İSTATİSTİK · HAFTA 17

Ki-Kare ve
Kategorik Veri

Sağ ayak mı, sol ayak mı? Kas mı, bağ mı? Sayılan verinin testi.
Prof. Dr. İzzet İNCE
Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi · Spor Bilimleri Fakültesi
Antrenörlük Eğitimi Bölümü · 2026–2027
Bugün

Dersin Yol Haritası

Dünya Kupası oyuncularının ayak tercihinden başlıyoruz; uyum iyiliğini, bağımsızlık testini, χ² hesabını, Cramér V'yi, küçük örneklemde Fisher'ı ve eşli veride McNemar'ı görüp çapraz tabloyu canlı çözümlüyoruz.
01

Uyum iyiliği

02

Bağımsızlık testi

03

Hücre katkıları

04

Cramér V

05

Fisher ve McNemar

06

Canlı: çapraz tablo

Bugünün sonunda sayılmış verinin testini seçip hangi hücrenin farkı taşıdığını söyleyebileceksiniz.
Bu Haftanın Dünyası · Solak Avantajı

Dünya Kupası'ndaki Oyuncular Kaç Ayaklı?

Carey ve ark. (2001) 1998 Dünya Kupası'nda 16 takımdan 236 oyuncunun ayak kullanımını saydı. Oyuncular genel nüfus kadar sağ ayaklıydı (yaklaşık %79); iki ayağını eşit kullanan oyuncu çok azdı. Tenisçilerde ise solak oranı elit düzeyde yüksek bulunmuş, ama profesyonellerde bu avantaj yıllar içinde azalmıştır (Loffing ve ark., 2012).

Görünen

"Takımımızda çok solak var, solaklar daha yetenekli."

Görünmeyen

"Çok" kime göre? Önce karşılaştırılacak beklenen oran belirlenmelidir.

Bu haftanın sorusu

Sayılar beklentiden şansla açıklanamayacak kadar mı uzak?

Araştırma ne diyor? · 2025

Solaklar Üst Sıralarda Daha mı Fazla?

Simon, Loffing ve Frasnelli (2025) eskrim, masa tenisi, tenis ve badmintonda sıralama verilerini inceleyip solakların oranını performans düzeylerine göre ayırdı.
≈ %10

Genel nüfusta solak

Karşılaştırmanın "beklenen" oranı.

Fazla

Eskrim ve masa tenisi

Solaklar her düzeyde fazla; üst sıralarda belirgin daha fazla.

İki açıklama

Neden?

Rakibin solağa alışık olmaması mı, doğuştan bir üstünlük mü: açık soru.

Tek bir oran yerine oranı düzeylere ayırmak, çapraz tablonun gücüdür.
Geri Getirme · 5 Dakika

Önceki Haftalardan Ne Kaldı?

Notlara bakmadan cevapları bir kâğıda yazın, sonra açın. Hatırlamaya çalışmak, yeniden okumaktan daha kalıcı öğrenme sağlar (Roediger ve Karpicke, 2006).
Hafta 2

Pozisyon hangi ölçek türüdür?

Cevabı göster

Sınıflama (nominal): kategoriler arasında sıra yoktur.

Hafta 13

p değeri neyi söyler?

Cevabı göster

H₀ doğru olsaydı, gözlenen kadar ya da daha uç veri görme olasılığını.

Hafta 14

Önce–sonra verisi neden ayrı test ister?

Cevabı göster

Aynı kişilerden geldiği için ölçümler bağımsız değildir.

Önce Temel · Dört Kavram

Gözlenen, Beklenen, χ², Serbestlik Derecesi

Bir zarı 60 kez atınca her yüzün yaklaşık 10 kez gelmesini bekleriz. 6 yüzü 25 kez gelirse zardan şüphelenmeye başlarız. Ki-kare, bu şüpheyi bir sayıya çevirir.

Gözlenen (G)

Her kategoride gerçekten saydığımız kişi sayısı.

Beklenen (B)

H₀ doğru olsaydı o kategoride beklenecek sayı.

χ² (ki-kare)

Her kategoride (G − B)² ÷ B; hepsinin toplamı. 0 = tam uyum.

Serbestlik derecesi

Toplam sabitken serbestçe değişebilen hücre sayısı. Futbol: 120 oyuncudan 84'ü sağ ayaklıysa sol ayaklı sayısı zorunlu olarak 36'dır; serbest sayı bir tanedir, sd = 1.

Görsel · Şüpheli Zar

Beklenen Çizgisinden Uzaklık Tek Sayıya Dönüşür

0510152025beklenen 107yüz 17yüz 27yüz 37yüz 47yüz 525yüz 6Her yüz için (G − B)² ÷ Byüz 1–5: (7 − 10)² ÷ 10 = 0,9beş yüz: 5 × 0,9 = 4,5yüz 6: (25 − 10)² ÷ 10 = 22,5χ² = 4,5 + 22,5 = 27,0sd = 6 − 1 = 5 · kritik 11,07p < 0,001
Öğretim örneği: önceki slayttaki 60 atışlık zar, “6 yüzü 25 kez” gelmiş; kalan 35 atış diğer beş yüze eşit dağıtıldı. χ² ve p scipy ile.
Ne anlama geliyor?Kesikli çizgi H₀'ın beklentisidir: her yüz 10 kez. Beş yüzün küçük sapmaları birlikte 4,5 eder; tek bir yüzün 15'lik sapması tek başına 22,5. χ²'yi büyüten şey kare almaktır: büyük sapma çok daha ağır basar.
Önce Temel · Sayılan Veri ve Çapraz Tablo

Kategorik Veri, Çapraz Tablo, Satır ve Sütun Toplamı

Restoranda 50 müşteriye "çay mı, kahve mi?" diye sorup kaç kişinin hangisini seçtiğini saymak ile her müşterinin yediği yemeği gram gram tartmak farklı işlerdir. Birincisi sayma, ikincisi ölçmedir; bu hafta sayma var.
50 futbolcuSağ ayaklıSol ayaklıSatır toplamı
Forvet18725
Defans20525
Sütun toplamı381250 (genel toplam, N)
1 · Kategorik değişken

Cevabı etiket olan değişken

Ayak tercihi (sağ, sol) ve pozisyon (forvet, defans) sayı değil etikettir. Etiketler sayılır; "ortalama ayak" diye bir şey yoktur.

2 · Çapraz tablo

İki etiketi birlikte gösterir

Satırlarda pozisyon, sütunlarda ayak var. Her kutuya hücre denir; hücre iki özelliği birden taşıyan kişi sayısıdır: sol ayaklı forvet 7 kişi.

