Yaş, cinsiyet ve branşa göre bir grubun sonuçlarından çıkan tablodur. Fiyat etiketine bakınca pahalı mı ucuz mu diyebilmek için diğer marketleri bilmek gerekir; norm o diğer marketlerdir.
8 oyuncunun 10 atışta isabeti: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Ortalama μ ("mü") = 40 ÷ 8 = 5. Farklar: −3, −1, −1, −1, 0, 0, +2, +4; kareleri toplamı 32. 32 ÷ 8 = 4, karekökü σ ("sigma") = 2: tipik uzaklık 2 isabet.
20 oyuncuyu küçükten büyüğe dizin. Fatma'nın altında 15 kişi kaldıysa 15 ÷ 20 = %75: Fatma 75. yüzdeliktedir, grubun %75'inden iyidir.
Sakatlık süreleri 1, 1, 2, 2, 30 hafta olsun. Ortalama 36 ÷ 5 = 7,2 hafta, ama 5 kişiden 4'ü en çok 2 hafta yatmış. Uzun kuyruk ortalamayı şişirir; norm tabloları bu yüzden çarpıklığı hesaba katan yöntemlerle kurulur.
| Oyuncu | İsabet (10 atış) |
|---|---|
| O1 | 2 |
| O2 | 4 |
| O3 | 4 |
| O4 | 4 |
| O5 | 5 |
| O6 | 5 |
| O7 | 7 |
| O8 | 9 |
| Satır | izStat (nokta = virgül) | Elle (8'e bölerek) |
|---|---|---|
| Ortalama | 5.0000 | 40 ÷ 8 = 5 |
| Varyans | 4.5714 | 32 ÷ 8 = 4 |
| Std. Sapma | 2.1381 | √4 = 2 |
| APA satırı | İsabet: M = 5.00, SS = 2.14, n = 8 | |
Ortalama aynı çıkar; standart sapma 2 yerine 2,14 çıkar ve ikisi de doğrudur. izStat 8 oyuncuyu daha büyük bir oyuncu kitlesinden alınmış örneklem sayar ve kareler toplamını n − 1 = 7'ye böler (Bessel düzeltmesi, Hafta 5): 32 ÷ 7 = 4,57; √4,57 = 2,14 isabet. Fark 0,14 isabettir, küçüktür; 9 isabetli oyuncunun z'si (ortalamadan kaç σ uzakta; iki slayt sonra) 4 ÷ 2 = 2,00 yerine 4 ÷ 2,14 = 1,87 olur, tablo yüzdeliği (Bölüm 2) %97,7'den %96,9'a iner; karar değişmez. Akılda kalsın: grup büyüdükçe iki yol birleşir; 100 kişide fark yalnız %0,5'tir. Raporda hangisini kullandığınızı yazın.
8 oyuncunun isabeti yüklü; Betimleyici İstatistikler açılır.
Aç →"Ali'nin mekik sonucu yaşıtlarının %80'inden iyi." Yani aynı yaştaki 100 çocuk sıralansa Ali 80'inin önünde, 20'sinin arkasında kalır.
Bu cümle bir karşılaştırma grubuna, bir dağılıma ve "ortalamadan kaç standart sapma uzakta" sorusuna dayanır.
Bir sporcunun kendi grubundaki yerini nasıl tek bir sayıyla söyleriz?
x: sonucunuz. μ ("mü"): grup ortalaması. σ ("sigma"): standart sapma, bir adımın uzunluğu. Tarif: çıkar (x − μ), böl (÷ σ).
Ali 165 cm: (165 − 170) ÷ 5 = −1. Ayşe 172,5 cm: 2,5 ÷ 5 = +0,5. Veli 180 cm: 10 ÷ 5 = +2. İşaret yönü, sayı adım sayısıdır.
Mekik ortalaması 14,2 tur düştü, σ = 10 tur olsun: 14,2 ÷ 10 = 1,42, yani düşüş 1,42 SS. (Örnek sayı.) SS: standart sapma. 1,42 SS = 1,42 adım, büyük bir kayma; aynı sayı iki slayt sonra gerçek veride çıkacak.
Yaş, cinsiyet ve beden kitle indeksi z'si düzeltilince büyük bir düşüş (%18,4).
Düşüşün çoğu 2010'dan önce.
Düşüş belirgin biçimde yavaşlamış.
Değerlerin ortalamadan tipik uzaklığını, verinin biriminde.
