Bir mezura ve bir tartıyla, pahalı bir platformun ölçtüğü değere yaklaşmak.
40 cm sıçrayan 75 kg'lık sporcu için tahmin 3771 W; ama ±355 W'lık bir hata payıyla (yaklaşık %9).
Tahmin denklemi nasıl kurulur, ne kadar güvenilir ve nerede işe yaramaz?
Denklem zirveyi olduğundan geç tahmin etti.
Denklem zirveyi olduğundan erken tahmin etti.
Tahminler ortalamaya çekiliyor; kişi içi değişkenlik büyük.
Güçlü, pozitif, doğrusal bir ilişkiyi: biri artınca diğeri de büyük ölçüde artıyor.
Hayır. Karıştırıcı, ters yön ve şans açıklamaları elenmelidir.
KT_toplam = KT_açıklanan (gruplar arası) + KT_hata (grup içi).
X: bildiğimiz (göreli squat). Y: tahmin etmek istediğimiz (sıçrama). Göreli squat = kaldırılan kg ÷ vücut kg: 70 kg'lık sporcu 105 kg squat yaparsa 105 ÷ 70 = 1,5.
X bir birim artınca tahmin edilen Y'nin ortalama değişimi. Yüzme örneği: haftada 1 km fazla yüzen sporcunun 100 m süresi ortalama 0,3 s kısaysa eğim −0,3 s/km. (Öğretim amaçlı sayılar.)
X = 0 iken tahmin. Çoğu zaman yalnız doğruyu konumlandırmaya yarar.
Gerçek Y − tahmin edilen Y. Doğrunun o sporcuda ne kadar yanıldığı. Denklem 40 cm beklerken 43 cm sıçrayan sporcunun artığı +3 cm: beklenenden iyi.
Korelasyondan regresyona; en iyi doğru.
r = 0,90. Simetriktir: X ile Y'nin yeri değişse r aynı kalır. Birimi yoktur.
Sıçrama = 19,3 + 12,4 × göreli squat. Yönlüdür: X'ten Y'ye. Birimi vardır (cm).
"Squat 0,1 artınca sıçrama 1,24 cm artar" cümlesi, bu gruptaki sporcular arasındaki farkı anlatır. Bir sporcunun squatı artırıldığında sıçramasının da bu kadar artacağını göstermez; bu, deneysel bir soru (Hafta 12).
x̄ = (1 + 2 + 3) ÷ 3 = 2 antrenman. ȳ = (2 + 4 + 3) ÷ 3 = 3 isabet.
Sapmalar (değer − ortalama): x için −1, 0, +1; y için −1, +1, 0. Σ, yanındaki işlemi her sporcu için yapıp toplamak demektir.
Sxx: x sapmasının kendisiyle çarpımı: (−1)² + 0² + 1² = 2. Sxy: x sapması × y sapması: (−1)(−1) + (0)(+1) + (+1)(0) = 1.
y gerçek isabettir, ŷ ("y şapka") doğrunun söylediği isabet. Aradaki fark y − ŷ artıktır.
Kareler toplamı en küçük olan doğru seçilir: C (1,5). Kare almak, büyük yanılgıyı daha çok cezalandırır ve artılarla eksilerin birbirini götürmesini engeller. Bu yüzden "en küçük kareler" denir. C'nin dilinde: haftada 1 antrenman fazla yapan oyuncu 10 atışta ortalama 0,5 isabet fazla atıyor.
Korelasyon (r = 0,90) simetriktir ve birimsizdir. Regresyon X'ten Y'ye gider ve cm gibi birimle konuşur.
Noktaların doğruya dikey uzaklıkları (artıklar) karele, topla; bu toplamı en küçük yapan doğru seçilir.
Ece kuvvetine göre beklenenden 3,1 cm yüksek, Zeynep 2,7 cm düşük sıçrıyor. Artıkların toplamı 0'dır.
Yordayıcı (X): tahmin için kullandığınız, bildiğiniz değişken. Sonuç (Y): tahmin etmek istediğiniz değişken. Saçılım grafiği: her sporcunun bir nokta olduğu iki eksenli grafik. Eğim: X bir birim artınca tahmin edilen Y'nin değişimi. Kesişim: X sıfırken tahmin edilen Y. Artık: gerçek değer eksi tahmin; doğrunun o kişide yanıldığı miktar. En küçük kareler: artıkların kareler toplamını en küçük yapan doğruyu seçme yöntemi.
Tarif ve katsayılar.