3 · Toplamlar

Bütün hesap buradan çıkar

Satır toplamı 25 (forvet sayısı), sütun toplamı 12 (sol ayaklı sayısı), sağ alt köşe 50 (genel toplam, N). Beklenen sayılar bu toplamlardan bulunur.

Görsel · Tablonun Resmi

Çapraz Tablo Bir Mozaik Gibi Okunur

sağ 18 (%72)sol 7 (%28)Forvet (25)sağ 20 (%80)sol 5 (%20)Defans (25)genel sol %24OkumaSütun genişliği = satır toplamıKat yüksekliği = satır yüzdesiBağımsızlıkta turuncu katlaraynı hizada olurdu (%24).Forvet %28, defans %20:küçük bir basamak.
Önceki slayttaki 50 futbolcu tablosu; mozaik grafikte alan, hücredeki kişi sayısıyla orantılıdır.
Ne anlama geliyor?İki sütunun turuncu katları kesikli çizgiye ne kadar yakınsa ayak tercihi pozisyondan o kadar bağımsızdır. Burada basamak küçük: χ² = 0,44, p = 0,51. Mozaikte basamak büyüdükçe χ² de büyür.
Önce Temel · Bağımsızlık ve Beklenen Sayı

Bağımsızlık, Beklenen Sayı Tarifi, Serbestlik Derecesi

Restoranda müşterilerin %24'ü kahve içiyorsa ve masanın kadın ya da erkek olması seçimi değiştirmiyorsa, her masada yaklaşık %24 kahve beklenir. Bağımsızlık budur: bir özelliği bilmek, öbürünü tahmin etmeye yardım etmez.
1 · Bağımsızlık

H₀ bunu söyler

Pozisyon bilinince ayak tercihi tahmin edilemiyorsa ikisi bağımsızdır. Sol ayaklı oranı 12 ÷ 50 = %24 ise her pozisyonda %24 beklenir.

2 · Beklenen sayı tarifi

Dört adım

1) Satır toplamı: forvet 25. 2) Sütun toplamı: sol ayak 12. 3) İkisini çarp: 25 × 12 = 300. 4) Genel toplama böl: 300 ÷ 50 = 6. Bağımsızlıkta 6 sol ayaklı forvet beklenir; gözlenen 7.

3 · Serbestlik derecesi

(satır − 1) × (sütun − 1)

Tablo 2 satır, 2 sütun: (2 − 1) × (2 − 1) = 1. Toplamlar sabitken tek hücreyi (forvet-sol = 7) doldurunca gerisi belli olur: forvet-sağ 25 − 7 = 18, defans-sol 12 − 7 = 5, defans-sağ 25 − 5 = 20.

Dört hücrenin farkı 1 ÷ 19 + 1 ÷ 6 + 1 ÷ 19 + 1 ÷ 6 = χ² = 0,44. sd = 1 için kritik değer (karar eşiği) 3,84; 0,44 bunun çok altında (p = 0,51). Bu küçük farklar bağımsızlıkla uyumlu.

Dört terim ve izStat

Her terim (G − B)² ÷ B'dir: forvet-sağ (18 − 19)² ÷ 19 = 1 ÷ 19 = 0,05; forvet-sol (7 − 6)² ÷ 6 = 1 ÷ 6 = 0,17; defans satırı aynı iki sayıyı verir. izStat'ta doğrulayın → (Ki-Kare Testi: χ² 0,439, p 0,508, V 0,094, ihmal edilebilir; Yates düzeltmeli, yani 2×2'de χ²'yi biraz küçülten ayarla χ² 0,11, p 0,74: karar aynı).

Önce Temel · Fark Var mı, Ne Kadar, Nerede?

Cramér V ve Düzeltilmiş Artık

Aynı yüzdeyle kahve içen 50 kişi de olabilir, 500 kişi de. Kişi sayısı arttıkça aynı fark "daha sağlam" görünür. Bu yüzden yalnız p'ye değil, ilişkinin gücüne de bakılır.
1 · Aynı oran, 10 kat kişi

p değişir, ilişki değişmez

Tablo 18 · 7 · 20 · 5. Her hücreyi 10 ile çarpın (180 · 70 · 200 · 50): oranlar aynı kalır ama χ² 0,44 iken 4,39 olur, p 0,51 iken 0,036 olur. Kişi çoğaldıkça p küçülür.

2 · Cramér V

0 ile 1 arası güç ölçüsü

V = √(χ² ÷ (N × (k − 1))); N toplam kişi, k satır ve sütun sayısından küçük olanı (2×2'de 2). Küçük tabloda √(0,44 ÷ 50) = 0,09; 10 kat büyük tabloda √(4,39 ÷ 500) = 0,09. Aynı. Kılavuz: 0,1 küçük, 0,3 orta, 0,5 büyük.

3 · Düzeltilmiş artık

Farkın hangi hücrede olduğu

Bir hücrenin beklenenden sapmasını, o hücrenin kendi dalgalanmasına bölerek gösterir. ±2'yi aşan hücre farkın taşıyıcısıdır. Sol ayaklı forvet hücresi 50 kişide +0,66 (aşmaz), 500 kişide +2,09 (aşar).

p "fark var mı?", Cramér V "fark ne kadar büyük?", düzeltilmiş artık "fark hangi hücrede?" sorusunu yanıtlar.
Görsel · Kişi Sayısının İzi

p Kişi Sayısıyla Düşer, V Yerinde Durur

10,10,010,0010,05200400600800100050toplam kişi (N)N ≈ 438p değeri00,10,20,3V = 0,09 her N'de502004006008001000toplam kişi (N)Cramér V
Hesap: önceki slayttaki 18 · 7 · 20 · 5 tablosu, oranlar sabit tutularak büyütüldü; χ² kişi sayısıyla doğru orantılıdır (Yates düzeltmesiz).
Ne anlama geliyor?Aynı küçük basamak, yaklaşık 438 kişiye ulaşınca “anlamlı” olur; ilişkinin gücü ise hiç değişmez. Büyük örneklemde p'nin tek başına söylediği şey, ilişkinin sıfır olmadığıdır; ne kadar önemli olduğunu V söyler.
Önce Temel · Küçük Sayı ve Eşli Sayım

Beklenen ≥ 5 Kuralı, Fisher ve McNemar

Dört okçudan üçü hedefi vurduysa "%75 isabet" demek kolay ama güvenilir değildir; az kişiyle yapılan sayım çabuk oynar. Küçük sayılarda ve aynı kişileri iki kez saydığınızda ayrı testler gerekir.
1 · Beklenen ≥ 5 kuralı

χ² bir yaklaşımdır

χ² hesabı, hücrelere yeterince kişi düştüğünde iyi çalışan bir yaklaşımdır. Kural: hiçbir hücrenin beklenen sayısı 5'in altına düşmemeli. Altındaysa p yanıltabilir. Okçuluk: yandaki 10 okçuda her hücrenin beklenen sayısı 2,5'tir, kural bozulur.

