.
| Hafta | Soru | Hafta | Soru |
|---|---|---|---|
| 1 | Kuvvet hareketi nasıl değiştirir? | 8 | Hangi problemde hangi araç? |
| 2 | Birim ve yön doğru mu? | 9 | Ölçüme ne kadar güvenebilirim? |
| 3 | Ne kadar hızlı, ne kadar yol? | 10 | Hava ve su ne kadar direnç gösterir? |
| 4 | Döner mi, devrilir mi? | 11 | Kas ne kadar kuvvet üretmeli? |
| 5 | Uç ne kadar hızlı? | 12 | Koşu ve sıçramayı ne belirler? |
| 6 | Hareket ne kadar sürede değişti? | 13 | Güç nereye gidiyor? |
| 7 | Ne kadar enerji, ne kadar hızlı? | 14 | Hepsi bir sporcuda nasıl birleşir? |
v = 13 m/s, θ = 40°: vx = 13 · cos 40°, vy = 13 · sin 40°
R = v² · sin 2θ ÷ g = 169 × sin 80° ÷ 9,81 ≈ 16,97 m
R = vx · (vy + √(vy² + 2 · g · h)) ÷ g ≈ 19,18 m
Çıkış yüksekliği menzile ≈ 2,2 m ekledi
R: menzil (yatay uzaklık) · h: çıkış noktasının iniş noktasından yüksekliği · sin 2θ: açının iki katının sinüsü. İkinci formül, h = 0 olunca birinciye dönüşür. (Öğretim amaçlı sayılar.)
Gülle daha uzun süre havada kalır; menzil ≈ 19,18 m. Yükseklik en iyi açıyı da 45°'nin altına çeker.
İleri pay 13 × cos 40° = 13 × 0,766 ≈ 9,96 m/s. Yukarı pay 13 × sin 40° = 13 × 0,643 ≈ 8,36 m/s.
Yer çekimi her saniye 9,81 m/s siler: 8,36 ÷ 9,81 ≈ 0,85 s sonra gülle tepededir.
Çıkış ve iniş aynı yükseklikteyse iniş de 0,85 s sürer: toplam ≈ 1,70 s.
İleri hız hiç değişmez: 9,96 m/s × 1,70 s ≈ 16,97 m.
Dört adım tek satırda: ileri pay × 2 × yukarı pay ÷ g = v · cos θ × 2 · v · sin θ ÷ g. Matematikte 2 × sin θ × cos θ = sin 2θ eşitliği vardır: 2 × 0,643 × 0,766 ≈ 0,985 = sin 80°. Böylece R = 169 × 0,985 ÷ 9,81 ≈ 16,97 m.
1) Yükselme: 8,36 ÷ 9,81 ≈ 0,85 s.
2) Tepe, bırakılan noktanın 8,36 × 8,36 ÷ 19,62 ≈ 3,56 m üstündedir; yerden 2,1 + 3,56 ≈ 5,66 m.
3) 5,66 m'den düşen cisim yere √(2 × 9,81 × 5,66) ≈ 10,54 m/s ile çarpar. Formüldeki √(v_y² + 2 · g · h) bu sayıdır: √(69,8 + 41,2) ≈ 10,54.
4) Düşüş süresi: 10,54 ÷ 9,81 ≈ 1,07 s. Havada toplam 0,85 + 1,07 ≈ 1,93 s.
5) Menzil: 9,96 × 1,93 ≈ 19,18 m. Yerden bırakılan atışa göre ≈ 2,2 m fazla.
| Atış | Hız, açı, yükseklik | Havada | Menzil |
|---|---|---|---|
| Gülle | 13 m/s, 40°, 2,1 m | 1,93 s | 19,2 m |
| Cirit | 28 m/s, 35°, 1,8 m | 3,38 s | 77,6 m |
| Futbolda uzun pas | 25 m/s, 30°, yerden | 2,55 s | 55,2 m |
| Uzun atlama, uçuş evresi | 9,5 m/s, 20°, yerden | 0,66 s | 5,9 m |
Hava yok sayıldı. Cirit havada süzülür, futbol topu yavaşlar (H10); gerçek menziller farklıdır.
13 m/s, 2,1 m, hız kaybı yok: en iyi açı ≈ 42°, menzil ≈ 19,21 m.
Hız kaybını 0,03 m/s/° yapın (Hubbard): en iyi açı ≈ 37,5°, menzil ≈ 18,45 m.
Yüksekliği 0 yapın, hız kaybını sıfırlayın: en iyi açı kaç?
Kendi sporunuzdan (cirit, disk, top) bir örnek deneyin.
13 m/s ve 40° için yerden atışta menzil ≈ 16,97 m; 2,1 m yükseklikten çıkışta ≈ 19,18 m.
Hız açıdan bağımsızsa en iyi açı ≈ 42°. Hız her derecede 0,03 m/s düşerse ≈ 37,5°.
Gülle atıcılarında her sporcunun kendi en iyi açısı vardı; 45° tek bir kural gibi uygulanamaz.