Her sporcu için (x − x̄)(y − ȳ); topla: Sxy = 11,46
Σ(x − x̄)² = Sxx = 0,924
b = Sxy ÷ Sxx = 11,46 ÷ 0,924 = 12,40 cm
a = ȳ − b × x̄ = 37,4 − 12,40 × 1,46 ≈ 19,29 cm
Doğru her zaman ortalamalar noktasından (1,46; 37,4) geçer. Selin (1,7): tahmin = 19,29 + 12,40 × 1,7 = 40,4 cm; gerçek 39 cm; artık = −1,4 cm. Artıkların toplamı her zaman 0'dır. Elle bulduğunuz 12,40 ve 19,29'u izStat'ta aynı 10 sporcuyla doğrulayın → (ekranda B = 12,4026 ve 19,2922).
| Sembol | Değer | Günlük dilde |
|---|---|---|
| b (eğim) | 12,40 cm; %95 GA [7,6; 17,2]; p = 0,0003 (GA: güven aralığı; p: eğim gerçekte 0 olsaydı bu kadar büyük bir eğim görme olasılığı, 10.000'de yaklaşık 3) | Göreli squatı 0,1 yüksek olan sporcu ortalama 1,24 cm daha yüksek sıçrıyor. |
| a (kesişim) | 19,29 cm | Göreli squat 0 olan sporcu yok; bu sayı yorumlanmaz, doğrunun yüksekliğini ayarlar. |
| ŷ (tahmin) | 1,5 için 37,9 cm | Göreli squatı 1,5 olan sporcular için ortalama beklenti. |
| e (artık) | Ece: +3,1 cm | Ece, kuvvetine göre beklenenden daha iyi sıçrıyor; tekniği incelenmeye değer. |
Pozitif artık: kuvvetini sıçramaya iyi aktaran sporcu. Negatif artık (Zeynep, −2,7 cm): kuvveti var, aktarımı zayıf; pliometrik çalışma aday olabilir.
Eğim 12,40 cm; 0,1 fark × 12,40 = 1,24 cm. Bu, gruptaki sporcular arasındaki farkı anlatır, neden-sonuç değil.
Eğim b = 11,46 ÷ 0,924 = 12,40. Kesişim a = 37,4 − 12,40 × 1,46 ≈ 19,29. Doğru her zaman ortalamalar noktasından geçer.
Göreli squatı 0,1 yüksek sporcu ortalama 1,24 cm daha yüksek sıçrıyor. Bu, gruptaki sporcular arasındaki farktır; squatı artırmanın etkisini göstermez.
Selin (1,7): tahmin 40,4 cm, gerçek 39 cm, artık −1,4 cm. Kesişim yorumlanmaz, çünkü squatı 0 olan sporcu yok.
Katsayı: denklemdeki sabit sayılar: eğim ve kesişim. ŷ (tahmin): denklemin verdiği beklenen değer. %95 GA: eğimin gerçek değeri için makul aralık (burada 7,6 ile 17,2 cm). Nedensellik: birinin ötekini gerçekten değiştirdiği ilişki; regresyon tek başına göstermez.
R², TSH ve artık grafiği.
İsabetler 2, 4, 3; ortalama 3. (2 − 3)² + (4 − 3)² + (3 − 3)² = 1 + 1 + 0 = 2.
Artıklar −0,5, +1, −0,5. Kareleri: 0,25 + 1 + 0,25 = 1,5. Açıklanamayan payı budur.
Açıklanan KT = 2 − 1,5 = 0,5. R² = 0,5 ÷ 2 = 0,25: isabet farklarının dörtte biri antrenman sayısıyla ilişkili. (r = 0,5, r² = 0,25.)
TSH = √(artık KT ÷ (n − 2)) = √(1,5 ÷ 1) ≈ 1,22 isabet. Doğruyu kurmak için iki sayı (a ve b) harcandığından n − 2 alınır. Asıl örnekte 10 − 2 = 8.
| Kaynak | KT | sd | KO | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| Regresyon (açıklanan) | 142,1 | 1 | 142,1 | 35,2 | 0,0003 |
| Artık (hata) | 32,3 | 8 | 4,0 | ||
| Toplam | 174,4 | 9 |
Sporcular arası sıçrama farklarının %81'i göreli squatla ilişkili. Basit regresyonda R² = r² (0,903² ≈ 0,81).
Tahminler gerçek değerden tipik olarak 2 cm kadar sapıyor. Sahada karar verirken R²'den daha kullanışlıdır.
R² farkların açıklanan payıdır, isabet yüzdesi değildir. Tek bir sporcu için hata payını TSH söyler.