2 · Fisher kesin testi

Yaklaşım yok, olasılığı doğrudan sayar

10 okçu: yeni yöntemde 5 kişi (4 vurdu, 1 kaçırdı), eski yöntemde 5 kişi (1 vurdu, 4 kaçırdı). Beklenen her hücre 5 × 5 ÷ 10 = 2,5, yani 5'ten küçük. Fisher: yöntem fark yaratmıyorsa p = 0,21 (iki yönlü). 4'e 1 gibi büyük görünen fark bile 10 okçuda şansla açıklanabilir: anlamlı değil, karar için daha çok okçu gerekir.

3 · Eşli sayım

Aynı kişiler iki kez sayılır

Ali bir denge testinden önce "geçti", sonra "kaldı" diye iki kez sayılırsa bu iki kayıt birbirinden bağımsız değildir. Sıradan χ² bağımsız kayıt ister; eşli veri için farklı test gerekir.

4 · McNemar testi

Yalnız değişenlere bakar

10 sporcu: 1 kişi geçerken kaldı, 5 kişi kalırken geçti, 4 kişi aynı kaldı. Aynı kalan 4 kişi bilgi vermez; 5'e 1'lik iyileşen ve kötüleşen sayısı karşılaştırılır. Kesin (binom) p = 0,22: yalnız 6 değişen sporcuyla 5'e 1 de şansla açıklanabilir.

Hafta 17 · Öğrenme Çıktıları

Bu Hafta Sonunda Yapabilmeniz Gerekenler

Her çıktı, haftanın sonundaki uygulama görevinde ölçülür.
  • Uyum iyiliği testinde beklenen sayıları bir kaynağa dayandırarak hesaplamak.
  • Çapraz tabloda beklenen değerleri, χ²'yi ve serbestlik derecesini elle bulmak.
  • Satır yüzdeleri, düzeltilmiş artıklar ve Cramér V ile ilişkinin yerini ve gücünü yorumlamak.
  • Beklenen sayılar küçükse Fisher, eşli veride McNemar testini seçmek.
  • Sonucu χ²(sd, N) = …, p = …, V = … biçiminde raporlamak.
KISIM 01

Uyum İyiliği

Akademide solak oyuncu fazla mı?

Hızlı yoklama · 1 dakika

Beklenen Sayı Kaç?

Akademide 120 oyuncu. Beklenen oran %79 sağ ayak. Sağ ayaklı beklenen sayı?

DOĞRU CEVAP: D

120 × 0,79 = 94,8. Gözlenen 84. χ² = (84 − 94,8)² ÷ 94,8 + (36 − 25,2)² ÷ 25,2 ≈ 5,86.

Bölüm 1 · Uyum İyiliği

Akademide Solak Oyuncu Fazla mı?

⚽ Bir futbol akademisinde 120 oyuncu: 84 sağ ayaklı, 36 sol ayaklı. Karşılaştırma: Carey ve ark.'nın (2001) bulduğu yaklaşık %79 sağ ayaklı oranı. (Öğretim amaçlı veri.)
1

Hipotez

H₀: Akademide oranlar %79 sağ, %21 sol

→
2

Beklenen

Sağ: 120 × 0,79 = 94,8 · Sol: 120 × 0,21 = 25,2

→
3

χ²

(84 − 94,8)² ÷ 94,8 + (36 − 25,2)² ÷ 25,2 = 1,23 + 4,63 = 5,86

→
4

Karar

sd = 2 − 1 = 1 · kritik 3,84 · p = 0,015

Beklenen oran bir kaynaktan gelmeli

Eski ders notumuzda sol ayaklı oranı %10 alınmıştı; o varsayımla (%90 sağ, %10 sol) aynı 120 oyuncu χ² = 53,3 verirdi. Beklenen oran yanlışsa test de yanlış soruya cevap verir. Oranı güvenilir bir çalışmadan alın ve kaynağını yazın.

Görsel · 5,86 Ne Kadar Uç?

Kırmızı Bölge Yüzde Beş, Akademi Onun İçinde

012345678910χ² (sd = 1)kritik 3,84akademi: 5,86 · p = 0,015beklenen %10 alınsaydı 53,3kırmızı alan %5
χ² dağılımı (sd = 1) scipy ile; değerler destedeki akademi örneğinden (%79 sağ, %21 sol beklentisi; Carey ve ark., 2001). 53,3: eski notlardaki %10 sol varsayımıyla.
Ne anlama geliyor?Sağ ve sol ayak oranları gerçekten %79–%21 olsaydı, 120 oyuncuda χ² değerlerinin %95'i 3,84'ün altında kalırdı. 5,86 kırmızı bölgede. Yanlış beklenen oranla aynı veri 53,3 verir: test, yazdığınız beklentiyle konuşur.
Bölüm 1 · Veriyi Gör

Gözlenen ve Beklenen Yan Yana

χ²'ye en çok katkıyı sol ayaklı hücresi yapıyor: beklenenden 10,8 fazla ve beklenen sayı küçük olduğu için fark göreli olarak büyük.
120 akademi oyuncusunda ayak tercihi: gözlenen ve beklenen sayılar
0 20 40 60 80 100 Oyuncu sayısı 84 94,8 Sağ ayak 36 25,2 Sol ayak gözlenenbeklenen Hesap tablosu Sağ: G 84 · B 94,8 · G − B = −10,8 (−10,8)² ÷ 94,8 = 1,23Sol: G 36 · B 25,2 · G − B = +10,8 (10,8)² ÷ 25,2 = 4,63χ² = 5,86 · sd = 1 · p = 0,015 Ne anlama geliyor?Aynı 10,8 kişilik fark, küçük beklenensayıda (25,2) daha büyük katkı yapar.Akademide sol ayaklı oranı %30.
Sade Dille · Uyum İyiliği

Uyum İyiliği Bir Bakışta

Antrenör "oyuncuların %79'u sağ ayaklıdır" diyor; siz 120 oyuncuyu sayıp bu oranın akademinize uyup uymadığına bakıyorsunuz.
1 · Beklenen

Orandan bulunur

120 oyuncu × %79 = 94,8 sağ ayaklı. Oran güvenilir bir kaynaktan gelmeli (Carey ve ark., 2001).