Aynı noktada buluşur.
Sürekli bir değişkenin dağılımının şeklini.
Simetrik, tek tepeli çan eğrisi; ortalama = medyan = mod.
Ortalamadan kaç standart sapma uzakta: z = (x − μ) ÷ σ.
Değerin altında kalan grubun yüzdesi. 80. yüzdelik = grubun %80'inden iyi.
Farklı birimdeki testleri aynı ölçeğe çevirmek: saniye ile santimetreyi karşılaştırılabilir yapmak.
68–95–99,7.
Sütunların toplam alanı 100 kişidir; eğrinin altındaki toplam alan da %100 sayılır. 172,5 cm'den uzun 31 kişi, eğrinin sağ tarafındaki turuncu alanın yaklaşık %31'i olarak okunur. Çok uzun ya da çok kısa kişiler seyrektir: sütunlar kenarlara doğru hızla alçalır.
Boy gibi ölçümlerin çoğu ortalama çevresinde yığılır, çok uzun ya da çok kısa olanlar azdır.
Kişilerin yaklaşık %68'i ortalamanın 1 standart sapma yakınında, %95'i 2, %99,7'si 3 standart sapma yakınında bulunur.
2 standart sapmanın dışında kalanlar yaklaşık 20 kişiden 1'dir. Fatma'nın z = 0,75'i grubun yaklaşık %77'sinden iyi demektir.
Normal dağılım: çan biçimli, simetrik, tek tepeli dağılım. Ortalama (μ): merkez. Standart sapma (σ): değerlerin ortalamadan tipik uzaklığı. Simetrik: sol ve sağ yarı birbirinin aynası.
Tarif ve işaretin anlamı.
| z | Altında kalan | Ne demek? |
|---|---|---|
| −2 | %2,3 | 100 kişinin yaklaşık 2'si bu sonucun altında |
| −1 | %15,9 | Yaklaşık altı kişiden biri bu sonucun altında |
| 0 | %50,0 | Tam ortada: yarısı altında, yarısı üstünde |
| +0,75 | %77,3 | Fatma'nın serbest atışı: grubun yaklaşık %77'sinden iyi |
| +1 | %84,1 | Yaklaşık altı kişiden beşinin üstünde |
| +2 | %97,7 | Yaklaşık 44 kişiden 43'ünün üstünde |
1) z'yi hesapla. 2) Tabloda z'nin satırını bul. 3) Yanındaki yüzdeyi oku. Tablo çoğu zaman yalnız artı z verir; eksi z için yüzdelik, 100 eksi artı z'nin yüzdeliğidir: z = −1 için 100 − 84,1 = %15,9.
x − μ = 78 − 72 = 6 puan: Fatma lig ortalamasının 6 puan üstünde
6 ÷ 8 = z = 0,75: 6 puan, 8 puanlık tipik uzaklığın dörtte üçü
z = 0,75 → yaklaşık %77 (standart normal tablodaki z = +0,75 satırı)
Ligin yaklaşık %77'sinden iyi; üst düzey değil ama ortalamanın belirgin üstünde
| Sembol | Okunuşu | Anlamı |
|---|---|---|
| z = (x − μ) ÷ σ | "z eşittir x eksi mü, bölü sigma" | Ortalamadan uzaklığı standart sapma cinsinden yazmak |
| z = 0 / +1 / −2 | — | Tam ortalamada / 1 SS üstünde / 2 SS altında |
(78 − 72) ÷ 8 = 0,75. Ligin yaklaşık %77'sinden iyi.
Takım: μ = 4,3 s, σ = 0,15 s → z = (4,1 − 4,3) ÷ 0,15 ≈ −1,33. Eksi işaret burada iyi: Ali takımın yaklaşık %91'inden hızlı.
Yaş grubu: μ = 175, σ = 7 cm → z ≈ +2,43: grubun yaklaşık %99'undan uzun. Seçimde bu tek başına yetenek demek değildir (Hafta 1, göreli yaş).
Testleri birleştirmeden önce "düşük iyi" testlerin z'sini −1 ile çarpın; böylece bütün testlerde artı işaret "iyi" anlamına gelir.