Menzil: yatay uzaklık. Bileşen: hızın yatay ve düşey payı. Varsayım: modelin doğru kabul ettiği koşul. Çıkış hızı: cismin elden ayrıldığı hız. Kısıt: bir değişkenin ötekini sınırlaması (açı arttıkça hız düşmesi gibi).
Ayşe'nin dosyası ve sayıdan öneriye.
Eller belde, önce çömelip sonra yukarı sıçranır. Havada kalma (uçuş) süresi ölçülür: Ayşe için 0,48 s. Hentbolda kanat oyuncusu kale önünde sıçrayarak şut atarken aynı çöküp fırlama hareketini yapar.
1) Yükselme süresi = 0,48 ÷ 2 = 0,24 s. 2) Çıkış hızı = 9,81 × 0,24 ≈ 2,35 m/s. 3) Yükseklik = 2,35² ÷ (2 × 9,81) ≈ 0,283 m = 28,3 cm.
VA, vücut ağırlığıdır: 62 × 9,81 ≈ 608 N. W/kg, gücü kiloya bölmektir: 2469 ÷ 62 ≈ 39,8 W/kg. Güç, sıçrama yüksekliği ve kütleden tahmin edilir (Hafta 7). Bunun için Sayers denklemi kullanılır: yükseklik ve kütle, araştırmayla bulunmuş sabit sayılarla çarpılıp toplanır.
30 cm’den inişte hız √(2 × 9,81 × 0,3) ≈ 2,43 m/s. Temas 0,15 s ise ortalama kuvvet = 62 × 2,43 ÷ 0,15 + 608 ≈ 1611 N ≈ 2,65 × VA.
60 fps, saniyede 60 kare demektir; iki kare arası 1 ÷ 60 ≈ 0,0167 s. 0,15 s’lik bir temas ancak 9 karedir.
Temas 8 kare (0,133 s) ya da 10 kare (0,167 s) okunursa net kuvvet yaklaşık %10–13 değişir. Kuvvet, süreyle ters orantılıdır: süre yarıya inerse kuvvet iki katına çıkar.
r, dönme merkezine uzaklık (m); ω, dönme hızı (rad/s). 0,7 × 25 = 17,5 m/s; km/h için 3,6 ile çarpılır: ≈ 63 km/h.
Takım ortalaması, önceki ölçüm ya da yayımlanmış norm yoksa 28,3 cm iyi de olur kötü de. Ölçüm hatasıyla birlikte okunur.
| Test | Ham veri | Hesap (hafta) | Sonuç |
|---|---|---|---|
| CMJ | Uçuş 0,48 s | h = g · t² ÷ 8 (3); Sayers (7) | ≈ 28,3 cm; ≈ 2469 W; ≈ 39,8 W/kg |
| 20 m sprint | 0–10 m: 1,95 s · 10–20 m: 1,25 s | v̄ = Δx ÷ Δt (3); v̄ ortalama hız | ≈ 5,13 m/s ve 8,0 m/s |
| İniş | 30 cm, temas 0,15 s | √(2gh), F = Δp ÷ Δt + mg (3, 6) | ≈ 1611 N ≈ 2,65 × VA |
| Şut | r ≈ 0,7 m, ω ≈ 25 rad/s | v = r · ω (5) | ≈ 17,5 m/s ≈ 63 km/h |
Sprint süreleri hangi yöntemle alındı? İniş temas süresi kaç fps'lik videodan okundu? 60 fps'de 0,15 s yalnız 9 karedir; ±1 kare, net kuvvette yaklaşık %10–13 fark yaratır.
Uçuş 0,48 s; yükselme 0,24 s. Kalkış hızı 9,81 × 0,24 ≈ 2,35 m/s. Ortalama yükselme hızı 2,35 ÷ 2 ≈ 1,18 m/s; 1,18 × 0,24 ≈ 0,283 m.
Sayers: 60,7 × 28,25 ≈ 1715; 45,3 × 62 ≈ 2809; 1715 + 2809 − 2055 ≈ 2469 W. Kiloya bölününce 2469 ÷ 62 ≈ 39,8 W/kg.
İlk 10 m: 10 ÷ 1,95 ≈ 5,13 m/s. İkinci 10 m: 10 ÷ 1,25 = 8,0 m/s. İkinci dilim daha hızlıdır, çünkü Ayşe hâlâ hızlanmaktadır.
Çarpma hızı √(2 × 9,81 × 0,30) ≈ 2,43 m/s. Momentum 62 × 2,43 ≈ 150. Durdurma 150 ÷ 0,15 ≈ 1003 N; taşıma 608 N; toplam ≈ 1611 N ≈ 2,65 VA.
60 fps'te temas 9 karedir (0,15 s). 8 kare okunursa 150 ÷ 0,133 + 608 ≈ 1736 N; 10 kare okunursa 150 ÷ 0,167 + 608 ≈ 1511 N. Bölen küçüldükçe sonuç büyür: süre kısa okunursa kuvvet abartılır.