2 · Uzaklık

Fark, beklenene bölünür

Her kategoride (gözlenen − beklenen)² ÷ beklenen hesaplanıp toplanır: 1,23 + 4,63 = 5,86. Sıfır tam uyumdur.

3 · Karar

Eşikle karşılaştır

sd = 2 − 1 = 1, kritik değer 3,84. 5,86 bunu aştı (p = 0,015): akademide sol ayaklı oranı (%30) beklenen %21'den uzak.

Yabancı kelimeler

Uyum iyiliği: sayımın bilinen bir orana uyup uymadığına bakmak. Gözlenen: gerçekte saydığımız sayı. Beklenen: H₀ doğruysa bulacağımız sayı. Kategori: sağ, sol gibi etiket. Kritik değer: karar eşiği; χ² bunu aşarsa fark beklenenden fazla uzaktır.

izStat · Uygulama

Elle Bulunan χ² = 5,86 izStat'ta da Çıkıyor mu?

120 akademi oyuncusunun ayak tercihi (84 sağ, 36 sol) izStat'a tek sütun girer, her satır bir oyuncu. Sayım %79 sağ, %21 sol beklentisine uyuyor mu? (Öğretim amaçlı veri.)
SatırlarAyakOyuncu
1–84Sağ84
85–120Sol36
Toplam120
Çıktı satırıizStatElle (destede)
Beklenen (Sağ / Sol)94.80 / 25.2094,8 / 25,2
χ² değeri5.8591,23 + 4,63 = 5,86
sd (df)12 − 1 = 1
p değeri.0150,015
APA satırıχ²(1) = 5.86, p = 0.015 (p = 0.015 = .015 = 0,015)
izStat

Bu veriyi izStat'ta aç

120 oyuncunun ayak tercihi yüklü; Ki-Kare Testi açılır.

Aç →

izStat'ta adımlar

  1. Alttaki mor kartı açın: 120 satırlık Ayak sütunu yüklenir, Ki-Kare Testi modülü açılır.
  2. Uyum İyiliği Testi kartını, "Değişken" kutusunda Ayak'ı seçin.
  3. "Beklenen Oranlar" kutusuna 0.79, 0.21 yazın (ondalıkta nokta; sıra verideki sıradır: önce Sağ, sonra Sol) ve Analizi Çalıştır'a basın.

Ne anlama geliyor?

İki yol aynı sayıya varır; izStat "Dağılımlar Farklı" yazar. Oranlar gerçekten %79–%21 olsaydı, 100 benzer akademiden yalnız 1–2'sinde bu kadar uzak bir sayım görülürdü (p = 0,015). Etki büyüklüğünü elle bulun: Cohen w = √(5,86 ÷ 120) = 0,22, küçük–orta (kılavuz V ile aynı: 0,1 küçük, 0,3 orta). Antrenöre çevirisi: beklenenden yaklaşık 11 sol ayaklı fazla (36 − 25,2); seçmede tercih edildiklerini düşündürür, nedenini söylemez. Oranlara 0.90, 0.10 yazın: χ² = 53,33, p < 0,001 olur; %90 sağ ayak beklentisi bu akademiye hiç uymaz. Akılda kalsın: izStat, yazdığınız beklentiyi test eder.

KISIM 02

Bağımsızlık

Pozisyon ve sakatlık türü.

Bölüm 2 · Bağımsızlık

Pozisyon ile Sakatlık Türü İlişkili mi?

🏥 150 sakatlık kaydı: kas sakatlığı mı, eklem–bağ sakatlığı mı? H₀: sakatlık türünün dağılımı pozisyondan bağımsızdır. (Öğretim amaçlı veri.)
PozisyonKasEklem–bağToplamKas yüzdesi
Hücum32 (B 24,0)13 (B 21,0)45%71
Orta saha30 (B 29,3)25 (B 25,7)55%55
Savunma18 (B 26,7)32 (B 23,3)50%36
Toplam8070150%53

Tarif: beklenen değer

B = satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplam. Hücum–kas: 45 × 80 ÷ 150 = 24. Anlamı: pozisyonun etkisi yoksa hücumcuların da %53'ü kas sakatlığı yaşardı (45 × 0,53 = 24). Tam oran 80 ÷ 150 = 0,533'tür; 45 × 0,533 = 24,0.

Bölüm 2 · Hesap

Altı Hücre, Bir Toplam

Her hücrede (G − B)² ÷ B; sonra hepsini topla. sd = (satır − 1) × (sütun − 1) = 2 × 1 = 2.
PozisyonKas katkısıEklem–bağ katkısıDüzeltilmiş artık (kas)
Hücum(32 − 24)² ÷ 24 = 2,673,05+2,9
Orta saha0,020,02+0,2
Savunma2,823,22−3,0

Ne anlama geliyor?

χ²(2, N = 150) = 11,78; p = 0,003. İlişki hücum ve savunmadan geliyor: hücumda kas sakatlığı beklenenden fazla, savunmada az. Düzeltilmiş artık ±2'yi aşan hücreler, "farkın nerede olduğunu" gösterir. Orta saha beklentiye çok yakın.

Görsel · Farkın Haritası

İlişki Tablonun İki Köşesinde Toplanıyor

KasEklem–bağHücumG 32 · B 24,0artık +2,9G 13 · B 21,0artık −2,9Orta sahaG 30 · B 29,3artık +0,2G 25 · B 25,7artık −0,2SavunmaG 18 · B 26,7artık −3,0G 32 · B 23,3artık +3,0Renk kuralıartık > +2: beklenenden fazlaartık < −2: beklenenden az±2 içinde: beklentiye yakınχ²(2, N = 150) = 11,78p = 0,003 · V = 0,28
Destedeki 150 sakatlık kaydı; düzeltilmiş artık = (G − B) ÷ √(B × (1 − satır payı) × (1 − sütun payı)), betikte hesaplandı.
Ne anlama geliyor?χ² tek bir sayı verir; ısı haritası onun nereden geldiğini gösterir. Hücum ve savunma satırları renkli, orta saha gri: ilişkiyi iki uç pozisyon taşıyor. 2×k tabloda bir satırın iki hücresi aynı büyüklükte, ters işaretli artık alır.
Bölüm 2 · Etki Büyüklüğü