Destedeki 10 sporcu: Y = 19,29 + 12,40 · X, R² ≈ 0,81, TSH ≈ 2,01 cm.
X = 1,7: tahmin 40,4 cm, %95 tahmin aralığı ≈ 35,4 – 45,4.
X = 3,0 yapın: 56,5 cm tahmin. Veri aralığının dışında: güvenilir mi?
Kendi grubunuzun sıçrama-sprint verisini girin.
Sıçrama farklarının %81'i squatla ilişkili. Bu isabet yüzdesi değildir; tahminlerin %81'i doğru demek olmaz.
Tahminler gerçek değerden tipik olarak 2 cm sapıyor. Sahada tek bir sporcuya karar verirken asıl bu sayıya bakılır.
Tahmine karşı artıklar 0 çizgisi çevresinde düzensiz, eşit genişlikte dağılmalı. Eğri ya da huni şekli model sorunu demektir.
R²: farkların doğru tarafından açıklanan payı, 0 ile 1 arasında. TSH: tahminin standart hatası: artıkların tipik büyüklüğü. KT: kareler toplamı: dağınıklığın ölçüsü. Artık grafiği: tahmin edilen değere karşı artıkların çizildiği grafik.
| Sporcu | S1 | Ece | S3 | S4 | Zeynep | S6 | S7 | Selin | S9 | Deniz |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Göreli squat | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 2,0 |
| Sıçrama (cm) | 31 | 36 | 33 | 37 | 34 | 39 | 37 | 39 | 42 | 46 |
| izStat çıktısı | Ekranda | Elle (bu deste) |
|---|---|---|
| Sabit (a), B | 19,2922 | 19,29 cm |
| Goreli_squat (b), B | 12,4026 · p < ,001 | 12,40 cm · p = 0,0003 |
| R² | 0,815 | 0,81 |
| RMSE | 2,008 | TSH 2,01 cm |
| F değeri | 35,240 | 35,2 |
Tarif ve yazılım aynı doğruyu buldu; fark yalnız yuvarlamada. izStat'ın RMSE dediği bizim TSH'mizdir: tek sporcuda tipik yanılma 2,0 cm. Raporda: R² = 0,81, F(1, 8) = 35,24, p < 0,001.
LINE ve birden fazla yordayıcı.
| Varsayım | Nasıl bakılır? | Bozulursa |
|---|---|---|
| Doğrusallık | Saçılım ve artık grafiğinde eğri desen var mı? | Dönüşüm (log), eğrisel terim (X²) |
| Bağımsızlık | Desen: her sporcu bir kez mi? Zaman sırası var mı? | Tekrarlı ölçüm ya da zaman serisi (aynı sporcunun zaman içindeki ardışık ölçümleri) modelleri |
| Artıkların normalliği | Artıkların Q-Q grafiği (örneğimizde Shapiro-Wilk p = 0,80) (Q-Q: her artığı normal dağılımın o sırada beklediği değerle eşleyen grafik. izStat'ta: Varsayım Kontrolü → Regresyon → W = 0,9610, p = 0,7976.) | Dönüşüm, aykırı değeri incele, bootstrap |
| Eşit yayılım | Artık grafiğinde huni şekli var mı? | Dönüşüm, dayanıklı (robust) standart hatalar |
Veride göreli squat 1,0 ile 2,0 arasında. 3,0 için denklem 56,5 cm verir; ama 3,0 kaldıran sporcuyu hiç görmedik ve ilişkinin orada da doğrusal kaldığını bilmiyoruz. Veri aralığı dışına tahmin (ekstrapolasyon) yapılmaz.
Güç = 60,7 × sıçrama + 45,3 × kütle − 2055. İkisi de 75 kg olan iki sporcudan 1 cm fazla sıçrayan ortalama 60,7 W fazla güçlüdür. 40 cm ve 75 kg: 60,7 × 40 + 45,3 × 75 − 2055 ≈ 3771 W.
Sıçramayla ilgisiz bir değişken (örneğin ayakkabı numarası) eklemek R²'yi bile biraz artırır. Örnek sayılarla, 10 sporcuda R² 0,82 iken 0,83 olsa düzeltilmiş R² yaklaşık 0,80'den 0,78'e düşer.
Boy ve kulaç uzunluğu neredeyse aynı şeyi ölçer. İki kişinin birlikte taşıdığı dolapta kimin ne kadar taşıdığı anlaşılmaz; katsayılar oynaklaşır. VIF bu iç içeliği ölçer: VIF = 1 ÷ (1 − R²); boy ile kulaç arasında r = 0,95 ise R² = 0,9025 ve VIF = 1 ÷ 0,0975 ≈ 10. Katsayının belirsizliği (varyansı) 10 kat büyür; 5'in üstü uyarıdır.