Hesap aynı, yorum testin yönüne bağlı. Profilde yön düzeltilince Ali'nin z'si +1,33 olur.
| Oyuncu | 30 m (s) |
|---|---|
| Ali | 4,10 |
| S2 | 4,21 |
| S3 | 4,47 |
| S4 | 4,34 |
| S5 | 4,18 |
| S6 | 4,56 |
| S7 | 4,26 |
| S8 | 4,42 |
| S9 | 4,14 |
| S10 | 4,32 |
Önce/Sonra tablosunda (nokta = virgül) ortalama 4.3000 → 0.0000, SS 0.1500 → 1.0000 olmalıdır. Çarpıklık (0.3977) ve Shapiro-Wilk p (0.8464) değişmez: z cetveli değiştirir, dağılımın biçimini değil. (Shapiro-Wilk: çana uyum testi.)
Ali: (4,10 − 4,30) ÷ 0,15 = −1,33; izStat ilk satıra −1.333004 yazar, fark yalnız yuvarlamadır. Sonraki slayt yön düzeltmesi, T puanı ve yüzdeliği ekler. Süre testinde eksi işaret iyidir: Ali ortalamadan 0,20 s, yani 1,33 adım hızlıdır. En büyük artı z S6'nın +1,73'üdür: 4,56 s ile ortalamadan 0,26 s geride, takımın en yavaşı. On z'nin toplamı 0'dır; artılar ile eksiler birbirini dengeler, sağlamanın ikinci yolu budur.
Takımın 30 m süreleri yüklü; Veri Dönüştürme açılır.
Aç →| Oyuncu | 30 m (s) | izStat z | Yönü düzeltilmiş z | T = 50 + 10z | Tabloya göre şu oranın üstünde |
|---|---|---|---|---|---|
| Ali | 4,10 | −1,333 | +1,33 | 63,3 | %91 |
| S9 | 4,14 | −1,066 | +1,07 | 60,7 | %86 |
| S5 | 4,18 | −0,800 | +0,80 | 58,0 | %79 |
| S2 | 4,21 | −0,600 | +0,60 | 56,0 | %73 |
| S7 | 4,26 | −0,267 | +0,27 | 52,7 | %61 |
| S10 | 4,32 | +0,133 | −0,13 | 48,7 | %45 |
| S4 | 4,34 | +0,267 | −0,27 | 47,3 | %39 |
| S8 | 4,42 | +0,800 | −0,80 | 42,0 | %21 |
| S3 | 4,47 | +1,133 | −1,13 | 38,7 | %13 |
| S6 | 4,56 | +1,733 | −1,73 | 32,7 | %4 |
Ali takımın en hızlısıdır: ortalamadan 0,20 s, yani 1,33 SS önde. Tablo "%91'inden hızlı" der; gerçekte diğer 9 oyuncunun hepsini, yani takımın %90'ını geçer: küçük grupta tablo ile sıralama yakın ama aynı değildir. S6 (4,56 s; düzeltilmiş z = −1,73, T = 32,7) ivmelenme çalışmasına ilk adaydır. Dikkat: izStat'ın "T-Puanı Dönüşümü" kartı yönü çevirmez ve Ali'ye 36,67 verir; süre testinde T = 50 − 10 × (izStat z) kullanın. Rapor cümlesi: Ali'nin 30 m süresi takım ortalamasının 1,33 SS altındadır (z = −1,33; yönü düzeltilmiş T = 63,3).
Aynı veride "T-Puanı Dönüşümü" kartını seçip Ali'nin 36,67'sini görün.
Aç →z = (x − μ) ÷ σ. Fatma'nın serbest atışı %78, lig ortalaması %72, σ = 8: (78 − 72) ÷ 8 = 0,75.
z = 0,75, grubun yaklaşık %77'sinden iyi demektir. Bu çeviri çan biçimini varsayar.
Sürede düşük iyidir: Ali 30 m'yi 4,1 s koşunca z ≈ −1,33 çıkar ve bu iyi demektir. Birleştirmeden önce işareti çevirin.
Z puanı (z-score): ortalamadan kaç standart sapma uzakta. Yüzdelik (percentile): sonucun altında kalan kişilerin yüzdesi. Standart normal tablo: her z için altta kalan oranı veren hazır liste. Standartlaştırma: farklı birimleri z ile aynı ölçeğe çevirmek.
Bileşik z, T, normallik, branşlar arası.
Sürede düşük değer iyidir. Can'ın sprint z'si −1,0 çıktıysa −1 ile çarpın: +1,0. Artık her testte artı işaret "iyi" demektir.