Yüzdeler ve Cramér V

p ilişkinin şansla açıklanıp açıklanamayacağını söyler; ne kadar güçlü olduğunu Cramér V söyler: V = √(χ² ÷ (N × (k − 1))), k = satır ve sütun sayısından küçük olanı.
Pozisyona göre sakatlık türü yüzdeleri ve etki büyüklüğü hesabı
Hücum Kas %71Eklem–bağ %29 artık+2,9 Orta saha Kas %55Eklem–bağ %45 artık+0,2 Savunma Kas %36Eklem–bağ %64 artık−3,0 genel kas oranı %53 %0 %50 %100 Etki büyüklüğü χ² = 11,78 · N = 150k = min(3 satır, 2 sütun) = 2V = √(11,78 ÷ (150 × 1))V = √0,0785 = 0,28Kılavuz: 0,1 küçük · 0,3 orta · 0,5 büyük Ne anlama geliyor?Küçük–orta arası bir ilişki. Kassakatlığı oranı hücumdan savunmaya%71’den %36’ya iniyor.
Performans Merkezi · Canlı

Pozisyon × Sakatlık Türü

1

150 kayıt: χ²(2) = 11,78, p ≈ 0,003, Cramér V = 0,28.

2

Yeşil hücre hücumda kas (z ≈ +2,9), kırmızı savunmada kas (z ≈ −3,0). Buradaki z düzeltilmiş artıktır: ±2'nin dışı farkı taşıyan hücredir.

3

"Nordic × sakatlık (küçük n)": beklenen < 5 uyarısı. Fisher p ≈ 0,069.

4

"Branş × el tercihi" (öğretim verisi): solak atletizmde neden az?

Ki-Kare: Gözlenen ve BeklenenYeni sekmede aç ↗
Sade Dille · Bağımsızlık

Bağımsızlık Bir Bakışta

Bir özelliği bilmek öbürünü tahmin etmeye yarıyor mu? Hücum oyuncusu olduğunu bilince kas sakatlığı tahmininiz değişiyor mu?
1 · Beklenen tablo

Toplamlardan çıkar

Satır toplamı × sütun toplamı ÷ genel toplam: hücum-kas için 45 × 80 ÷ 150 = 24. Pozisyon etkisizse hücumcuların %53'ü kas sakatlığı yaşardı.

2 · Hangi hücre

Artık gösterir

χ²(2, N = 150) = 11,78; p = 0,003. Düzeltilmiş artık hücumda kas için +2,9 (fazla), savunmada −3,0 (az); orta saha beklentiye yakın.

3 · Ne kadar güçlü

Cramér V

V = 0,28: küçük ile orta arası. Kas sakatlığı oranı hücumda %71, savunmada %36.

Yabancı kelimeler

Bağımsızlık: iki özelliğin birbirini etkilememesi. Çapraz tablo: iki etiketi birlikte gösteren tablo. Düzeltilmiş artık: bir hücrenin beklenenden sapması; ±2'yi aşarsa dikkat. Cramér V: ilişkinin gücü, 0 ile 1 arası. Serbestlik derecesi: (satır − 1) × (sütun − 1).

izStat · Uygulama

150 Sakatlık Kaydı: izStat Çapraz Tabloyu Kendisi Kurar

Bölüm 2'deki 150 sakatlık kaydı izStat'a iki sütunla girer: her satır bir sakatlık, sütunlar Pozisyon (hücum, orta saha, savunma) ve Sakatlık (kas, eklem–bağ). Sayım tablosunu izStat kurar. (Öğretim amaçlı veri.)
PozisyonEklem–bağKas
Hücum1332
Orta saha2530
Savunma3218
Toplam7080
Çıktı satırıizStatElle (destede)
Beklenen, hücum21.00 / 24.0021,0 / 24,0
χ² değeri11.78211,78
sd (df)2(3 − 1) × (2 − 1) = 2
p değeri.0030,003
Cramér's V0.2800,28
APA satırıχ²(2, N = 150) = 11.78, p = .003, V = 0.28

izStat'ta adımlar

  1. Alttaki mor kartı açın: 150 satır yüklenir, Ki-Kare Testi modülü açılır.
  2. Bağımsızlık Testi kartı seçili kalsın. "Satır Değişkeni": Pozisyon; "Sütun Değişkeni": Sakatlık.
  3. Analizi Çalıştır düğmesine basın. izStat sütunları alfabetik dizer: Eklem-bağ önce, Kas sonra.

Ne anlama geliyor?

İlişki var, gücü küçük–orta (V = 0,28). izStat düzeltilmiş artığı vermez, elle: hücum-kas (32 − 24) ÷ √(24 × 0,70 × 0,467) = 8 ÷ 2,80 = +2,86, ±2'nin dışında (0,70 = 1 − 45 ÷ 150; 0,467 = 1 − 80 ÷ 150). Antrenöre çevirisi: hücumda beklenenden 8 kas sakatlığı fazla; hamstring ve sprint yükü önlemleri önce hücum hattında gözden geçirilir. Maruz kalma süresi farklıysa (Hafta 12) fark sahadaki süreden de gelebilir.

izStat

Bu veriyi izStat'ta aç

150 sakatlık kaydı (Pozisyon, Sakatlık) yüklü; Ki-Kare Testi açılır.

Aç →
KISIM 03

Özel Durumlar

Küçük beklenen sayı, eşli veri, test seçimi. (Bölüm 3–4)

Hızlı yoklama · 1 dakika

Hangi Test?

24 sporcu, 2×2 tablo; iki hücrede beklenen sayı 3,5.

DOĞRU CEVAP: C

Beklenen sayılar 5'ten küçükse χ² yaklaşımı güvenilmez; 2×2'de Fisher kesin testi kullanılır.

Bölüm 3 · Küçük Örneklem

Beklenen Sayı 5'ten Küçükse: Fisher Testi

🏃 24 sporcu: 12'si Nordic hamstring programı yaptı, 12'si yapmadı. Sezon boyunca hamstring sakatlığı sayıldı. (Öğretim amaçlı veri.)
GrupSakatlandıSakatlanmadı
Nordic1 (B 3,5)11 (B 8,5)
Kontrol6 (B 3,5)6 (B 8,5)
Testp
Pearson χ² (uygun değil)0,025
Yates düzeltmeli χ²0,072
Fisher kesin testi0,069

Ne anlama geliyor?