Denklemi kurduğunuz 10 sporcuda sınamak, soruları önceden bilerek sınava girmek gibidir. PRESS, her seferinde bir sporcuyu dışarıda bırakıp onu tahmin ederek başka kişide sınamayı taklit eder.
Aynı kütlede 1 cm fazla sıçrama ≈ 61 W; aynı sıçramada 1 kg fazla kütle ≈ 45 W. Denklemin geçerliği PRESS adlı çapraz geçerlik yöntemiyle sınandı.
Boy, oturma boyu, bacak uzunluğu ve yaşla. R² erkek 0,92, kız 0,91; TSH yaklaşık 0,5 yıl. Yazarlar sonucu kesin sayı yerine kategori olarak kullanmayı önerir.
Düzeltilmiş R²: her yeni değişken R²'yi artırır; düzeltilmiş R² gereksiz değişkeni cezalandırır. Çoklu bağlantı: boy ve kulaç gibi çok ilişkili yordayıcılar katsayıları kararsızlaştırır (VIF ile bakılır). Çapraz geçerlik: denklem, kurulduğu örneklemden başka bir grupta sınanmalıdır.
| Sporcu | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 | S11 | S12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sıçrama (cm) | 30 | 34 | 36 | 38 | 40 | 41 | 43 | 45 | 47 | 49 | 52 | 55 |
| Kütle (kg) | 82 | 68 | 90 | 74 | 63 | 85 | 71 | 95 | 66 | 78 | 88 | 72 |
| Güç (W) | 3.660 | 2.770 | 4.300 | 3.870 | 3.090 | 4.060 | 4.130 | 4.890 | 3.840 | 4.150 | 5.230 | 4.510 |
| Çıktı | izStat (12 kişi) | Sayers (108 kişi) |
|---|---|---|
| Sicrama_cm, B | 58,2 W/cm | 60,7 W/cm |
| Kutle_kg, B | 46,5 W/kg | 45,3 W/kg |
| R² · Düz. R² | 0,898 · 0,875 | – (izStat'ta güç farklarının %90'ı açıklanıyor) |
| RMSE (Standart Hata) | 243 W | TSH 355 W (243 W iyimser: aynı 12 kişide ölçüldü) |
Aynı kütlede 1 cm fazla sıçrama ≈ 58 W, aynı sıçramada 1 kg ≈ 47 W güç ekliyor. Yalnız sıçramayla TSH 553 W; kütle eklenince 243 W: hata yarıdan fazla azalıyor. Sınır: yordayıcı başına 6 sporcu (önerilen 10–15); denklemi başka grupta sınayın.
Doğrusal mı? Sporcular bağımsız mı? Artıklar normal mi? Artıkların yayılımı her yerde eşit mi? Çoğu grafikle bakılır.
Veride göreli squat 1,0–2,0. 3,0 için denklem 56,5 cm verir ama bu değeri kimse görmedi; aralık dışına tahmin yapılmaz.
Güç, sıçrama ve kütleden; olgunlaşma, boy, oturma boyu, bacak uzunluğu ve yaştan tahmin edilir. Yeni grupta sınanmalıdır.
LINE: İngilizce baş harflerle dört varsayım: doğrusallık, bağımsızlık, normallik, eşit yayılım. Q-Q grafiği: artıklar normal dağılıyorsa noktaların düz çizgiye dizildiği grafik. Shapiro-Wilk: normallik testi; p büyükse normallikten sapma gösterilemedi. Dönüşüm: veriye log gibi bir işlem uygulayıp dağılımı düzeltme. Bootstrap: veriden tekrar tekrar yeniden örnek çekerek belirsizliği ölçme. Dayanıklı standart hata: yayılım eşit değilken de geçerli kalan hata hesabı. Ekstrapolasyon: veri aralığının dışı için tahmin yapmak. Düzeltilmiş R²: değişken sayısına ceza uygulayan R². VIF: yordayıcıların birbirine ne kadar benzediğini gösteren sayı. Çapraz geçerlik: denklemi kurulduğu gruptan başka bir grupta sınamak.
Mitler, Performans Merkezi, görev ve tartışma.
R², farkların açıklanan payıdır; isabet yüzdesi değildir. Tek bir sporcu için hata payını TSH (2 cm) söyler.
Veri aralığı 1,0–2,0. Aralık dışı tahmin ve sporcular arası ilişkiden bireysel değişim çıkarımı: iki hata birden.