Can: sprint +1,0, sıçrama +0,5, Yo-Yo −0,5. Topla: 1,0 + 0,5 − 0,5 = 1,0. Test sayısı 3'e böl: bileşik z = 0,33. (Yo-Yo aralıklı toparlanma testi: giderek hızlanan 2 × 20 m mekik koşuları arasında 10 s dinlenme; sonuç koşulan metredir, futbolda dayanıklılık ölçüsüdür.)
z = +1 → 60; z = −1 → 40; z = 0 → 50. Ortalaması 50, standart sapması 10 olan ölçektir; eksi ve virgüllü sayılardan kurtarır. Can'ın bileşik z'si 0,33 → T = 53,3.
Shapiro-Wilk gibi testler veri çan biçimine ne kadar uyuyor sorusunu p değerine çevirir. p küçükse (0,05'in altı) çandan belirgin sapma var; p büyükse sapma göstermeye yetecek kanıt yok, ama normalliğin kanıtı da değil.
| Test | Ayşe | μ ± σ | z (yönü düzeltilmiş) | T = 50 + 10z |
|---|---|---|---|---|
| 30 m (s) · düşük iyi | 4,2 | 4,4 ± 0,2 | +1,0 | 60 |
| Aktif sıçrama (cm) | 42 | 38 ± 4 | +1,0 | 60 |
| Yo-Yo (m) | 1400 | 1600 ± 200 | −1,0 | 40 |
| Çeviklik (s) · düşük iyi | 9,8 | 10,0 ± 0,4 | +0,5 | 55 |
| Ortalama z | — | +0,375 | ≈ 54 | |
Ayşe hız ve güçte güçlü, dayanıklılıkta zayıf. Ortalama z (+0,375) bu profili tek sayıya gömer; bileşik puanın yanında her testin z'si de raporlanır. T puanı eksi değerlerden kurtulmak için kullanılan bir ölçek dönüşümüdür.
30 m ve çeviklik "düşük iyi": işaret çevrildi. 30 m z = +1,0, sıçrama +1,0.
Yo-Yo z = −1,0: dayanıklılıkta zayıf. Bileşik z = +0,375, T ≈ 54.
"Fatma: serbest atış": z 0,75, yaklaşık %77.
30 m'de "düşük iyi" kutusunu kaldırın: sonuç neden yanlış oldu?
Histogram ve kutu grafiği: tek tepeli mi, simetrik mi, uç değer var mı?
Ortalama ile medyan yakın mı? (Hafta 4)
Shapiro-Wilk gibi bir normallik testi; p ≤ 0,05 çıkarsa veri çandan belirgin biçimde sapıyor
p > 0,05: "normal değil" demek için yeterli kanıt yok; "normal olduğu kanıtlandı" değildir
10 sporcuda test çoğu sapmayı yakalayamaz; 1000 sporcuda önemsiz sapmayı bile "anlamlı" bulur. Bu yüzden grafik ve test birlikte okunur. Tomkinson ve ark.'nın normları da dağılım çarpık olabildiği için doğrudan z tablosu yerine yüzdelik yöntemiyle hesaplandı.
| Çıktı | 30 m (s) | Sakatlık (hafta) |
|---|---|---|
| n | 10 | 12 |
| Ortalama / medyan | 4,30 / 4,29 | 3,92 / 2,00 |
| Çarpıklık | 0,40 | 2,35 |
| Shapiro-Wilk W | 0,966 | 0,690 |
| p | 0,846 | < 0,001 |
| izStat kararı | ✓ Normal | ✗ Normal değil |
| ln dönüşümünden sonra p | — | 0,220 |
Sakatlıkların 7'si en çok 2 hafta, biri 16 hafta sürmüş: kuyruk sağa uzanır, ortalama (3,92) medyanın (2) neredeyse iki katıdır. Bu veride z tablosu yanıltır: 2 haftanın z'si (2 − 3,92) ÷ 4,32 (SS) = −0,44; tablo sakatlıkların %67'sinin 2 haftadan uzun sürdüğünü söyler, veride 12 sakatlıktan yalnız 5'i (%42) 2 haftayı aşmıştır. Sprintte izStat'ın "✓ Normal" etiketi "normal değil demek için kanıt yok" diye okunur; 10 kişide test zayıftır (önceki slayt: %9). Akılda kalsın: çarpık veride yüzdeliği tablodan değil sıralamadan okuyun ya da Veri Dönüştürme'deki "Logaritmik (ln)" kartıyla çana yaklaştırın (p = 0,220). ln (doğal logaritma) büyük değerleri sıkıştırır: 16 hafta 2,77'ye, 1 hafta 0'a iner.