İki hücrede beklenen sayı 3,5. χ² yaklaşımı küçük beklenen değerlerde p'yi olduğundan küçük gösterebilir; burada "anlamlı" ile "anlamsız" arasındaki çizgiyi değiştirdi. Fisher testi yaklaşım kullanmaz, olasılığı doğrudan hesaplar. Veri Nordic lehine bir işaret veriyor ama 24 sporcu kesin bir sonuç için az (Hafta 13, Tip II hata).

Görsel · Olasılığı Saymak

Fisher Yedi Sakatlığın Dağılımını Tek Tek Sayar

00,10,20,30,00200,03210,15120,31530,31540,15150,03260,00277 sakatlığın kaçı Nordic grubunda? (yöntem etkisizse)gözlenen: 1Fisher pkırmızı çubukların toplamı= 0,069Pearson χ² p = 0,025Yates χ² p = 0,072Kesin dağılım basamaklıdır;yumuşak χ² eğrisi bunuküçük n'de iyi taklit edemez.
Destedeki 24 sporcu (12 Nordic, 12 kontrol, toplam 7 sakatlık). Satır ve sütun toplamları sabitken hipergeometrik olasılıklar scipy ile; iki yönlü p, gözlenenden olası olmayan tüm durumların toplamı.
Ne anlama geliyor?Yöntem etkisiz olsaydı 7 sakatlığın en olası dağılımı 3–4 olurdu. Nordic grubunda yalnız 1 sakatlık görmek nadir ama çok nadir değil: iki yandaki uç durumlarla birlikte p = 0,069. Veri bir işaret veriyor, kesin bir hüküm için yeterli değil.
izStat · Uygulama

Nordic Verisinde Fisher p = 0,069: Çapraz Tablo Modülü

24 sporcu (12 Nordic, 12 kontrol) izStat'a iki sütunla girer: Grup ve Sakatlık. Ki-Kare modülü "Fisher kesin testi önerilir" uyarısı verir; Fisher, Çapraz Tablo modülündedir. (Öğretim amaçlı veri.)
GrupSakatlandıSakatlanmadı
Kontrol66
Nordic111
Toplam717
Çıktı satırıizStatElle (destede)
Ki-Kare (χ²)5.04205,04
p değeri (χ²)0.02470,025
Fisher p (two-sided)0.06860,069
Odds Ratio11.0000(6 ÷ 6) ÷ (1 ÷ 11) = 11
izStat

Bu veriyi izStat'ta aç

24 sporcunun grup ve sakatlık bilgisi yüklü; Çapraz Tablo açılır.

Aç →

izStat'ta adımlar

  1. Alttaki mor kartı açın: 24 satır yüklenir, Çapraz Tablo modülü açılır.
  2. "Satır Değişkeni (kategorik)": Grup; "Sütun Değişkeni (kategorik)": Sakatlık.
  3. Beklenen Frekanslar ve Fisher's Exact Test kutularını işaretleyip Analizi Çalıştır'a basın.

Ne anlama geliyor?

χ² ile p = 0,025 "anlamlı", Fisher ile 0,069 "anlamlı değil". Beklenen 3,5 olduğu için (5'in altında) raporlanan Fisher'dır; izStat'ın "Yorumlama" kutusu χ²'ye bakıp "anlamlı" yazar, o satırı değil Fisher satırını okuyun. Odds oranı 11 (sakatlanan : sakatlanmayan, kontrolde 6'ya 6, Nordic'te 1'e 11): etki büyük, ama 7 sakatlıkla kanıt yetersiz (Hafta 13, Tip II hata). Antrenöre çevirisi: programı bırakmak için neden yok; kararı ikinci bir sezonla doğrulayın.

Bölüm 3 · Eşli Kategorik Veri

Aynı Sporcular, Önce ve Sonra: McNemar

⚖️ 40 sporcu, 6 haftalık denge programından önce ve sonra Y denge testinde asimetri ölçütüne göre "geçti / kaldı" olarak sınıflandı. (Öğretim amaçlı veri.)
Önce \ SonraGeçtiKaldı
Geçti164 (kötüleşen)
Kaldı14 (iyileşen)6
Tarif

Yalnız değişenlere bak

Değişmeyen 22 sporcu bilgi vermez. χ² = (4 − 14)² ÷ (4 + 14) = 100 ÷ 18 = 5,56; sd = 1; p = 0,018. Kesin (binom) sürüm: p = 0,031.

Neden sıradan χ² değil?

Her sporcu iki kez sayılıyor; önce ve sonra ölçümleri bağımsız değil (Hafta 14'teki eşli t testinin kategorik karşılığı). 14 sporcu iyileşirken 4 sporcu kötüleşti: program lehine bir sonuç, ama kontrol grubu olmadan "program sayesinde" denemez.

Görsel · Yalnız Değişenler Konuşur

Kırk Sporcudan On Sekizi Teste Bilgi Katar

40 sporcu: önce → sonraaynı kaldı (bilgi vermez): 22kaldı → geçti: 14geçti → kaldı: 400,10,202468101214161818 değişenden kötüleşen sayısıgözlenen 4Program etkisizse: yazı tura gibi yarı yarıyakırmızı çubuklar = kesin p = 0,031
Destedeki 40 sporculuk öğretim verisi. Program etkisizse değişen 18 sporcunun iyileşme ya da kötüleşme olasılığı eşittir (binom, n = 18, p = 0,5); kesin iki yönlü p scipy ile.
Ne anlama geliyor?Gri kareler önce de sonra da aynı sonucu aldı: programın etkisi hakkında bir şey söylemezler. Değişen 18 sporcudan yalnız 4'ünün kötüleşmesi, yazı turada 18 atışta 4 ya da daha az (ya da 14 ya da daha çok) yazı gelmesi kadar nadirdir: iki yönlü p = 0,031.
izStat · Uygulama

Denge Programında 14'e 4: izStat'ta McNemar

Bölüm 3'teki 40 sporcunun Y denge testi sonucu izStat'a iki sütunla girer: Önce ve Sonra (Geçti / Kaldı). Her satır aynı sporcudur; bu yüzden Ki-Kare değil Uyum Analizi modülü kullanılır. (Öğretim amaçlı veri.)
Önce / SonraGeçtiKaldı
Geçti164
Kaldı146
Toplam3010
Çıktı satırıizStatElle (destede)
b: Kaldı → Geçti1414 iyileşen
c: Geçti → Kaldı44 kötüleşen
χ²(1) düzeltmeli4.500düzeltmesiz 5,56
p (ki-kare yaklaşımı).0340,018
p (tam binom) ★.0310,031
APA satırıMcNemar χ²(1) = 4.50, p = .031 (tam binom); b = 14, c = 4

izStat'ta adımlar

  1. Alttaki mor kartı açın: Sporcu, Önce, Sonra sütunları yüklenir; Uyum Analizi (Kappa, McNemar) açılır.
  2. McNemar Testi kartını seçin.
  3. "Önce (ikili)": Önce; "Sonra (ikili)": Sonra; Analizi Çalıştır.