Takım ortalaması, önceki ölçüm ya da norm ve ölçüm hatası (Hafta 9) birlikte okunur.
İlk 10 m ortalaması 5,13 m/s. Takımla karşılaştırıp sorunun çıkışta mı sonrasında mı olduğunu ayırın. Weyand: en yüksek hızı yere uygulanan kuvvet belirler (Hafta 12).
Ortalama YTK ≈ 2,65 × VA. Temas süresini ölçüm hatasıyla birlikte değerlendirin; diz ve kalça açılarını videodan ekleyin (Hafta 4, 6). Açının videodan ölçülmesi Hafta 5 ve 9'da, açının eklem torkuna ve iniş kuvvetine etkisi Hafta 4 ve 6'da işlendi.
Ne ölçtük, ne bulduk, ne öneriyoruz ve neyi bilmiyoruz. Sağlık sorunu için yönlendirme: fizyoterapist ya da hekim.
Ayşe için örnek madde: "İnişte ortalama kuvvet ≈ 2,65 VA (bir kare hatayla 1511–1736 N). Diz açısı videosu henüz yok. Diz ağrısı için fizyoterapiste yönlendirildi."
Uçuş 0,48 s ise sıçrama ≈ 28,3 cm; iniş 30 cm, temas 0,15 s ise ortalama yer tepki kuvveti ≈ 2,65 × vücut ağırlığı.
60 fps’de 0,15 s yalnız 9 karedir. ±1 kare, net kuvvette yaklaşık %10–13 fark yaratır.
Ne ölçüldü, ne bulundu, ne öneriliyor ve neyin bilinmediği yazılır; sağlık sorunu için fizyoterapiste ya da hekime yönlendirilir.
CMJ: karşı hareketli sıçrama. YTK: yer tepki kuvveti, zeminin ayağa itişi. VA: vücut ağırlığı. fps: saniyedeki video karesi. Norm: karşılaştırma için kullanılan referans değer. Ham veri: işlenmemiş ölçüm.
Sınav stratejisi, proje ve tartışma.
| Soru türü | Strateji |
|---|---|
| Hesaplama | Verilenler → bilinmeyen → araç → birim → akıl kontrolü (Hafta 8, dört adım). |
| Kavram | Tanımı kendi cümlenizle yazın, bir spor örneği ekleyin. |
| Kanıt okuma | Çalışmanın örneklemini, bulgusunu ve sınırını üç cümlede özetleyin. |
| Vaka | Soru → model → ölçüm → karar döngüsünü kurun; varsayımları açıkça yazın. |
Çıkış yüksekliği ve açıyla düşen hız en iyi açıyı 45°'nin altına çeker; her sporcunun kendi en iyi açısı vardır (Linthorne, 2001).
Diz torku azalır ama kalça torku artar (Fry ve ark., 2003; Hafta 4).
Salınım süresi benzer; fark yere uygulanan kuvvette (Weyand ve ark., 2000; Hafta 12).
Kinematik (Hafta 3), impuls (Hafta 6) ve enerji (Hafta 7) aynı fiziğin üç dilidir.
Antrenörün sorusu tek cümlede ne?
Hangi 3 test, hangi 4 haftanın aracı?
Her ölçümün hata payını nasıl raporlarsınız?
Sonuç "sayıdan öneriye" nasıl dönüşecek?
| Ölçüt | 1 · Gelişiyor | 2 · Yetkin |
|---|---|---|
| Soru ve ölçüm | Testler yapılmış, antrenör sorusuyla bağı zayıf. | Soru net; testler soruya göre seçilmiş, protokol ve hata payı yazılmış. |
| Hesap | Hesaplar var, adım ya da birim eksik. | Dört farklı haftanın aracı, adım adım, en az bir çapraz kontrol. |
| Kanıt | Kaynak var, bulgu karşılaştırılmamış. | İki hakemli kaynakla karşılaştırma, örneklem farkı tartışılmış. |
| Öneri | Öneri var, sınırları yok. | Tek sayfa, anlaşılır öneri; bilinmeyenler ve yönlendirme yazılmış. |
Arkadaşınızın projesine bir güçlü yön ve bir somut geliştirme önerisi yazın. Puan, önerinin gerekçesini göstermek içindir.
60 fps'lik gözün (ve kameranın) kaçırdığı olaylar hangileri? Kuvvet ve impuls gözle görülür mü?
Ölçüm hatası, eşik seçimi ve tek değişkene odaklanma veriyi nasıl yanıltabilir (Hafta 3, 9)?
Antrenör ve analist için ortak bir karar döngüsü önerin.
"Gözüm yanılmaz."
Dönem boyu gördüğümüz bir mit ve bir ölçüm sınırına dayanan iki cümle.
1. Gülle atışında en iyi açı neden 45°'nin altındadır?
Yükseklik ve hız-açı kısıtı en iyi açıyı aşağı çeker.
2. Hubbard ve ark. (2001): açı arttıkça çıkış hızı ne yaptı?
Derece başına ≈ 0,03 m/s.