Sprint ve sakatlık süreleri yüklü; Normallik Testleri açılır.
Aç →Kulüpteki aynı kilo grubunda μ = 140, σ = 5 kg → z = +2,0: grubun yaklaşık %98'inden iyi. (Silkme: barı önce omuza alıp sonra baş üstüne itme hareketi; 10 kg fark 2 adımdır.)
Takımda μ = 4,3, σ = 0,15 s → yönü düzeltilmiş z = +1,33: yaklaşık %91'inden hızlı.
Z, sporcuyu kendi karşılaştırma grubuna göre konumlar. Veli'nin kulübü ile Ali'nin takımının düzeyi farklıysa z'ler "mutlak üstünlük" hakkında bir şey söylemez. (Öğretim amaçlı sayılar.)
Yönü düzeltilmiş z'leri toplayıp test sayısına bölün; T = 50 + 10z ile eksi işaretten kurtulun. Ayşe: ortalama z = +0,375, T ≈ 54. Profil ayrıca raporlanır.
Histogramdan tepe sayısına, simetriye ve uç değere bakın. p > 0,05 çıkması normalliği kanıtlamaz.
Veli z = +2,0 halterde, Ali z = +1,33 sprintte. İki grubun düzeyi farklıysa z'ler mutlak üstünlük söylemez.
Bileşik z: birkaç testin z'sinin ortalaması. T puanı: ortalaması 50, standart sapması 10 olan dönüştürülmüş z. Normallik testi (Shapiro-Wilk): verinin çan biçimine uyup uymadığını yoklayan test. p değeri: testin "sapma yok" varsayımıyla uyumsuzluğunu gösteren sayı; küçüldükçe uyumsuzluk artar.
Mitler, Performans Merkezi, görev ve tartışma.
Anlamsız sonuç "normal değil" demek için kanıt olmadığını gösterir; normalliği kanıtlamaz. Küçük n'de test zayıftır.
Sürede eksi z iyidir. Yorumdan önce testin yönüne bakılır.
Boy gibi pek çok özellik yaklaşık normaldir; ama sakatlık süreleri, gol sayıları, maaşlar çarpıktır (Hafta 4).
Her iki test de "kaç standart sapma" birimine çevrilir; ama karşılaştırma grubu aynı olmalıdır.
Her test için sınıf ortalamasını ve SS'sini bulun.
Hangi testlerde düşük değer iyi?
Kendi z profilinizi araçla çıkarın. Sınıfın tüm z'leri için izStat Veri Dönüştürme → Z-Skor Standardizasyonu.
Bileşik z neyi gizliyor? Hangi yönünüz zayıf?
| Ölçüt | 1 · Gelişiyor | 2 · Yetkin |
|---|---|---|
| z hesabı | Hesap doğru, adımlar yok. | Tarif adımları, μ ve σ kaynağı gösterilmiş. |
| Yön düzeltme | Süre testleri düzeltilmemiş. | Düşük-iyi testler ters çevrilmiş ve belirtilmiş. |
| Normallik | Test sonucu var, grafik yok. | Histogram ve test birlikte, doğru dille yorumlanmış. |
| Profil yorumu | Yalnız ortalama z verilmiş. | Test bazında güçlü-zayıf yön ve grup sınırlılığı yazılmış. |
Arkadaşınızın görevine bir güçlü yön ve bir somut geliştirme önerisi yazın. Puan, önerinin gerekçesini göstermek içindir.
Ayşe'nin profili gibi güçlü ve zayıf yönler ortalamada kaybolur mu?
Hafta 1'deki göreli yaş etkisi: ocak ve aralık doğumlular aynı gruptan mı z alıyor?
z'yi hangi grupla (yaş, doğum çeyreği, olgunlaşma) hesaplardınız?
"Sayılar tarafsızdır; en yüksek z en yeteneklidir."
Karşılaştırma grubu ve profil kavramlarına dayanan iki cümle.
1. Normal dağılımda değerlerin yaklaşık yüzde kaçı ±2 SS içindedir?
68–95–99,7 kuralı.
2. Vanhelst ve ark. (2024): 2010 sonrası dayanıklılık eğilimi nasıldı?
Düşüşün çoğu 2010 öncesinde.