Ne anlama geliyor?

izStat süreklilik düzeltmeli χ² verir: (|14 − 4| − 1)² ÷ 18 = 4,50; destedeki 5,56 düzeltmesiz sürümdür. Değişen 18 sporcu 25'ten az olduğu için karar tam binom p'ye (★) dayanır: 0,031, anlamlı. Odds oranı 14 ÷ 4 = 3,5: kaldı → geçti, tersinin 3,5 katı sık. Antrenöre çevirisi: geçen sporcu 20 iken 30 oldu; kontrol grubu olmadığı için artış olgunlaşmadan ya da testi tanımaktan da gelebilir.

izStat

Bu veriyi izStat'ta aç

40 sporcunun önce ve sonra sonucu yüklü; Uyum Analizi açılır.

Aç →
Bölüm 4 · Karar

Kategorik Veride Hangi Test?

Soruyu ve deseni yazın, test kendiliğinden seçilir.
DurumTestEtki büyüklüğü
Tek değişken, bilinen oranlarχ² uyum iyiliğiCohen w = √(χ² ÷ N); akademi: √(5,86 ÷ 120) = 0,22
İki değişken, farklı kişiler, beklenen ≥ 5χ² bağımsızlıkCramér V (2×2'de φ = √(χ² ÷ N), V ile aynı)
2×2, beklenen sayılar küçükFisher kesin testiOlasılık oranı (odds oranı, OR; Hafta 20)
Aynı kişiler, iki zaman, iki kategoriMcNemarDeğişen çiftlerin oranı
Sayılar değil ölçümler (cm, s, kg)t testi / ANOVAd / η²

Sürekli veriyi kategoriye çevirmeyin

Sıçramayı "iyi / kötü" diye ikiye bölmek bilgi kaybettirir ve sınırın nereden çekildiğine göre sonuç değişir. Ölçüm varsa ölçüm testleri kullanılır.

Sade Dille · Özel Durumlar

Özel Durumlar Bir Bakışta

Sayılar azsa ya da aynı kişiler iki kez sayılıyorsa sıradan χ² yanıltır; ikisinin de kendi yolu var.
1 · Küçük sayı

Fisher

Beklenen 5'ten küçükse Fisher. Nordic verisinde Pearson p = 0,025, Fisher p = 0,069: çizgi yer değiştirdi. 24 sporcu kesin sonuç için az.

2 · Eşli sayım

McNemar

Yalnız değişenlere bakar: 14 sporcu iyileşti, 4 sporcu kötüleşti; χ² = 5,56, p = 0,018. Kontrol grubu olmadığı için "program sayesinde" denemez.

3 · Test seçimi

Soruya göre

Tek değişken, bilinen oran: uyum iyiliği. İki değişken, farklı kişiler: bağımsızlık. Küçük tablo: Fisher. Aynı kişiler: McNemar. Ölçüm varsa t testi ya da ANOVA.

Yabancı kelimeler

Fisher kesin testi: yaklaşım kullanmadan olasılığı doğrudan hesaplar. Eşli: aynı kişilerden iki ölçüm. Yates düzeltmesi: küçük tabloda χ²'yi biraz küçülten ayar. Sürekli veri: cm, saniye, kg gibi ölçümle elde edilen veri.

KISIM 04

Uygulama

Mitler, Performans Merkezi, görev ve tartışma.

Mit mi, Gerçek mi?

Sahada Duyacağınız Dört Cümle

Her birine bu haftanın kavramlarıyla cevap verin.
Mit

"Elit futbolcular iki ayağını da eşit kullanır."

1998 Dünya Kupası'nda oyuncular genel nüfus kadar sağ ayaklıydı; iki ayağını eşit kullanan çok azdı (Carey ve ark., 2001).

Mit

"χ² anlamlı çıktı; hücumcular kas sakatlığına yatkın."

χ² ilişkiyi gösterir, nedeni değil. Hücumcular daha çok sprint mi atıyor? Maruz kalma süresi eşit mi? (Hafta 12.) Hafta 12'deki adıyla karıştırıcı değişken: sahada daha uzun kalan oyuncu hem daha çok sprint atar hem daha çok sakatlanabilir.

Kısmen

"Her hücrede en az 5 kişi olmalı."

Kural gözlenen değil beklenen sayılar içindir. Küçük tablolarda Fisher testi kullanılır.

Gerçek

"Aynı sporcuların önce–sonra kategorileri McNemar ister."

Eşli veride yalnız fikir değiştiren (değişen) sporcular teste bilgi katar.

Performans Merkezi'nde Uygula

Bu Haftanın Araçları

Sakatlık kayıtları ve geçti–kaldı testleri kategorik verinin en yaygın kaynağıdır.
Hesaplayıcı

Sakatlık insidansı

1000 saatte sakatlık.

Aç → Hesaplayıcı

Nordic hamstring

Program ve ilerleme.

Aç → Hesaplayıcı

Y denge testi

Asimetri ve geçme ölçütü.

Aç → Uygulama

izStat

χ², Fisher, McNemar.

Aç →
Eşli uygulama · 12 dakika

Sıra Sizde: Sınıfımızın Yanlılık Haritası

Dörtlü gruplar. En az 60 kişiden el, ayak tercihi ve spor dalı.
3 dk

Uyum

Ayak tercihi için beklenen oranı (%79) kullanın, χ²'yi elle bulun.

→
3 dk

Tablo

Spor dalı × el tercihi çapraz tablosunu araca girin (izStat · Ki-Kare Testi ya da Çapraz Tablo).

→
3 dk

Hücre

Hangi hücre farkı taşıyor? z > 2 olan var mı? (z: düzeltilmiş artık.)

→
3 dk

Sınır

Beklenen < 5 hücre var mı? Ne yaparsınız?

χ² "fark var mı", artıklar "nerede" sorusunu cevaplar.
Hafta 17 · Uygulama Görevi

Görev: Sınıfımızın Yanlılık Haritası

Gelecek derse kadar, dörtlü gruplar. En az 60 kişiden (bölüm, kulüp ya da okul) el ve ayak tercihi ile yaptığı spor dalını kaydedin.