R² hep artar ama yeni örneklemde tahmin kötüleşebilir. Düzeltilmiş R² ve çapraz geçerlik gerekir.
Varsayım, Y'nin kendisiyle değil tahmin hatalarıyla ilgilidir.
| Oyuncu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sıçrama (cm) | 31 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 42 | 44 | 46 |
| 20 m sprint (s) | 3,32 | 3,22 | 3,27 | 3,27 | 3,15 | 3,15 | 3,20 | 3,16 | 3,08 | 3,06 | 3,09 | 2,99 |
Mor düğme 12 oyuncuyu yükler, Regresyon modülünü açar.
Y: Sprint_20m_s (tahmin edilen). X: Sicrama_cm (bildiğimiz).
Analizi Çalıştır: denklem, R², RMSE, saçılım.
Varsayım Kontrolü → Regresyon → X, Y → Varsayımları Kontrol Et.
Eğimin işareti artı mı, eksi mi olmalı? 41 cm için süre 3,0 s'nin altında mı, üstünde mi?
12 oyuncu yüklü açılır. Sonuçlar sonraki slaytta.
Aç →| Çıktı | Ekranda | Günlük dilde |
|---|---|---|
| b (eğim) | −0,0200 · p < ,001 | 10 cm fazla sıçrayan oyuncu 20 m'yi ortalama 0,20 s kısa koşuyor: ≈ 6,5 m/s hızla 1,3 m önde bitiriyor. |
| Sabit (a) | 3,9214 | 0 cm sıçrayan oyuncu yok; yorumlanmaz. |
| R² | 0,854 | Sprint farklarının %85'i sıçramayla ilişkili: güçlü. |
| RMSE (TSH) | 0,039 s | Tek oyuncuda tipik yanılma ±0,04 s. |
| Shapiro-Wilk | W = 0,8996 · p = 0,1568 | p > 0,05: artıklar normalden sapmıyor. |
| Runs testi | Z = 0,6055 · p = 0,5448 | Artıkların +/− sırası rastgele mi? p > 0,05: eğri desen yok, doğrusal. |
3,921 − 0,0200 × 41 = 3,10 s. %95 tahmin aralığı "İki Bant" slaytındaki formülle, t(10) = 2,23. izStat bu aralığı yazmaz; elle hesaplanır.
Veri 31–46 cm. 46 cm'nin üstünde ilişkinin doğrusal kaldığını hiç görmedik: ekstrapolasyon.
Sıçrama testi oyuncuları hız açısından sıralamaya yeter; tek oyuncunun 0,05 s'lik gelişimini izlemeye yetmez (±0,04 s hata), sprinti doğrudan ölçün. Bu oyuncular arası farktır; sıçramayı artırmak süreyi kısaltır demek değildir (Hafta 12).
X ve Y'yi gerekçesiyle seçin; saçılımı çizin.
b ve a'yı elle bulun, araçla karşılaştırın.
TSH ve bir kişi için %95 tahmin aralığı ne?
Denklemi hangi sporculara uygulayamazsınız?
| Ölçüt | 1 · Gelişiyor | 2 · Yetkin |
|---|---|---|
| Hesap | b ve a doğru, ara adımlar eksik. | Sxy, Sxx, b, a adım adım; doğrunun ortalamalardan geçtiği gösterilmiş. |
| Yorum | Eğim yorumlanmış, birim yok. | Eğim birimle, kesişimin anlamı ve nedensellik sınırı yazılmış. |
| Model başarısı | R² verilmiş. | R² ve TSH birlikte; TSH sahadaki hata payı olarak yorumlanmış. |
| Sınama | Artık grafiği çizilmiş. | Artık deseni, yeni kişilerde tahmin hatası ve aralık dışı sınırı tartışılmış. |
Arkadaşınızın görevine bir güçlü yön ve bir somut geliştirme önerisi yazın. Puan, önerinin gerekçesini göstermek içindir.
Tahmin 1,2 yıl ise gerçek değer hangi aralıkta olabilir?
Kanadalı ve Flaman çocuklar. Başka toplumlarda da aynı mı çalışır?
Yazarların önerisi neydi? Karar nasıl verilmeli?
"Formül 1,2 yıl diyor; bilim bu."
TSH ve çapraz geçerliğe dayanan iki cümle.
1. Regresyon doğrusu neyi en küçük yapar?
En küçük kareler yöntemi.
2. Malina ve ark. (2021): erken olgunlaşan futbolcularda denklem zirveyi nasıl tahmin etti?
Geç olgunlaşanlarda ise erken: tahminler ortalamaya çekiliyor.