1. Uyum iyiliği

  1. Ayak tercihi için beklenen oranı Carey ve ark.'dan (2001) alın.
  2. Beklenen sayıları, χ²'yi ve p'yi elle hesaplayın.
  3. Sonucu gözlenen ve beklenen çubuk grafiğiyle gösterin.

2. Bağımsızlık

  1. El tercihi × spor türü (etkileşimli / etkileşimsiz) çapraz tablosunu kurun.
  2. Beklenen sayılara bakarak χ² ya da Fisher testini seçin.
  3. Satır yüzdeleri ve Cramér V ile yorumlayın; nedensellik sınırını yazın.
Uygulama Görevi · Puanlama Rubriği

Görevinizi Nasıl Değerlendireceksiniz?

Her ölçüt 0–2 puan: 0 eksik, 1 gelişiyor, 2 yetkin; toplam 8. Önce kendi görevinizi, sonra bir arkadaşınızınkini puanlayın.
Ölçüt1 · Gelişiyor2 · Yetkin
BeklenenBeklenen sayılar hesaplanmış.Beklenen oran kaynağıyla; tüm hücrelerde ≥ 5 kontrolü yapılmış.
Hesapχ² doğru, sd eksik.Hücre katkıları, χ², sd, p adım adım; izStat ile tutarlı.
Yorum"İlişki var" denmiş.Yüzdeler, artıklar ve V ile ilişkinin yeri ve gücü anlatılmış.
Test seçimiχ² her durumda kullanılmış.Küçük beklenen sayıda Fisher, eşli veride McNemar gerekçelendirilmiş.

Akran değerlendirmesi

Arkadaşınızın görevine bir güçlü yön ve bir somut geliştirme önerisi yazın. Puan, önerinin gerekçesini göstermek içindir.

Tartışma · Sınıfta 15 Dakika

"Sol Ayaklı Oyuncu Arıyoruz"

Bir altyapı kulübü, sol ayaklı oyuncuların seçmelerde otomatik olarak bir üst tura geçmesine karar veriyor. Gerekçe: "Akademide solak oranı nüfustan yüksek, demek ki başarılı oluyorlar."
1 · Veri

Oran farkı ne anlatır?

Akademide %30 sol ayaklı (χ² = 5,86, p = 0,015). Bu, sol ayaklıların daha başarılı olduğunu mu gösterir?

2 · Açıklamalar

Başka ne olabilir?

Seçimde zaten tercih edilmeleri, sol kanat ihtiyacı, rakiplerin solaklara alışkın olmaması.

3 · Karar

Kanıt ne gerektirir?

Hangi veri "solak avantajı" iddiasını sınar? Loffing ve ark. (2012) tenis bulgusu ne düşündürüyor?

Kulüp yöneticisi

"Oran yüksek, o hâlde solaklar daha iyi."

VS

Sizin cevabınız

Uyum iyiliğinin neyi test ettiğine ve seçim yanlılığına dayanan iki cümle.

Kendini Sına

Soru Seti

Her soruda cevaptan sonra açıklama açılır.
Bu hafta

Haftanın 10 Sorusu

Anında geri bildirim ve açıklamalı soru seti.

Başla → Ders kaynağı

Hafta 17 okuma notları

Uyum iyiliği, bağımsızlık, varsayımlar, McNemar, Cramér V.

Aç → Deneme

Seviye belirleme sınavı 4

Çıkarımsal istatistik soruları.

Aç →
Çıkış kontrolü · 2 soru

Aklınızda Ne Kaldı?

1. 3×2 tabloda serbestlik derecesi kaçtır?

DOĞRU CEVAP: B

(3 − 1) × (2 − 1) = 2.

2. Simon ve ark. (2025): eskrimde solaklar üst sıralarda nasıldı?

DOĞRU CEVAP: A

Her düzeyde fazla, üstte daha da fazla.

Hafta 17 · Özet

Akılda Kalması Gerekenler

  • χ² = Σ (G − B)² ÷ B: gözlenen sayılar beklenenden ne kadar uzak?
  • Uyum iyiliğinde beklenen oran bir kaynaktan gelir; çapraz tabloda B = satır × sütun ÷ toplam.
  • Rapor: χ²(2, N = 150) = 11,78; p = 0,003; V = 0,28. Yeri: düzeltilmiş artıklar.
  • Beklenen sayı küçükse Fisher; aynı kişilerin önce–sonrası McNemar.
  • İlişki nedensellik değildir; maruz kalma ve seçim yanlılığı düşünülmelidir.
Görsel · Haftanın Tek Sayfası

Say, Beklentiyle Kıyasla, Yeri ve Gücü Bul

BeklentiUyum: kaynaktan%79 sağ (Carey 2001)Tablo: toplamlardansatır × sütun ÷ NUzaklıkχ² = Σ (G − B)² ÷ Bakademi 5,86Pozisyon × sakatlıkχ²(2) = 11,78Yer ve güçArtık ±2 dışıhücum +2,9, savunma −3,0V = 0,28N büyüse de aynıÖzel durumBeklenen < 5: Fisherp 0,025 değil 0,069Eşli: McNemar14'e 4, p 0,031χ² “fark var mı?”, artık “nerede?”, V “ne kadar?” sorusunu yanıtlar.
Haftanın özeti; sayılar ilgili slaytlardan.
Ne anlama geliyor?Soldan sağa: beklenen sayı nereden gelir, uzaklık nasıl ölçülür, fark nerede ve ne kadar güçlü, hangi durumda başka test gerekir.
Kaynaklar

Bu Haftanın Kaynakları

  1. Carey DP, Smith G, Smith DT, Shepherd JW, Skriver J, Ord L, Rutland A. Footedness in world soccer: an analysis of France '98. J Sports Sci. 2001;19(11):855–864.
  2. Loffing F, Hagemann N, Strauss B. Left-handedness in professional and amateur tennis. PLoS One. 2012;7(11):e49325.
  3. Cohen J. A power primer. Psychol Bull. 1992;112(1):155–159.
  4. Roediger HL, Karpicke JD. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention. Psychol Sci. 2006;17(3):249–255.
  5. Simon T, Loffing F, Frasnelli E. Prevalence of left-handers and their role in antagonistic sports: beyond mere counts towards a more in-depth distributional analysis of ranking data. R Soc Open Sci. 2025;12(9):250303.
Prof. Dr. İzzet İNCE · AYBÜ Spor Bilimleri Fakültesi · Hafta 17 — Ki-Kare Testleri
1 / 39